Пока толстый сохнет, худой сдохнет
Старинная русская поговорка

Недавно хабраюзер @TraPhro опубликовал хорошую статью на тему Санкт-Петербургского парадокса, придуманного когда-то Даниилом Бернулли для иллюстрации фундаментального ограничения классической теории вероятности с точки зрения рисковых решений, принимающихся людьми.

Перед тем, как читать эту статью, рекомендуем ознакомиться с предложенными ссылками, дабы освежить в памяти суть предмета.

Назовем игрой Бернулли следующее. Игрок платит денежную сумму S (серебряных рублей Российской Империи) за игру, после чего подбрасывает честную математическую монетку до тех пор, пока не выпадет решка. Выигрыш игрока составляет 2^H, где H - число выпавших подряд орлов.

Легко показать, что матожидание такой игры стремится к бесконечности. С вероятностью 1/2 в последовательности не будет орлов и мы получим за неё 1 рубль. С вероятностью 1/4 выпадет один орел, и это 2 рубля. С вероятностью 1/8 вы получите 4 рубля, и так далее. Матожидание всех этих исходов: 1/2 + 2/4 + 4/8 + ... -> \infty.

Однако вряд ли найдется человек, который согласился бы играть в эту игру даже при S=20.

Какова же справедливая цена игры?

В статье @TraPhro дается одно из возможных разрешений парадокса: через так называемую "Функцию полезности". Предполагается, что люди интуитивно оценивают свой потенциальный выигрыш не линейно, а согласно некой монотонно возрастающей функции со стремящейся к нулю производной. @TraPhro не дает явного выражения для функции полезности, в Википедии же в качестве простейшей модели предлагается логарифмическая функция f_{utility} = ln (\frac{Y}{S}), где Y - выигрыш, S - стоимость игры. Можно показать, и в статье в Википедии показывается, что в этом случае справедливая цена игры S=2.

Логарифмическая функция полезности предполагает, что люди воспринимают приращения или убытки своего капитала не в абсолютных, а в относительных величинах. Радость богача, что ему удалось накопить $10 000 000 в то время, когда год назад у него было всего лишь $1000 000 схожа с радостью не столь обеспеченного человека, наблюдающего увеличение своего капитала с $1000 до $10 000 , хотя в абсолютных величинах прирост капитала миллионера гораздо больше.

Однако всё это - лишь психология. Существует ли строгое математическое обоснование, способное объяснить, каким образом действующие абсолютно рационально экономические агенты могут отказаться играть в игру с бесконечным матожиданием? Может ли быть такое, что подсознательно воспринимаемая нами нелинейная полезность денежных средств - рациональное поведение по управлению рисками?

В данной статье мы обозначим три фундаментальных ограничения, препятствующих росту ставки S и поговорим о рисках, которые разумно и неразумно здесь принять.

Ограничение банка казино

Когда мы играем в игру Бернулли, например, с S=20, мы закладываем в эту игру возможность того, что с очень низким шансом, но всё-таки может случиться так, что игрок выбросит 20 и более орлов подряд, после чего казино окажется должно игроку 2^{20} = 1 048 576 рублей.

Говоря про времена Петра Первого, миллион тогдашних рублей - невообразимая сумма, наверняка значительно превышающая возможности казино. Но даже если бы мы играли на пшеничные зерна, а в обеспечении казино находилась бы вся экономика и вся сельскохозяйственная промышленность мира, из-за экспоненциальной природы выигрыша величина S, при которой банк казино способен гарантировать выплату, не могла бы превысить нескольких десятков.

Таким образом, мы получаем ограничение банка казино.

S_{K} = \frac{log_2 K}{2}

Здесь K - максимальный выигрыш, который готово выплатить казино, выраженный в денежных единицах, на которые ведется игра. Это небольшое число, двузначное практически при любых мыслимых сценариях.

Готовы сыграть в эту игру при S = 20? Чтобы выйти в плюс, вам нужно всего лишь выкинуть пять орлов подряд, а дальше - экспоненциальный рост вплоть до максимума в миллион с лишним! Кажется выгодной сделкой?

