Читаю очень интересную книжку про философию математики от J.D. Hamkins. Этого интересного математика я узнал недавно. При прочих своих заслугах, он еще первый в рейтинге на mathoverflow. И встретил там интересную мысль, почему доказательства от противного "хуже" обычных доказательств, на примере доказательства, что простых чисел бесконечно много. Дальше цитата из книги:

"Теперь рассмотрим еще одну классическую теорему, которую часто приписывают Евклиду, а именно утверждение о том, что существует бесконечно много простых чисел. Первые несколько простых чисел вам, вероятно, знакомы:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29...

Но по мере перехода к большим числам они постепенно встречаются все реже. Заканчиваются ли они в какой-то момент? Или простых чисел бесконечно много? Действительно, простых чисел бесконечно много.

Следуя Евклиду, докажем, что любой конечный список простых чисел ​ можно расширить. Пусть получается путем перемножения всех этих чисел и прибавления единицы:

Поскольку каждое натуральное число имеет разложение на простые множители, должно существовать некоторое простое число q, которое является делителем . Но ни одно из простых чисел не является делителем , потому что при делении на каждое из них остается остаток 1. Следовательно, является новым простым числом, которого не было в предыдущем списке. Таким образом, мы всегда можем найти еще одно простое число, а значит, простых чисел должно быть бесконечно много.

Это можно также доказать методом от противного. Предположим, с целью получить противоречие, что у нас есть конечный список всех простых чисел ​. Затем перемножим их и прибавим единицу:

Новое число не делится ни на одно ​, поэтому его разложение на простые множители должно содержать новые простые числа, которых нет в списке. Это противоречит нашему предположению о том, что в списке уже содержатся все простые числа.

Имеет ли значение, доказываем ли мы это от противного или напрямую? Доказательство от противного кажется вполне корректным. Тем не менее некоторые математики особенно подчеркивают, что Евклид не использовал доказательство от противного. Вместо этого он доказал, как сделали и мы здесь, что любой конечный список простых чисел можно расширить.

И на то есть веская причина: мы часто предпочитаем прямые доказательства доказательствам от противного. Прямые доказательства нередко содержат информацию о том, как построить математические объекты, существование которых утверждается. Но, что еще важнее, прямые доказательства часто дают более полную картину математической реальности.

Когда импликацию доказывают напрямую, предполагают , а затем выводят различные дальнейшие следствия и так далее, прежде чем в конечном итоге прийти к . Таким образом, мы получаем целый контекст, описывающий, как устроены миры, в которых выполняется .

Аналогично, при доказательстве с помощью контрапозиции предполагают , а затем выводят дальнейшие следствия, описывающие, как устроены миры, в которых q не выполняется, прежде чем в итоге заключить .

Однако в доказательстве от противного предполагают одновременно и , то есть нечто, что в конечном счете оказывается невозможным ни в одном мире. Поэтому такое доказательство ничего не сообщает нам ни об одном математическом мире, кроме самого факта истинности импликации ."