Математика. Симметрия «псевдопростых близнецов»

    На досуге изучал свойства простых чисел и выявил одну возможно интересную закономерность. Поискал в Сети, по-моему, подобный вопрос прежде не поднимался.

    Симметрия близнецов псевдопростых чисел

    Известно, что простые числа в природе распределяются неизвестным образом, и нет никаких функций, отражающих закономерность последовательности. В теории присутствуют также, "простые близнецы" — пары простых чисел, различающиеся на 2 (например — 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31).

    Эффект, который виден на картинке выше, наблюдается при создании ряда псевдопростых чисел. Псевдопростыми будем называть такие числа, которые не имеют делителей из ограниченного множества возможных. Например, если вывести подряд несколько чисел не имеющих делителей из первых 4-х простых чисел (2, 3, 5, 7) и выделить у них «близнецов», наблюдается интересная картина: порядок близнецов циклически повторяется, при этом каждый цикл состоит из двух зеркальных частей. Тут — числовой пример.

    При добавлении в качестве критерия следующего простого делителя — 11, картина сильно меняется, длина цикла увеличивается с 313 до 2309, но симметрия остаётся:
    Симметрия близнецов псевдопростых чисел
    Пример с числами.

    Несмотря на то, что при добавлении 13 к фильтрующим делителям длина цикла возросла до ~30 000, мне удалось найти его границу и отобразить симметрию. Правда, gd2 отказывается корректно отрисовывать такую длинную картинку, воспользуйтесь уменьшением масштаба в браузере, чтобы лучше рассмотреть числовой пример №3 (ось симметрии проходит между 15013 и 15017). И придется чуть подождать, пока скрипт проверяет 60000 чисел.

    Кроме графической симметрии на всех тектовых примерах четко видны симметрии цифр в числах, что теоретически позволяет легко строить подобные таблицы механически, без факторизации чисел.

    Все это наталкивает на мысль, что, если устремить число критериев (делителей) к ∞, то аналогичные эффекты могут быть теоретически найдены и для подлинно простых чисел, а это могло бы стать открытием тысячелетия :-p

    В любом случае, интересно услышать ваше мнение о возможном объяснении подобного поведения чисел и, возможно, какие-то мысли для дальнейшего развития идеи по этому поводу.

    Всем хорошего дня! :)

    Комментарии 72

      +38
      Осталось скрыть пост, переселиться к маме, посвятить жизнь математике, и вперед к нобелевской.
        +27
        Да ладно вам, пошутить уже нельзя.
        Всем доброй ночи! :)
          +37
          Вы, наверное, не в курсе, что по математике не дают нобелевских :) Ваш К.О.
            +3
            как раз недавно про это читал, все разнозначные премии по дисциплинам не оцениваемым в рамках нобелевской премии, все же неофициально называют «нобелевскими».
              +1
              Потому что жена Нобеля с математиком убежала кстати)
                +4
                Ну, это уже википедия и рассказы препода по матану)))
                  +6
                  Прям знаниями блеснуть уже нельзя, как что, так сразу википедия)
                    +1
                    Уже сейчас практически любые знания, подразумевают наличие их в википедии.
            +4
            Своим комментарием вы напомнили мне как Выучить С++ за 21 день.
            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                0
                а вдруг нас ожидает неделя математических топиков? =)
              –8
              сверхнеудачная шутка
              к тому же без смайлика
                0
                Действительно неудачная, опять комментировать раз в 5 минут. :(
                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                    0
                    Спасибо, не буду дальше портить пост своими комментариями, все же довольно серьезная и интересная тема.
                –1
                при чем здесь нобелевская…
                +7
                Очень интересное наблюдение.

                Единственное, что я подметил, что простые числа составляют подмножество чисел вида 6i+-1

                а из вашего наблюдения вполне может следовать, что простые числа имеют фрактальную природу. жутко любопытно так ли это, но математической базы не хватает ((

                  +3
                  простые числа на бесконечном множестве не могут иметь фрактальной природы по определению.

                  при приближении к конечному множеству иногда можно проследить фрактальную природу.