Ограничение длительности игры

Возьмем длинную случайную цепочку B[T] из T = 2^{32} последовательностей из серии орлов, оканчивающихся решкой. Перед нами больше четырех миллиардов игр Бернулли, случившихся подряд - достойная выборка, на которой должны проявиться все основные статистические эффекты нашей модели.

def generate_B(T, seed=42):
    """
    Генерирует массив B длины T (uint8),
    где B[i] — число орлов в i-й игре Бернулли.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)

    B = np.empty(T, dtype=np.uint8)

    chunk_size = 2**24

    offset = 0
    while offset < T:
        size = min(chunk_size, T - offset)

        B[offset:offset + size] = -np.log2(rng.random(size))
        offset += size

    return B

Сгенерируем случайную последовательность:

B = generate_B(T) # Генерация идет у меня около 40 секунд

С такой длинной последовательностью у нас возникают проблемы даже при попытке посчитать её среднее арифметическое. Написав что-то вроде

np.mean(2 ** B) # 3.9998945547267795

мы получаем результат, близкий к 4, что совершенно не согласуется с теорией. Проблема в арифметике малых целых чисел. При возведении 2^B numpy пытается сохранить тип, что при значениях больше 256 дает ошибку переполнения, которую numpy просто обращает в 0. Отказаться от np.uint8 же мы не хотим; уже при int64 хранение последовательности займет 32 Gb RAM, а оперативная память нынче дорогая.

Нам повезло: если бы мы работали с int32, мы могли бы легко попасться в этом численном эксперименте на ту же ошибку в гораздо более редком сценарии и не заметили бы её.

Правильный путь такой:

B_values, B_counts = np.unique(B, return_counts=True)

B_summ = 0

for i in range(len(B_values)):
    B_value = B_values[i]
    B_count = B_counts[i]

    B_summ += B_count*(2**int(B_value))

B_mean = B_summ/T # 16.525583560578525

Построим гистограмму распределения длин серий орлов:

Гистограмма распределения длин серий орлов
Гистограмма распределения длин серий орлов

Видно, что за исключением последовательностей длиной 30, 31, 32, которых нам повезло получить по одной штуке, распределение очень близко к экспоненциальному. Ничего необычного в этом нет: мы убедились, что всё корректно работает.

Откуда берется число B_mean = 16.52 ? Попробуем взять T поменьше:

log_2(T)

B_mean

32

16.52

30

19.05

28

13.49

26

13.80

24

12.78

22

11.59

20

13.76

16

11.00

12

5.96

Видно, что средний выигрыш "гуляет" где-то в районе log_2(T)/2 , отклоняясь в ту или иную сторону на несколько пунктов при удаче или неудаче игрока. Это легко объяснить математически.

Шанс на выпадение на 2^{32} серии игр события, которое происходит с вероятностью 2^{-40}, составляет всего 2^{-8}. Это событие с высокой вероятностью не выпадет и не внесет свой вклад в общую сумму. Наш статистический аппарат качественно работает с теми событиями, которые выпадают много раз, то есть состоящими из относительно малого числа орлов. Мы видим, что в той серии, где мы бросали 2^{30}, нам очень повезло, и среднее оказалось аж 19 - но у любого везения есть ограничения, и шансы на получение в такой серии среднего, отклонящегося от половины логарифма экспоненциально падают с ростом этого отклонения.

Таким образом, мы получаем ограничение длительности игры.

S_{T} = \frac{log_2 T}{2}

Ограничение риска игры

Будем считать банк казино условно-неограниченным. Также будем считать, что агент имеет 0 рублей начального капитала, однако может неограниченно брать кредит под игру.

Промоделируем историю игр 16 агентов, которые играют в одну и ту же ранее сгенерированную цепочку игр B, однако условия по S для них различаются: стоимость игры растет от 1 до 16 рублей. На серии игр в 2^{32} с S>16 игра не выгодна из-за отсечения низковероятных хвостов.

Введем функцию C(S) как максимальный долг банку со стороны агента S за всю историю. Можно воспринимать C(S) как стартовый капитал на игру, при котором агент никогда не уйдет в минус и не будет вынужден брать кредит.

def calc_C(S, B, chunk_size=2**24):
    """
    Быстро вычисляет C(S) для массива B (uint8),
    обрабатывая данные чанками.
    """
    capital = 0
    min_capital = 0

    T = len(B)
    offset = 0

    while offset < T:
        size = min(chunk_size, T - offset)

        # Небольшая оптимизация
        cs = np.cumsum((1 << B[offset:offset + size].astype(np.int64)) - S)

        local_min = capital + cs.min()
        if local_min < min_capital:
            min_capital = local_min

        capital += cs[-1]
        offset += size

    return -min_capital

C_values = []
S_values = np.arange(1, 17)

for S in S_values:
    C = calc_C(S, B)
    C_values.append(C)
Графики C(S) для B(2^32, seed=42)
Графики C(S) для B(2^32, seed=42)

При S < S_{T} C(S) не зависит от длины последовательности T, поскольку агент с высокой долей вероятности либо сливается в начале игры, либо ему удается заработать достаточный капитал, чтобы уверенно чувствовать себя при заданном S всю дальнейшую игру.

