Интеграл, как способ приоткрыть черепную коробку

Предисловие

Великий и ужасный интеграл. Кому‑то он может казаться чем‑то волшебным и взятым с потолка. Однако сколько я ни вникаю в разные темы математики везде есть одно — глубокая причина возникновения идей. И ко всем им удается построить интуитивную дорогу, состоящую из последовательно разложенных на всем пути тезисов, следствий и идей, которые ведут к сущности темы. В таком подходе к понимаю мне всегда нравилось узнавать сначала только небольшую суть и дальше самому нырять в пучину исследований, чтобы возложить свою дорогу. В каком‑то смысле — это изобретение велосипеда, однако гораздо лучше, ведь на собственном опыте ощущаешь смысл идей, а также их вес, и особенное удовольствие доставляет, когда откопал что‑то сам.

Эта статья — призма через, которую можно взглянуть на «интеграл». Не претендую на истину. Те мысли, которые я хочу донести далеки до той строгости математического анализа, но всякую идею стоит рассматривать с разных ракурсов. На мой взгляд, лучшее для начала — «на пальцах» разобрать тему, чтобы вникнуть в сущность великанов знаний, которые стоят за всей формальностью и непонятностью. В этой связи попробуем как бы «изобрести» интеграл с нуля, т. е. построить дорогу из идей и следствий, которые к нему приводят. Для этого зайдем немножко из далека — рассмотрим незатейливую геометрическую задачу: «Как найти объем шара?».

Объем шара

В лоб задачу, конечно, не пробьешь, ведь шарик — это отнюдь не плоскость, она постоянно искривляется при не большом шаге в сторону.

Идея 1: Начну с почти очевидного замечания: объем шара равен двум объемам полусфер.

Конечно, это не совсем строго, но положим, что эти полусферы идентичны, так что объем всего шарика можно выразить так:

Все, что остается — найти . Да‑да, ситуация лучше не стала, но всяко лучше, чем ничего. Следующим шагом в решении проблемы будет выкладывание на стол всех козырей, которые есть у сферы.

Очевидно, что, если начать сечь полусферу плоскостями параллельными ее основанию, то будут получаться круги, а вот их площадь можно найти так:

Где  — радиус соответствующего круга. Теперь заметим вот, что:

Идея 2: Можно аппроксимировать объем полусферы суммой небольших цилиндров, на которые мы разбили сферу при сечении.

Таким образом, с помощью цилиндров, высоту которых будем уменьшать все меньше и соответственно увеличивать количество цилиндров, мы будем все лучше аппроксимировать объем полусферы. Уменьшение высоты дает охватить все больше искривлений полусферы, что дает большую точность аппроксимации, причем для бесконечно малой высоты цилиндра объем будет идентичен искомому.

Идея совершенно не тривиальная. Да, до нее не просто додуматься, но крутя по разному задачу, можно прийти к мысли: чем‑то уже известным посчитать примерно объем полусферы. С этой задачей неплохо справляется цилиндр, ведь у него в основании есть круг, который может быть связан с полусферой, путем взятия цилиндра с тем же кругом в основании.

Зафиксируем мысль: Мы воспользовались суммой бесконечно малых величин для подсчета точной величины, но эта сумма тем точнее, чем все более малые величины для подсчета мы берем.

Пусть отрезок, на который мы делим радиус (высоту полусферы, считая от центра большого круга до самого верха купола) будет (под здесь подразумевается чем‑то очень малое);  — радиус соответствующего цилиндра, тогда объем каждого из маленьких цилиндров будет вычисляться так:

Тогда сумма всех даст нам искомый объем (применяя идею-2 для аппроксимируемый объем будет становиться все более точным):

Однако‑ж есть один несуразный момент, который не понятен, но при всем притом играет важную роль, а именно: как меняется радиус каждого из мини‑цилиндров на разной высоте?

