15 июл 2022 в 21:05

Великая теорема Ферма: тема закрыта. Простое и непротиворечивое доказательство

Ожидает приглашения

Я, конечно, понимаю, что ферматисты всем порядком поднадоели. Да и теорема уже доказана, аж в 1994 году. Но все же... У большинства людей, кто в теме, остался какой-то осадочек: доказательство Уайлса громоздко и малопонятно даже для многих математиков; неужели Ферма держал в голове что-то подобное, когда написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки»?

Предлагаю рассмотреть простое и непротиворечивое доказательство. Может, действительно после этого можно будет сказать, что тема закрыта?

Теорема: для любого натурального числа n>2 уравнение

$x^2+y^2=z^2 \qquad (1)$

не имеет решений в целых натуральных x, y, z.

Метод

Решение диафантовых уравнений высших степеней с тремя переменными - дело достаточно трудоемкое. Поэтому вначале проведём алгебраические преобразования уравнения (1), позволяющие упростить рассуждения: разделим левую и правую часть уравнения (1) на yⁿ:

$\left(\frac{x}{y}\right)^n+1=\left(\frac{z}{y}\right)^n \Leftrightarrow \left(\frac{z}{y}\right)^n-\left(\frac{x}{y}\right)^n=1$

Для начала примем, что x, y, z - положительные (на самом деле доказательство для отрицательных x, y, z ни чем не отличается). И введем обозначения:

$a=\frac{x}{y},\ \ \frac{z}{y}=(a+\Delta), где \ \Delta=\frac{z-x}{y}.$

Тогда последнее уравнение можно записать в виде:

$(a+\Delta)^n-a^n=1 \ \ или \ \ (a+\Delta)^n-a^n-1=0 \qquad (2)$

Очевидно, что уравнение (2) тождественно уравнению (1), при этом a и Δ являются рациональными положительными числами:

$a\in Q, \ \Delta\in Q \qquad (3)$$ $$ a>0, \ \Delta >0 \qquad (4)$

Таким образом, доказательство Теоремы сводится к доказательству того, что уравнение (2) не имеет решений в положительных рациональных a и Δ при n > 2.

Используя этот метод докажем сначала Теорему для двух конкретных случаев: n=3 и n=4.
n=3
Уравнение (2) принимает вид (a + Δ)³ − a³ − 1 = 0. Раскрыв скобки получим:

$\Delta^3+3a\Delta^2+3a^2\Delta-1=0 \qquad (5)$

Это приведённое кубическое уравнение относительно Δ. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то Δ может принимать значения 1 или -1. Отрицательное значение не соответствует условию (4). Поэтому, чтобы получить значения для a, подставим в (5) Δ = 1. Получим уравнение 3a + 3a² = 0, откуда a может принимать два значения: a₁ = −1, a₂ = 0. Оба значения не соответствуют условию (4). То есть при n = 3 уравнение (5) не имеет положительных рациональных корней. Это означает, что нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
n=4
Подставив в уравнение (2) значение n = 4 получим: (a + Δ)⁴ − a⁴ − 1 = 0 или:

$\Delta^4+4a\Delta^3+6a^2\Delta^2+4a^3\Delta-1=0 \qquad (6)$

Это приведённое уравнение четвёртой степени относительно Δ. Аналогично предыдущему случаю, согласно теоремы Безу, Δ может принимать только два рациональных значения 1 и -1, из которых по условию (4) нам подходит только одно: Δ = 1. Подставив его в уравнение (6) получим кубическое уравнение относительно a: 4a³ + 6a² + 4a = 0. Очевидно, что положительных рациональных корней у этого уравнения нет. А, значит, и нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).

Аналогичным образом можно проверить справедливость Теоремы для других значений n.

В общем случае

1) Для любых значений n > 2 уравнение (a + Δ)ⁿ − aⁿ − 1 = 0 можно преобразовать к виду:

$C_n^{1}a^{n-1}\Delta^1+C_n^{2}a^{n-2}\Delta^2+...+C_n^{n-1}a^{1}\Delta^{n-1}+C_n^{n}a^{0}\Delta^{n}-1=0, \ где$ $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} - Биномиальный \ коэффициент$

Учитывая, что при n=k Биноминальный коэффициент равен 1 и переставив слагаемые в обратном порядке, получаем более очевидную запись приведённого уравнения n-ой степени относительно Δ:

$\Delta^n+C_n^{n-1}a\Delta^{n-1}+...+C_n^{2}a^{n-2}\Delta^2+C_n^{1}a^{n-1}\Delta-1=0. \qquad (7)$

2) Доказательство Теоремы сводится к тому, чтобы доказать отсутствие положительных рациональных решений уравнения (7), то есть таких a и Δ, которые удовлетворяли бы условиям (3) и (4).

3) Решая уравнение (7) относительно Δ и принимая во внимание, что высший коэффициент и свободный член уравнения (7) равны 1, согласно теоремы Безу получаем единственное значение для Δ, удовлетворяющее условиям (3) и (4) - это Δ = 1.

4) При подстановке Δ = 1 в уравнение (7) получаем уравнение (n−1) - ой степени относительно a вида:

$C_n^{1}a^{n-1}+C_n^{2}a^{n-2}+...+C_n^{n-1}a=0. \qquad (8)$

Так как Биномиальные коэффициенты положительны и по условию (4) a > 0, то очевидно, что уравнение (8) не имеет рациональных корней при любом n > 2. А это означает, что и уравнение (2) не может иметь рациональные положительные корни. То есть не существует таких a и Δ, которые удовлетворяли бы условиям (3), (4) и для которых выполнялось бы равенство (2). С учетом принятых изначально обозначений, из этого следует, что не существует натуральных x, y и z, удовлетворяющих условию (1) при n > 2.
Что и требовалось доказать.

Доказательство приведено для натуральных x, y, z. В случае отрицательных целых чисел доказательство то же самое, так как с отрицательными числами уравнение всегда можно свести к виду (1) путем переноса отрицательных членов в противоположную часть уравнения.

Хабы: