Числовая симметрия при операциях с возрастающими и убывающими последовательностями цифр
Всем привет! Не являюсь математиком, но раньше когда на телефонах еще не было игр, я часто играл в "калькулятор" и заметил одну интересную арифметическую операцию. Решил немного разобраться и вывел закономерность. Это подходит для рекреационной математики, красота чисел.
Введение
Математические закономерности, возникающие при работе с последовательностями цифр, всегда привлекают внимание как профессионалов, так и любителей математики. В данной статье рассматривается феномен, при котором выполнение двух арифметических операций над двумя специально выбранными числами приводит к числу, запись которого выглядит как "склейка" этих чисел. Исследование начинается с десятичной (10-чной) системы счисления, а затем обобщается на другие системы.
Основная идея
Пусть заданы два числа, составленные следующим образом:
A = 123...n — число с возрастающей последовательностью цифр.
B = n(n−1)...1 — число с убывающей последовательностью цифр.
При условии, что при сложении соответствующих цифр не происходит перенос (то есть если n+1 меньше основания системы счисления), складывая A и B, мы получаем постоянную сумму в каждом разряде:
A + B = (n + 1) * Rn,
где Rn — repunit-число, состоящее из n единиц. В десятичной системе оно записывается как:
Rn = (10^n - 1) / 9
Далее, при делении на (n + 1) получаем:
(A + B) / (n + 1) = Rn
а при возведении в квадрат:
((A + B) / (n + 1))^2 = Rn^2
Известно, что квадрат repunit-числа в десятичной системе имеет симметричную запись: сначала идут цифры от 1 до n, а затем – от (n−1) до 1. Это можно интерпретировать как "склейку" числа A и зеркального отражения B (за исключением первой цифры B).
Примеры в десятичной системе
Пример 1: n = 3
A = 123
B = 321
Сумма: 123 + 321 = 444
Деление: 444 / 4 = 111
Квадрат: 111^2 = 12321
Результат 12321 можно интерпретировать как "склейку" 123 и 21.
Пример 2: n = 4
A = 1234
B = 4321
Сумма: 1234 + 4321 = 5555
Деление: 5555 / 5 = 1111
Квадрат: 1111^2 = 1234321
Результат 1234321 — это "склейка" 1234 и 321.
Пример 3: n = 5
A = 12345
B = 54321
Сумма: 12345 + 54321 = 66666
Деление: 66666 / 6 = 11111
Квадрат: 11111^2 = 123454321
Пример 4: n = 9
A = 123456789
B = 987654321
Сумма: 123456789 + 987654321 = 1111111110
Деление: 1111111110 / 10 = 111111111
Квадрат: 111111111^2 = 12345678987654321
Результат выглядит как "123456789" склеенное с "87654321".
Обобщение на другие системы счисления
Основная идея применима не только в десятичной системе. Пусть основание системы счисления равно b. Тогда repunit-число длины n определяется как:
Rn = (b^n - 1) / (b - 1)
При условии, что цифры 1,2,...,n допустимы в системе (то есть n < b), можно задать:
A = 123...n (в системе с основанием b)
B = n(n−1)...1
Если выбрать n так, чтобы n + 1 < b, то выполняется:
A + B = (n + 1) * Rn
Деление на (n + 1) и возведение в квадрат дают:
((A + B) / (n + 1))^2 = Rn^2
а запись Rn^2 имеет симметричный вид, аналогичный десятичной системе.
Восьмеричная система (основание 8)
В системе с основанием 8 допустимы цифры от 0 до 7. Для отсутствия переносов необходимо, чтобы n + 1 ≤ 7.
Пример для n = 6:
A = 123456 (в восьмеричной)
B = 654321 (в восьмеричной)
Сумма: A + B = 777777
Деление: 777777 / 7 = 111111
Квадрат: 111111^2 = 12345654321 (в восьмеричной)
Дуодецимальная система (основание 12)
В системе с основанием 12 цифры принимают значения от 0 до 11 (10 обозначается как A, 11 — как B). Выберем n = 10:
A = 123456789A (в 12-ричной)
B = A987654321 (в 12-ричной)
Сумма: A + B = BBBBBBBBBB
Квадрат: 1111111111^2 = 123456789A987654321 (в 12-ричной)
Шестнадцатеричная система (основание 16)
В шестнадцатеричной системе допустимы цифры от 0 до F. Выберем n = 14:
A = 123456789ABCDE (в 16-ричной)
B = EDCBA987654321 (в 16-ричной)
Сумма: A + B = FFFFFFFF
Квадрат: 11111111111111^2 = 123456789ABCDE DCBA987654321 (в 16-ричной)
Заключение
Мы рассмотрели закономерность, при которой выполнение двух операций — сложения специальных чисел A и B, с последующим делением на (n + 1) и возведением результата в квадрат — приводит к числу, запись которого выглядит как "склейка" возрастающей последовательности A и зеркально отражённого B (без его первой цифры). Эта симметрия сохраняется при переходе к различным системам счисления.