Очевидно, что для каждого из цилиндров он будет разным, так как поверхность постоянно искривляется. Попробуем для начала взглянуть на полусферу в разрезе, причем для наших целей будет достаточно взглянуть только на четверть разреза:

Получаем следующее: есть радиус всей полусферы , радиус цилиндра и высота цилиндра — это параметр, который пробегает все возможные суммы от до , тем самым позволяя вычислить высоту для каждого цилиндра. Из теоремы Пифагора найдем радиус цилиндра:

Соответственно ключевой идеи: чем меньше , тем больше все возможных высот цилиндров захватит параметр .

Теперь вернемся к объему полусферы. У нас на руках есть зависимость радиуса от высоты , тогда мы можем найти объем одного мини‑цилиндра :

Тогда объем полусферы будет вычисляться так:

Пользуясь основой идеей решения, можно сказать, что при стремящемся к нулю объем аппроксимируемый будет точно таким же, как и объем искомый:

Ремарка: Я не совсем корректно использую операцию . По‑хорошему стоит указать границы суммирования, да и суммировать можно только какие‑то дискретные величины, но смысл этого знака здесь следующий: просуммировать все величины, для пробегающего все кратные значения от до . По правильному стоит записать так:

Но для простоты записи я буду опускать это и подразумевать именно такой смысл.

Продолжим. Конечно, это все замечательно, что мы открыли такой прекрасный способ решить задачу, но, что вообще значит суммировать много много бесконечно малых объемов, у которых высота все ближе и ближе стремится к нулю? Есть ли в этом смысл? От одной сложной задаче мы просто пришли к еще одной сложной задаче.

Попробуем расширить наше поле зрения. Иногда решение задачи лежит совершенно в другой плоскости, а упорная долбежка головой об камень чаще всего мало к чему приводит, если только к сотрясению мозга.

Вспомним, что мы выяснили про радиус мини‑цилиндров:

Следовательно, площадь круга у мини‑цилиндра будет равна:

То есть площадь имеет квадратичную зависимость от высоты . Ничего не напоминает? Это же парабола! Точнее сказать, график будет параболой, тогда почему бы и не нарисовать?

И ведь парабола куда приятней, чем просто формула. Но как раз таки про формулу, как ее увидеть здесь? Для начала, из условия задачи, ограничим отрезком . Вглядимся в формулу объема: в ней была следующая запись:

Такая запись буквально говорит, что умножается какое‑то значение площадь на небольшое значение . В целом— это то, насколько мы отступаем от предыдущего значения . Видите здесь идею? Так вот же она:

Идея 3: Свести задачу о нахождении суммы бесконечно малых величин, к задаче о нахождении площади под графиком.

Из картинки сразу видно, что формула имеет в виду найти площадь под графиком. И тот начинает приобретать еще больше смысла: при , стремящемся к нулю, эти прямоугольники становятся все меньше и меньше, а их количество все больше, и они все лучше и лучше аппроксимируют площадь под графиком.

По сути мы свели задачу о нахождении объема к задаче о нахождении площади под графиком, некоторой функции. Это достаточно глобальная и весьма и весьма глубока идея. Однако вопрос остается открытым: как же найти эту площадь под графиком?

Интеграл собственной персоной

Громадная прелюдия была лишь подводкой к более общей и широкой теме — «интеграл». И это не с проста, ведь многие задачи сводятся к тому, чтобы найти площадь под графиком, да и само понятие «интеграл» куда шире, чем просто площадь под графиком. Это всего лишь один из способов взглянуть, воспринять и переложить идею на практику, одна из граней чего‑то более существенного.

Ремарка: все функции, которые мы будем рассматривать и для которых определять в данной статье понятие «интеграл», будут непрерывными и всюду дифференцируемы. Другие случае опустим, дабы не нагружать и так большую статью, а также для простоты рассуждений.

Теперь поподробнее. Понятие «интеграл» делится на два: определенный интеграл и неопределенный интеграл. Если рассматривать интеграл в контексте «площадь под графиком», то будет подразумеваться определенный интеграл. Его действие можно было увидеть, когда аппроксимировалась площадь под параболой.

