ИИ против задач тысячелетия: кто на очереди?

Меньше двух недель прошло с заявления OpenAI о решении одной из семи "задач тысячелетия". Научный скандал еще не утих: 25 лауреатов Филдсовской премии выступили с предупреждением о конфликте между корпоративной гонкой за открытиями и нормами математической науки. Теперь появились слухи, что в ближайшие недели могут объявить о решении еще двух задач из семи!

The Information со ссылкой на источник внутри OpenAI сообщило: компания близка к решению гипотезы Ходжа, но затягивает с объявлением, «обдумывая, как сотрудничать с математическим сообществом, чтобы не вызвать очередной пиар-скандал». Это подтверждает и The Verge. Параллельно появился пост, который цитирует BlockBeats: «OpenAI очень близка к подтверждению гипотезы Ходжа, и либо OpenAI, либо Anthropic также близки к решению гипотезы Бёрча – Свиннертон-Дайера. Негласная гонка не похожа ни на что, что мне описывали раньше. Если это случится, три проблемы тысячелетия не устоят в течение месяца».

Официальных подтверждений нет, но давайте хотя бы разберемся, что же это за задачи.

Гипотеза Ходжа

Математики изучают многомерные геометрические объекты – алгебраические многообразия. Это множества решений систем полиномиальных уравнений. У таких объектов есть когомологии – абстрактные характеристики, описывающие их топологическую структуру. Среди них есть особые – классы Ходжа. Они выделяются двумя свойствами: их можно описать через рациональные числа, и они обладают «правильной» симметрией. Структуры Ходжа играют важную роль в теории струн – через многообразия Калаби-Яу, определяющие физику дополнительных измерений. А в 2024 году появилась работа, где аппарат теории Ходжа применяется к описанию квантовой запутанности.

Гипотеза утверждает: каждый такой класс происходит из конкретного геометрического объекта – алгебраического цикла (кривой, поверхности или более сложного объекта, задаваемого полиномиальными уравнениями). Иными словами, все абстрактные и симметричные характеристики многомерной фигуры можно описать через конкретные геометрические «кирпичики». Гипотеза доказана только для частного случая: в общем виде задача открыта с 1950 года и считается самой абстрактной из всех семи.

Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера (BSD)

Эллиптическая кривая описывается уравнением Вейерштрасса: Ключевой вопрос: сколько у него рациональных решений – где и , и являются обычными дробями? Множество рациональных точек на такой кривой образует группу: их можно «сложить», и результат снова окажется на кривой. Группа может быть конечной или бесконечной. Если она бесконечна, то у кривой есть ранг – число, показывающее, сколько независимых точек порождают все остальные.

Гипотеза BSD утверждает: ранг напрямую связан с поведением -функции – специальной аналитической функции, которая строится по кривой. Если гипотеза верна, мы сможем определить, конечно или бесконечно число рациональных решений, прямо по -функции.

Эллиптические кривые – не абстракция: на них построена эллиптическая криптография, защищающая интернет. Алгоритм ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) используется для цифровых подписей, в том числе в транзакциях криптовалют. Важно: BSD говорит про рациональные точки над полем , а в криптографии работают над конечными полями – это разные постановки. Гипотеза не ломает ECDSA напрямую, но углубляет понимание свойств самих кривых.

Что в итоге?

Если доказательства появятся, их нужно будет проверить. Формальная корректность не заменяет понимания: машина подтверждает, что выводы следуют из посылок, но не объясняет, почему это работает. Осмыслить такое доказательство – отдельная задача, которая может занять годы.

Если задачи, считавшиеся неприступными десятилетиями, падут за месяц, изменится представление о том, что такое математическое исследование. Что это означает для тех, кто учится математике или только выбирает путь? Буду рада обсудить в комментариях. Продолжаю следить за историей в своем канале о гидродинамике, AI, RISC-V и прочих моих интересах.