Быстрый способ поиска следующего квадрата

Таблица квадратов. Её трудно запомнить и легко забыть. Однажды очередной раз забыв большую часть таблицы я попытался выделить некую закономерность в формировании квадрата для более быстрого счета. И я нашел легкий способ для быстрого нахождения квадрата числа, которым хочу с вами поделится.

Для поиска закономерности я выписал на листке бумаги ряд квадратов и посчитал разность рядом стоящих.


И из этого видно что разность каждый раз увеличивается на 2(конечная разность квадратов*). И механика увеличения квадрата такова, что если взять разность двух предыдущих квадратов, сложить с наибольшим из них и прибавить 2, то получится квадрат следующего числа.


Неплохо, все работает, но из этого можно сделать ещё один вывод. Разность всегда увеличивается на 2 и поэтому можно взять «старую» разность, прибавить 2 и сложить с ранее полученным квадратом. В итоге получится следующий квадрат.


Но единственный недостаток то, что нужно знать 2 квадрата, но это легко исправить. Так как разность постоянна увеличивается на 2, то найдя первую разность, прибавив к ней число x, умножить x на 2 и прибавить квадрат x, получится квадрат (x + 1).


И эта формула похожа на сумму квадрата 1 в 1, но не в этом суть. Вся магия происходит дальше. Например нужно найти квадрат 23. Легко найти квадрат 20 (400) и по формуле выше легко найти квадрат 21, а дальше поиск нужного корня.


Таким способом можно взять любое число, которое быстро возводится в квадрат, посчитать следующий квадрат и прошерстить таким способ ряд квадратов.

*Конечная разность:

Конечная разность есть не только у квадратов, она есть у всех степеней. Для того, что бы её найти для n степени нужно взять n + 1 подряд идущих чисел n степени и вычитать разности разностей. Т.е как бы идя по «лесенке».


И из этого можно вывести закономерность: lt(n) = n * lt(n — 1). Например: lt(4) = 4 * 6; lt(3) = 3 * 2; lt(2) = 2 * 1; и т.д.

Надеюсь статья была информативной и полезной. Ещё есть почти такой же способ считать кубы, только он не такой легкий, но в следующий раз напишу о нем.