Выше была выведена замечательная формула для нахождения объема полусферы:

Теперь попробуем обобщить эту идею на произвольную непрерывную на заданном отрезке функцию. Возьмем и некоторый отрезок . Найдем площадь под графиком:

Все практически тоже самое, как и в случае с объемом полусферы, только введем другие обозначения:  — изменение аргумента, то есть насколько мы отступим от предыдущего значения. Тогда площадь под графиком функции можно вычислить так:

Но если делать все меньше и меньше, то есть , то аппроксимация площади будет становиться все точнее и точнее. Это можно записать так:

Предел данной суммы будем называть определенным интегралом на отрезке (по сути это его определение) и обозначать так:

Ликбез:  — сверхмалое (бесконечно малое) изменение . Многие воспринимают знак интеграла как открывающую скобку, а как закрывающую скобку, но это в корне неверно. Стоит воспринимать следующим образом:

То есть воспринимать как суммирование всех на отрезке , где сначала , а последующие значения будут на больше, пока не станет равным . Конечно, это не совсем простая сумма, а очень очень «гладкая сумма». И вот эта «гладкость» достигается тем, что мы суммируем очень много маленьких величин. Само , однако если все такие маленькие кусочки суммировать, то получится искомое значение.

Зафиксируем мысль: интеграл стоит воспринимать, как сумму, но очень гладкую, что достигается путем умножения на  — небольшое изменение аргумента, при , пробегающем все значения из заданного отрезка, увеличиваясь на .

Небольшой факт: сам смысл суммирования придает символ интеграла  — это ведь вытянутая буква , а происходит это от слова «sum» — сумма.

Все эти обозначения и потаенные смысле, конечно, хороши и дают неплохое понимание, что это не какая‑то «магия», но все же они не дают более конкретных инструкций, что делать‑то с этим. Попробуем разобраться.

Для начала стоит вспомнить, что такое производная. Запишем определение:

Эту запись можно воспринимать еще вот как:

То есть, как отношение маленького изменения к маленькому изменению . Ее еще называют производной по Лейбницу, ведь он первый, кто предложил так ее обозначать. Такое обозначение в данной ситуации куда лучше подходит, но для наших целей это лучше переписать в немного другом виде:

И на самом деле, здесь заложен интересный смысл: если воспринимать производную, как скорость изменения функции, то, умножая скорость на небольшое изменение , получим маленькое изменение функции. В каком‑то смысле это схоже с нахождением пути с помощью скорости и времени, что не лишено смысла.

Зафиксируем мысль: чтобы найти приращение функции в точке , мы должны умножить производную функции в данной точке на приращение аргумента:

Таким образом, мы получаем то, насколько значение функции изменится при малом шаге в сторону относительно значения в данной точке. Эта мысль нам скоро пригодится.

Обратно к графикам. Нарисуем вот какую картину: график функции и график ее производной. Пусть исходная функция, тогда ее производная:

Теперь попробуем найти площадь под графиком производной и посмотрим, что происходит на графике исходной функции:

Из графика производной видна площадь каждого прямоугольника:

Однако ранее мы писали, что , следовательно, каждый кусочек площади под графиком — это небольшое изменение функции , тогда если мы сложим все эти крохотные изменения функции из отрезка мы получим отрезок .

И это логично, ведь мы отступаем от границы на некоторый малый шаг и так мы будем отступать от каждого следующего значения , где  — номер шага, вплоть до границы . Почему от ? Потому что  — шаг в сторону от этого значения, и все последующие отступы будут происходить от соответствующих значений. При эти изменения становятся бесконечно малыми. Таким образом, отступая от значения мы дойдем до значения , т. е. мы прошли отрезок .

