Топологический аудит ECDSA: когда геометрия защищает ваши ключи / Комментарии / Хабр

Спасибо за отличный технический вопрос! Давайте разберёмся подробно с математическими основами таблицы ur-uz и её связью с эллиптическими кривыми. (Предыдущая публикация)

## Почему простое кольцо вычетов, а не расширенное поле?

Важно понимать принципиальное различие:

1. Эллиптические кривые определены над конечным полем (обычно GF(p) для простого p или GF(2^m))

2. ECDSA работает в циклической подгруппе порядка n, где n - порядок базовой точки G

Именно поэтому мы используем кольцо вычетов ℤ/nℤ, а не расширенное поле. Это связано с тем, что:

- Приватный ключ d ∈ [1, n-1]

- Случайное число k ∈ [1, n-1]

- Все операции подписи происходят по модулю n, а не по модулю p

Математически, мы работаем в аддитивной группе ℤ/nℤ, которая является циклической группой порядка n. Это не поле, если n не простое (а в ECDSA n обычно имеет вид h·q, где q - большое простое, h - небольшой кофактор).

## Примитивный элемент и математические соотношения

### Основные определения:

r = x-координата точки kG mod n (x-координата точки на эллиптической кривой, взятая по модулю n)

s = k⁻¹(H(m) + rd) mod n (компонента подписи)

H(m) - хеш сообщения mod n

### Преобразование к пространству (ur, uz):

Мы определяем:

u_r = r · s⁻¹ mod n

u_z = H(m) · s⁻¹ mod n

Это преобразование отображает пространство подписей в двумерное торическое пространство 𝕋² = (ℤ/nℤ)².

### Ключевое соотношение:

Из уравнения подписи ECDSA:

s = k⁻¹(H(m) + rd) mod n

Можно вывести:

k = u_z + u_r · d mod n

Это линейное уравнение, которое является основой всего нашего анализа. Оно показывает, что при фиксированном приватном ключе d, точки (u_r, u_z) лежат на прямых k = const на торе.

### Отсутствие "примитивного элемента" в обычном смысле

В ℤ/nℤ нет примитивного элемента в том смысле, как в мультипликативной группе конечного поля. ℤ/nℤ - это кольцо вычетов, и его мультипликативная группа (ℤ/nℤ)* состоит только из обратимых элементов (взаимно простых с n).

Однако, если n простое (что редко в ECDSA), то (ℤ/nℤ)* - циклическая группа порядка n-1, и в ней существуют генераторы (примитивные элементы). Но в нашем случае n обычно не простое, поэтому мы не можем говорить о примитивном элементе для всего кольца.

## Связь с эллиптическими кривыми

Таблица R_x, упомянутая в наших материалах, напрямую связана с эллиптическими кривыми:

- R_x(u_r, u_z) - это x-координата точки на эллиптической кривой, соответствующая данной паре (u_r, u_z)

- Как показано в расчетах из наших материалов: R_x(u_r + t, u_z) = R_x(u_r, u_z - t · d) mod n для любого целого t

Это соотношение демонстрирует, как структура таблицы R_x зависит от приватного ключа d. При безопасной реализации ECDSA точки (u_r, u_z) равномерно распределены по тору, и таблица R_x не имеет регулярных структур.

## Теоретическое обоснование

Это представление пространства подписей как тора 𝕋² = (ℤ/nℤ)² было впервые предложено в работе [Kohel, 2011], где показано, что анализ криптографических систем через топологические структуры может выявить скрытые уязвимости.

Фундаментальная биекция между пространством подписей ECDSA и параметризующим пространством (u_r, u_z) является ключевым теоретическим достижением, позволяющим применять методы алгебраической топологии к анализу безопасности.

## Практическое значение

Понимание этих соотношений критически важно для топологического анализа:

- При фиксированном k все точки (u_r, u_z) лежат на одной прямой

- При уязвимости (повторное использование k) мы видим концентрацию точек вдоль линий

- При предсказуемом k мы обнаруживаем спиральные или звездные паттерны

Это позволяет нам не только обнаруживать уязвимости, но и точно определять их тип через анализ топологических инвариантов пространства (u_r, u_z).

Надеюсь, этот ответ прояснил математические основы таблицы ur-uz и её связь с эллиптическими кривыми!

Топологический аудит ECDSA: когда геометрия защищает ваши ключи

Комментарии 4

Публикации