                    +3
                    вы считаете, что фрактальная природа там, где это можно проследить?
                      +2
                      по определению чего?
                        +2
                        Еще тут можно вспомнить школьную вещицу одну.
                        «Скатерть Улама» зовется.

                          +1
                          Скатерть Улама — очень круто, удивлен. Мне о таком в школе не рассказывали… и даже на факультете прикладной математики в универе )
                        0
                        Задача которую мы решали в 6м классе: доказать, что если к любому простому числу большему 2х, можно прибавить или отнять единицу, чтобы получилось число, делящееся на 6.
                          +3
                          Больше трёх, если уж на то пошло.

                          P.S. Для тех, кому лень вспоминать 6-й класс: остатком от деления простого числа на 6 не может быть 2 (тогда то простое должно быть чётным, так как имеет вид 6n+2k = 2(3n+k)), 3 или 4. Остаётся 1 или 5. А 5=6-1, так что это то же, что и остаток -1.
                        +4
                        для четырёх простых чисел длина цикла зеркальных близнеков у вас получилась 313,
                        для пяти — 2309,
                        для шести — ~30000

                        >>если устремить число критериев (делителей) к ∞
                        то посчитать сможет только Чак Норрис
                        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                          +16
                          Для (2;3) цикл равен 6
                          Для (2;3;5) цикл равен 30
                          Для (2;3;5;7) цикл равен 210
                          Для (2;3;5;7;11) цикл равен 2310
                          Для (2;3;5;7;11;13) цикл равен 30030

                          Найди закономерность :)))
                            +1
                            классная идея, только вот не совсем все сходится, на самом деле числа такие:
                            24, 206, 2298, 3024 — как бы -6, но для 2310 не подходит… но можно еще поиграть.
                              +1
                              Достаточно посмотреть на правый столбец чисел, чтобы понять, что я имел ввиду.

                              83-53 = 53-23 = 30
                              523-313 = 313-103 = 210
                              6929-4619 = 4619-2309 = 2310
                              и тд
                                +1
                                Нет, это у вас ошибка. Там именно 30, 210 и т.д.
                                Перепроверьте ваши рисунки.
                                0
                                эм… э… надо умножать? :)
                                  +3
                                  умножение на 5, 7, 11 и 13 :)
                                +3
                                хах… может отталкиваясь от этого можно доказать рациональную(иррациональную?) природу константы Бруна, плюс вторая, третья проблема Ландау… а вообще довольно интересное наблюдение, чем черт не шутит, хотелось бы заняться этим поподробнее, простые числа таят в себе большие тайны))
                                  0
                                  Ловко.
                                  Но что-то где-то подобно слышал.

                                  шифрование-дешифрование?
                                    0
                                    Афонькин?? ))

                                    Ну вообще да, на сложности факторизации больших простых чисел основаны алгоритмы RSA.
                                      0
                                      он самый.
                                    +1
                                    Интерференция прям
                                      +11
                                      Вам, однозначно, стоит почитать Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения». Правда, я после прочтения этой книги доказал гипотезу о том, что квадрат суммы N натуральных чисел равен сумме кубов N натуральных чисел:
                                      (a1 +… + ai)2 = a13 +… + ai3, где a, i ∈ N. ;)
                                        +1
                                        браво!
                                          +2
                                          гоню…
                                          (a1 +… + an)2 = a13 +… + an3, где ai ∈ N
                                          0
                                          Спасибо! А эта формула натолкнула меня на идею решения одной задачи, над которой давно думал :)
                                            0
                                            На всякий случай: доказывается по индукции.
                                            0
                                            Это же не правда на самом деле? Или Вы пошутили, а я сильно устал, чтобы воспринимать юмор?
                                            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                +3
                                                Ясно. Вы формулу не совсем правильно записали.
                                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                0
                                                смайлик больно незаметный :-)
                                                +24
                                                Поздравляю! Но никакого открытия вы, разумеется, не совершили.
                                                2*3*5*7 = 210.
                                                Поэтому для 4х чисел цикл 210. А вовсе не 313, как вы зачем-то написали в посте.
                                                На вашем рисунке, это кстати хорошо видно.
                                                У вас там просто со 103 начинается почему-то, поэтому первый цикл заканчивается на 313.