Теперь можем подвязать определенный интеграл и получим следующие утверждение:

И теперь поменяем чуть‑чуть обозначение это не более, чем трюк с обозначением и сути это не меняет, но оно даст более лучшее понимание неопределенного интеграла:

В этот момент наступает та самая эврика! Поясню, мы берем определенный интеграл от производной функции и получаем разность значений функции. Именно этот фундаментальный факт связывает двух апостолов математического анализа: производную и интеграл. Этот восхитительный факт буквально говорит, что производная и интеграл это обратные действия, ведь сначала мы применяем на исходную функцию операцию интегрирования на операцию дифференцирования и получаем то, с чего начинали — исходную функцию (точнее сказать разность значений исходной функции и это не совсем обратные действия в данной интерпретации, но все же очень на то похоже).

Вот оно — эпохальное событие, когда столкнулись лицом к лицу геометрия и матан. Получается своего рода ниточка, портал связывающий их. Сейчас мы понимаем, что же такое интеграл с грани геометрии, остается перевернуть монету и взглянуть на грань математического анализа — «неопределенный интеграл».

Зафиксируем мысль: применяя определенный интеграл на отрезке над производной функции, получаем разность значении функции на границах отрезка. Этот факт, неуверенно трубя в мегафон, объявляет, что интеграл и производная — обратные действия. (почему неуверенно? Потому что в таком виде это не обратные действия, но покажем это ниже)

Теперь давайте внимательно присмотримся на вот это утверждение, которое мы вывели ранее:

В данной математической конструкции мы анализируем конкретный отрезок — . Однако‑ж зададимся вопросом: а что, если мы захотим обобщить эту формулу не для конкретного отрезка, а для любого? Ведь что мы делаем: ищем разность двух значений функций на концах отрезка. Получается, чтобы нам найти определенный интеграл от производной функции, нам надо знать значение функции на концах отрезка.

А теперь давайте подумаем, что происходит в течение процесса интегрирования: у нас была функция мы с ней провели некоторую операцию, и в конечном результате получили другую функцию , связанную с . Видите здесь связь? Интеграл здесь является своего рода «преобразованием» одной функции в другую.

Идея: давайте введем определим отображение , т. е. операция, которая берет производную функции и переводит (т. е. преобразовывает) ее в исходную функцию. Определим ее следующим образом:

Применим эту идею для определенного интеграла для все тех же и :

Хорошо, применили — в чем смысл? А смысл вот в чем: отрезок не имеет значения — это всего лишь два параметра, которые используются для вычисления; отрезок не определяет смысл интеграла, интеграл — это преобразование, какое преобразование? Интеграл тождественен (под словом интеграл я имею в виду «операцию интегрирования», ибо интеграл — не более чем символ), т. е. операция интегрирования не зависима от выбора отрезка, ведь границы отрезка применяются только для преобразованной функции, следовательно, сам интеграл должен преобразовывать функцию, значит, определим неопределенный интеграл (божественная тавтология) таким образом:

Зафиксируем мысль: Мы абстрагировали понятие «интеграл», а именно саму «операцию интегрирования», от геометрии из соображений, что применяя ее на одну функцию мы получаем другую функцию, причем независимо от отрезка интегрирования. Тем самым мы объявили: взятие неопределенного интеграла есть операция над функцией, переводящая производную функции в исходную функцию, т. е. производная и интеграл — действительно обратные друг другу действия:

Таким образом, мы взглянули на грань матана для монеты под названием «интеграл». И как же это красиво! Настоящее искусство кристально чистой человеческой мысли. Однако‑ж вот какой факт удивляет больше всего: вся проблема начиналась с площади под графиком, чистой геометрической задачи, а мы нашли удивительную связь с производной — порождением чистого математического анализа, почти его родника, своего рода мост между геометрией и матаном. Эта связь разрывает мозг на кучу ошметков, покрытых математикой, своей ангельской красотой. Как после этого не называть математику искусством?