Видно, что максимальная сумма риска агента в игре Бернулли растёт экспоненциально с ростом стоимости игры. Причина в том, что компенсация линейного дрейфа возможна только за счёт экспоненциально редких событий, и ожидание таких событий требует экспоненциального же стартового капитала.

Характер экспоненциального роста близок к R\cdot 4^S где R - коэффициент где-то от 0 до 1.

График колебания коэффициента
График колебания коэффициента

Таким образом, мы получаем ограничение риска игры.

S_{С} = log_4(С/R)

Коэффициент риска R подбирается исходя из готовности игрока рисковать. Можно предположить R=0.5.

Откуда берется 4 в основании логарифма?

Типичный сценарий выживания игрока подразумевает каскад редких событий, до которых он стремится дожить, растрачивая капитал за счет S и лишь частично компенсируя дрейф в полной мере за счет частых событий. К примеру, если S = 10, то для выживания игроку нужно дождаться хотя бы одного события один-на-миллион с двадцатью и более орлами. В противном случае, матожидание прибыли от более част��х событий не перекрывает дрейф S. Среднее время ожидания для такого события: T = 2^{2 S}

Во время ожидания капитал игрока будет тратиться, в среднем, со скоростью 0.5 (более частые, но не спасающие игрока в полной мере события вроде 19 орлов он, вероятно, дождется).

Значит, для выживания необходимо, что бы выполнялось

C > 0.5 \cdot 2^{2 S}, что дает нам R = 0.5 и степень, равную 4. Однако спасительное событие может прийти раньше или позже намеченного срока, что заставляет нас в некоторых случаях калибровать R в ту или иную сторону.

Управление рисками

Мы получили три независимых фундаментальных ограничения на ставку S:

  1. Ограничение банка: S_K = 0.5 \log_2 K (зависит от размера банка казино)

  2. Ограничение времени: S_T = 0.5 \log_2 T (зависит от числа игр, в которых мы готовы участвовать)

  3. Ограничение риска: S_С = \log_4(С/R) (зависит от начального капитала игрока и его склонности рисковать)

Эти ограничения распространяются куда шире игры Бернулли.

Первое ограничение учит нас, что никакой рост не может быть экспоненциальным бесконечно или даже в течение длительного промежутка времени. Рано или поздно ресурс, поддерживающий рост, иссякнет и произойдет выход на плато. Это особенно актуально сейчас, в начале 2026 года, в период технологического бума LLM, когда кажется, что экспоненциальное развитие экономики ИИ не ограничено. Это актуально и для любого другого технологического пузыря, порожденного технологией с огромным, сложно обозримым потенциалом.

Второе ограничение говорит нам, что нельзя достичь успеха, ожидая редчайших событий. Даже очень редкие события должны происходить более-менее регулярно на обозримом горизонте планирования. Иначе мы рискуем просто не дождаться.

Третье ограничение - самое интересное. Для его иллюстрации взглянем ещё раз на пример из исходной статьи.

Богатый шоумен MrBeast, желая развлечь свою аудиторию, предлагает случайному обывателю выбор: получить $1 000 000 с шансом 100% либо в десять раз больше, но с шансом в 50%. С точки зрения матожидания следует рисковать. Однако многие предпочтут забрать гарантированную сумму.

Закон убывающей полезности говорит нам, что для среднего обывателя как $1 000 000, так и $10 000 000 - огромные, плохо различимые в своей огромности суммы, на которые он может полностью обеспечить свои потребности на текущий момент. Но здесь есть что-то более глубокое.