                                                Для 5 чисел цикл будет 210*11 = 2310.
                                                Для 6 2310 * 13 = 30030 и т.д.

                                                Почему — надеюсь понятно? В принципе, могу объяснить, но попробуйте сами догадаться.

                                                P.S. К сожалению, в столь изученной области как теория чисел, дилетанты ничего добиться по определению не могут. Поэтому нобелевка (или премия Филдса? ) чуть откладывается.
                                                  0
                                                  вовсе не претендовал на открытие :)
                                                  насчет чисел, да, уже заметил где ошибся )
                                                    0
                                                    насчет открытия тысячелетия — пошутил, конечно)
                                                    просто эксперимент мне кажется занимательным.
                                                      +1
                                                      Теоретически, увеличивая число критериев до бесконечности, симметрия должна появиться на половине бесконечности этого перечисления. То есть достаточно просчитать чуть больше половины, чтобы понять чему же она равна :)
                                                    0
                                                    А-ха-ха, феерично )))
                                                    +3
                                                    Вам правда не понятно откуда цикл и симметрия? Цикл от того что если прибавить к любому числу произведение ваших простых, на которые Вы делите — то делимость сохранится. Симмертрия оттуда же, но чуть заковыристее
                                                      +3
                                                      Симметрия тоже очевидна:
                                                      Если A и A+2 — близнецы, то -A и -(A+2) тоже близнецы. Минус берём, естественно, по модулю произведения простых чисел.
                                                      +5
                                                      Как-то отдыхали мы в крыму, в Балаклаве, и проверяли на программируемом калькуляторе Бинарную проблему Гольдбаха (Бинарная проблема Гольдбаха). Прикол был в том что идея пришла в голову сама и только по приезду домой я узнал про Гольдбаха и его проблемы.
                                                      Это я к чему рассказываю: возьмите числовую ось, отметьте все числа делящиеся на два, потом все на три, потом на пять. Затем инвертируйте выделение и вы получите вашу картину — видимо вы открыли инверсию интерференции. Спасибо за внимание.
                                                        +5
                                                        Если я сам себе не наврал, то набросал пример обоснования такой повторяющейся симметрии.

                                                        Введем понятие множества исключения: это множество всех чисел, которые мы исключаем из возможных делителей, будем обозначать их P(1), P(2)…, А само множество { P(1)… P(n) }
                                                        Введем понятие переходного множества: это множества из чисел кратных P(k), из которого вычеркнуты все числа кратные тем, что уже есть в множестве исключения {P(1)… P(k-1)}:
                                                        Для тройки результат: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
                                                        Период этого множества будет равен произведению P(1)… P(n), т.к. эти числа простые, пусть P(1) * P(2) *… * P(n) = D
                                                        Тогда D — граница симметрии переходного множества
                                                        Докажем симметричность переходного множества для любого k

                                                        Возьмем некое число на какой либо границе
                                                        l1 = z*D + t
                                                        l2 = z*D — t

                                                        Где z >= 1, t<D
                                                        Такое, чтобы l1 было вычеркнуто в переходном множестве, докажем что l2 тоже вычеркнуто

                                                        l1 вычеркнуто => оно делится на какое либо число из множества исключения
                                                        Следовательно существует P(i) такое, что l1 mod P(i) == 0;
                                                        Но z*D mod P(i) == 0 для любого i <= n, т.к. D mod P(i) == 0, (D по определению произведение всех P(j) j<=n)
                                                        Следовательно существует целое число f такое, что t = P(i)*f
                                                        Тогда l2 mod P(i) так же равно нулю, т.к. P(i) можно вынести за скобки. (l2 = P(i) (z*(D/P(i)) — f))
                                                        Следовательно пары вычеркиваются симметрично, обратное следствие, что если l1 не вычеркнуто то и l2 не вычеркнуто доказывается аналогично.
                                                        Имеем: на каждой итерации на множество натуральных чисел накладывается некий симметричный паттерн конечной длины симметрии.
                                                        Если множество уже имеет симметричный паттерн длины A, и накладывается паттерн длины B, то в результате множество будет содержать паттерн длины C = НОК(A,B)
                                                        Если изначальный паттерн длины А симметричен, то изначальный паттерн длины C тоже симметричен, т.к. на эту длину C умещается целое число новых симметричных паттернов, то и паттерн C тоже будет симметричен.