Первообразная. Свойства неопределенного интеграла

Теперь начнем исследовать наш новый математический объект — «неопределенный интеграл». Достаточно естественной идеей будет ввести понятие «первообразной». По определению — это функция производная которой равна искомой. Обычно это записывают так ( — первообразная,  — исходная функция):

Но так как мы выяснили, что интегрирование и дифференцирование — это обратные действия, тогда:

Заметим одну очень интересную деталь:

То есть если мы прибавим к первообразной константу , то выйдет тоже самое, значит, определения выше недостаточно для неопределенный интеграла, следовательно, логично дополнить его так:

И соответственно:

Это работает по тем же самым причинам, что и для первообразной.

На самом деле выглядит будто мы заменили на под интегралом и справа заменили на . В каком‑то смысле это можно воспринимать и так, однако в смысле это ни чуть не теряет: буквально функция  — это скорость изменения первообразной .

Раз мы заметили соответствие выше, тогда будет верно следующие утверждение:

Оно еще известно, как формула Ньютона‑Лейбница.

Небольшое лирическое отступление: В английской литературе слово первообразная любят называть «antiderivative», т. е. буквально «анти‑производная». Такое название неплох намекает сущность первообразной — функция производная которой даст искомую функцию.

Зафиксируем мысль: неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции, переводит ее во множество первообразных, которые отличаются на произвольное действительное число.

Теперь мы имеем полное понимание идеи с разных граней, но чтобы перейти к практике, нужно чуть‑чуть лучше расширить алгебраическое понимание операции интегрирования. Под таким слоганом я имею в виду понять что можно делать, а что нельзя, то есть с алгебраической точки зрения понять свойства операции. На этих вопросах сейчас и остановимся, а именно для неопределенного интеграла, но для определенного интеграла это тоже обобщается, но на доказательстве этого я не буду останавливаться.

Первое с чего хочется начать так это обосновать такой факт:

То есть интеграл суммы можно разбить на сумму интегралов. Чтобы доказать начнем с идеи: интеграл и производная — это обратные действия, значит пойдем от уже известного. Запишем вот такое тождество:

Это верно, так как работает свойство производной суммы и само определение первообразной ( — первообразные соответственно). Теперь немного поиграемся с выражением, но прежде обговорю тонкий момент: я не буду после интегрирования писать константу, т.к. мы рассматриваем преобразование конкретных функций и константа здесь роли большой не играет (это не совсем строго, но логически рассуждая из правил игры, которые мы задали, можно сделать подобное допущение. И вот честно, я бы не рассматривал это, как хорошее доказательство. Более правильный подход: сначала определить дифференцирование неопределенного интеграла и отталкиваться от этого):

Еще один момент, который я считаю нужным проговорить одно свойство:

Этот факт просто следует из свойства производной:

Хотелось бы сказать, что все факты наследуются от свойств производной, но например композиция функций приятными фактами не обладает, но зато композиция двух фактов выше сохраняют свои свойства, т. е. в композиции их можно поочередно применить:

Интересное замечание: неопределенный интеграл из двух давеча озвученных фактов можно считать линейным преобразованием.

Теперь же совсем на йоту остановимся на первообразных некоторых функций, чтобы познакомить с интегрированием на простых примерах.

Думаю с все понятно, ведь производная от какой функции даст ? Раз производная от есть , значит она сама себе и будет первообразной ну и плюс еще константа.

Теперь к и . Еще раз проговорю смысл первообразной: производная первообразной — это искомая функция, то есть нужно найти такую функцию, производная которой даст (тоже самое для ). Разберемся с . Производная от степенной функции равна:

Значит, всегда после взятия производной будет вылезать некоторый коэффициент, следовательно, чтобы при дифференцирования первообразной коэффициент должен пропасть, тогда разделим‑таки на него, но не совсем понятно на что делить‑то. Еще заметим, что при взятии производной от степенной функции степень всегда на единичку понижается, значит, если показатель , тогда первообразная должна иметь показатель , так как степень должна понизиться на 1, следовательно, коэффициент, который выскочит и будет , а следовательно, чтобы его не было на него же и делить нужно. Таким образом, первообразная имеет такой вид:

