4 дек 2024 в 00:58

Совершенный кубоид (Решение)

Средний

Ожидает приглашения

Доказательство, что у системы следующих диофантовых уравнений нет решения в натуральных числах:

$\begin{cases} a^2+b^2=d^2 \\ a^2+c^2=e^2\\ c^2+b^2=f^2\\a^2+b^2+c^2=g^2 \end{cases}$

Доказать, что $a,b,c,d,e,f,g \notin N$

Вводное

Теорема Пифагора и связанные с ней свойства гарантируют, что все прямоугольные треугольники с целыми сторонами обязательно являются пифагоровыми тройками. Ни одна другая комбинация целых чисел, не удовлетворяющая условиям пифагоровых троек, не может быть сторонами прямоугольного треугольника.

Поскольку уравнение однородно, при умножении на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка.

Решение данной задачи будет основано на свойстве четности чисел в примитивных пифагоровых тройках. Для примитивной пифагоровой тройки уравнения , где и имеют разную четность, причем четное всегда делится на 4, а всегда нечетное.

Доказательство

Чтобы получить совершенный кубоид, необходимо, чтобы как минимум уравнения:

$\begin{cases}a^2+b^2=d^2 \\ a^2+c^2=e^2\\ c^2+b^2=f^2 \end{cases}$

Являлись пифагоровыми тройками при заданных . Значит, в них являются нечетными натуральными числами.

А для есть два возможных варианта:

Где все являются четными или нечетными числами. В таком случае все три уравнения не являются пифагоровой тройкой.
Где являются четными или нечетными, а нечетное или четное соответственно.
В таком случае одно из уравнений не является пифагоровой тройкой. (От выбора переменных ничего не меняется.)

Из этого следует, что не существует таких комбинаций натуральных чисел , при которых можно построить кубоид со сторонами $a, b, c \in N$ . И, соответственно, уравнениене имеет решений, где $a, b , c, g \in N$ .

Хабы:

Математика