                                                        Тогда будем накладывать поочередно паттерны из переходного множества на натуральный ряд (1 2 3 4 5 6 7 8 ...)
                                                        Натуральный ряд будет иметь повторяющийся паттерн из «вырезанных» чисел, а «шрамы», которые оставляют эти числа, будут разрывать изначально непрерывную цепь близнецов, в силу паттерна эти «шрамы» будут тоже повторяться
                                                        «Шрамы» на вашей картинке — это белые числа.
                                                        Следовательно и «близнецы» тоже будут повторяться.
                                                          0
                                                          Я сразу нашёл этот комментарий по строчке «НОК».
                                                          +2
                                                          осталось построить Скатерть Улама
                                                            +2
                                                            Именно что :)

                                                            Только c ссылкой намёк может быть более понятен:
                                                            en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral
                                                              0
                                                              впечатлило :)
                                                              а почему с помощью этой идеи нельзя производить поиск новых простых? закономерность ведь есть.
                                                                0
                                                                Потому что до сих пор ни у кого не получилось вывести формулу общего вида; есть только частные случаи. Если кому удастся, то он, в обнимку с гипотезой Римана, может смело занимать за Перельманом очередь на получение миллиона :)
                                                            –3
                                                            я ничего не понял.
                                                              0
                                                              эх, зря я в инсте ушел с ФПМ…
                                                                0
                                                                Мне ваш пост напомнил одну из семи проблем тысячелетия — Гипотезу Римана, он предположил что есть некая закономерность в ряде простых чисел, думаю и в эту сторону стоит думать :)
                                                                  0
                                                                  Не закономерность, а распределение, это совсем разные вещи.
                                                                  Кроме того, эта переформулировка не особо интересна (и даёт не очень много шансов для доказательства).
                                                                  –5
                                                                  ochen kruto chuvak ☺
                                                                    +1
                                                                    ничего удивительного, период явно зависит от множества делителей, при бесконечном множестве период тоже бесконечен, поэтому ничего о природе простых чисел это не скажет

                                                                    и америку вы явно не открыли, в винамповской визуализации в некоторых местах применяется подобный эффект для создания периодической структуры круговых узоров
                                                                      +1
                                                                      > что теоретически позволяет легко строить подобные таблицы механически, без факторизации чисел.

                                                                      Осталось только решить проблемку с нахождением простых чисел меньших длины периода пополам. Для первой сотни простых чисел период имеет длину:

                                                                      47119307999061849531624878347602604220205747734096755201886348396164153358450342
                                                                      21205289256705544681972439104097777157991804380284218315038719444943990492579030
                                                                      720635990538452312528339864352999310398481791730017201031090


                                                                      ;)
                                                                        +2
                                                                        Все это наталкивает на мысль, что, если устремить число критериев (делителей) к ∞, то аналогичные эффекты могут быть теоретически найдены и для подлинно простых чисел


                                                                        Угу, а ось симметрии будет лежать где то в районе ∞/0.5

                                                                        ^_^
                                                                          0
                                                                          конечно в районе ∞/2, а не так как я написал :)
                                                                          0
                                                                          Все это наталкивает на мысль, что, если устремить число критериев (делителей) к ∞, то аналогичные эффекты могут быть теоретически найдены и для подлинно простых чисел, а это могло бы стать открытием тысячелетия :-p

                                                                          Длина цикла, в таком случае, тоже устремится к ∞ и цикличность пропадет, разве нет?

                                                                          Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                          Самое читаемое