И если взять производную от такого выражения получим действительно :

Для показательной функции те же самые рассуждения. Производная от нее — это , значит при взятие производной от ее первообразной, коэффициент должен пропадать, тогда на него нужно разделить, следовательно первообразная имеет такой вид:

Для синуса и косинуса все еще проще. Производная какой функции даст ? Очевидно же, что это загадочная функция , так как ее производная просто по определению будет косинус. Для первообразной синуса все почти также. Раз производная косинуса равна , тогда производная и будет .

Вот теперь то мы во все оружия. Конечно, это не все факты, которые существуют, но для ознакомления с темой для старта будет достаточно. А сейчас пора закрыть гештальт с объемом шара.

И снова шарик

Вся задача остановилась на том, что мы поняли чему равен объем полусферы:

Но сейчас то мы знаем, что значит предел подобной суммы — это по сути интеграл, и не абы какой, а таки определенный интеграл на отрезке от до :

Теперь все, что осталось так это преобразовать и проинтегрировать:

Буквально пару комментариев: в последнем выражение на первой строчки есть определенный интеграл от и никакого икса только константа, но это тоже что и интеграл от степенной функции: производная какой функции даст 1? Конечно же функции . Ну и дальше по формуле Ньютона‑Лейбница преобразовываем, правда в пределах интегрирования стоял и везде на него умножали, значит и отнимали , в этой связи я опустил запись нулевого выражения.

Теперь к объему. Мы ведь нашли объем полусферы, то есть половину объема шара, тогда:

Конечно этот факт можно и доказать чисто геометрически, но эта хорошая подводка к более глобальной и широкой идеи — Интеграл.

Заключение

Сама сущность идеи интеграла весьма и весьма заманчива. Ей можно найти еще много и много различных применений. Объем шарика лишь один из примеров практического приложения этой идеи. Но вот, что главное: превращение сложной задачи, в сумму бесконечно малых величин. Это и есть главный клад, который несет интеграл у себя под капотом. Сама абстракция от чего‑то конечного к чему‑то бесконечному заставляет смотреть на вещи по‑другому, так сказать «расширяет сознание».

На самом деле, это один из тех моментов, когда ты лично можешь прикоснуться к бесконечности. Суммирование бесконечного и в то же время бесконечно малого невероятно удивительно! И ведь таки работает данная идея. Казалось бы совершенно несуразное и непрактичное определение:

Так красиво связанно с понятием «производная». В каком‑то смысле «интеграл» — элегантное обобщение «суммы» на не дискретное число элементов, скажем так, «гладкая сумма».

И что еще удивляет: два апостола математического анализа встречаются бок о бок в таком емком и красивом факте:

Некоторые люди рассуждают, что нет ничего понятного в этой математики, однако это лишь следствие того, что им не довелось или уж как жизнь сложилась, не заметить среди гобелена формул смысл и саму сущность того, что несут эти самые формулы. Я бы выразился так: «Формула — это компактно упакованная идея, за которой стоит колосс математического знания.»

Мои мысли и рассуждения дают вам, как читателю, взглянуть и ощутить колосса плечо — идею интеграла. Можно куда глубже закопаться и открыть еще более удивительные факты связанные с интегралом, однако‑ж эта статья про нестрогое введение в крохотную поляну огромной лесной чащи математического анализа.

Это статья призвана приоткрыть глубокий смысл, не полностью, конечно, но весьма достаточно, чтобы ощутить вес идеи, не рутину действий и бессмыслицу без цифр. На самом деле, чтобы обрести знания и полноценно их прочувствовать, нужно самому потыкаться и поиграться. И без практики никуда.

В общем, видьте шире, мыслите глубже, задавайте вопросы, копайтесь в идеях и даже интегралы обретут смысл и применение, помимо сверхудобного инструмента для доставания ключей из-под решетки :-)