Предположим, что наш счастливчик, оказавшись на шаге от $1 000 000 , обладал до встречи MrBeast совокупным капиталом в $500 000 , куда включается всё его имущество от трусов до бабушкиной квартиры. MrBeast не раздает людя�� просто так большие деньги -- они должны служить интересам его шоу -- значит наш герой прошел уже через многое, дабы послужить интересам шоу MrBeast. К моменту, когда нашего героя ставят перед выбором, его виртуальный капитал составляет не $500 000 а $1 500 000 , поскольку он как бы уже "заработал" своей удачей и ловкостью свой приз. В этой ситуации ему требуется рискнуть 2/3 своего капитала.

Это плохой риск; многие инвестфонды не решились бы на это точно так же, как и наш герой. Экономисты фонда сказали бы что-то про установленный потолок инвестиций в рисковый проект. Аналогично мы видим в игре Бернулли, что в некоторых ситуациях глупо инвестировать в рисковую игру, если не располагаешь достаточными капиталами, чтобы выдержать этот риск.

Рассмотрим другой пример, когда тот же самый обыватель выиграл либо $100 либо право побороться с шансом в 50% за $1000 - в этом случае многие предпочли бы журавля синице, поскольку $100 для человека с капиталом в $500 000 - куда менее чувствительная сумма.

Психология обывателя здесь работает через закон убывающей полезности именно потому, что у нас довольно умное, прокаченное миллиардами лет эволюции подсознание, которое хорошо разбирается в рисках.

Не следует думать, что игра Бернулли - абстрактный, оторванный от жизни пример. Инвестфонды, инвестируя в сотни стартапов в надежде получить прибыль с нескольких, которые отобьют все затраты, играют в существенно усложненную версию игры Бернулли.

В классической теории инвестиций Келли ставка рассчитывается из общего банка игрока. Данная теория рассматривает ставку как долю от банка игрока; эта доля рассчитывается из оценок события со стороны игрока и со стороны биржи. Теория Келли хороша, но по сюжету Бернулли видно, что она не так уж хорошо работает со сценариями, когда мы обрабатываем редкие шансы.

Мы получили наш результат - логарифмический закон соотношения рисковой ставки с капиталом - через численный эксперимент. Можно ли построить строгое математическое обоснование нашей модели? Оказывается, да!

Непрерывная игра Бернулли

Пусть есть случайная величина, распределенная по закону f(x) = L e^{-L x} где L - некий фиксированный параметр. Предложим игроку заплатить S рублей и сгенерировать число по этому закону; в этом случае он получит e^{L x} выигрыша.

Оказывается, распределение выигрыша не зависит от L:

\mathbb{P}(Y > y)= \mathbb{P}(X > \tfrac{1}{L}\ln y)= e^{-L \cdot \frac{1}{L}\ln y}= \frac{1}{y}, \quad y \ge 1\mathbb{P}(Y > y) = y^{-1}

Отсюда:

  • \mathbb{E}[Y] = \infty,

  • но хвост настолько тяжёлый, что средне�� неинформативно.

Мы получили непрерывный аналог Санкт-Петербургской игры.

Рассмотрим процесс, в котором ты раз за разом меняешь величину своего капитала W, играя в эту игру.

W_{n+1} = W_n - S + Y_n

где Y_n - выигрыш.

Ты желаешь никогда не достичь состояния банкротства W < 0. Каков максимальный S, при котором вероятность разорения за разумное время мала?

Закон допустимого риска

Из хвоста:

\mathbb{P}(Y > y) = \frac{1}{y}

Вероятность получить выигрыш \ge z:

\sim \frac{1}{z}

Чтобы компенсировать потери порядка S n, нужен выигрыш:

z \sim S n

Вероятность дождаться его:

\sim \frac{1}{S n}

Среднее время ожидания:

n \sim \frac{C}{S}

Мы теряем капитал со скоростью S. Наш запас прочности — время n \approx C/S. Чтобы выжить, нам нужно, чтобы за это время случилось крупное событие, перекрывающее убытки. Вероятность такого события

\mathbb{P}(\text{дожить}) \sim \frac{1}{S} \log C

Отсюда:

\boxed{\text{Допустимый риск } S \sim \log C}

Почему это не психологический феномен, а закон природы процесса?

Потому что:

  • распределение выигрышей — степенное;

  • капитал — конечен;

  • разорение — поглощающее состояние;

  • большие выигрыши редки экспоненциально;

  • дожить до них можно только с логарифмически растущим капиталом.

А значит, мы приходим к главной формуле для любой игры Бернулли:

Риск должен быть долей логарифма капитала.

Вот чему учит нас Санкт-Петербургский парадокс.