Привет всем, кто читает эту статью! Сегодня я простыми словами расскажу, что такое функция, рассмотрим ее анатомию, а также разберёмся, как рост смурфика зависит от его возраста, но все по порядку...
Что такое теория функций
Поскольку мы начали изучать одну из областей математики, важно понимать, с чем именно мы имеем дело.
Теория функций — это раздел математики, который изучает функции, их виды, свойства, а также поведение в различных ситуациях.
В дальнейшем, когда я буду писать продолжение, мы будем углубляться в этот раздел. Но сейчас разберём необходимую базу для понимания последующих статей.
Интуитивное понимание
Прежде чем переходить к сложным математическим формулам, я хочу интуитивно объяснить саму суть функции, поэтому начну издалека.
Как вы знаете, в нашем мире существует множество зависимостей. Например: если пошёл дождь, то дороги становятся влажными; ночью темно, а днём светло; и, наконец, чем старше человек, тем он выше (за исключением некоторых случаев).
Но как выразить последнюю зависимость математически? Именно эту проблему и решают функции.
Представим, что у нас есть мир смурфиков. В среднем они живут 20 лет, и их рост увеличивается с каждым годом. Давайте составим математическую модель этой зависимости:
где:
y - рост смурфика
x - его возраст
Далее я объясню анатомию функции, а пока можете считать эти непонятные буквы обозначениями, как я описал выше.
Теперь давайте узнаем рост смурфика, когда ему исполнился 1 год. Для этого достаточно просто подставить возраст x = 1 в нашу формулу.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Определение функции
Теперь поговорим о функции более формально и дадим ей определение.
Функция — это зависимость одной величины от другой.
У вас может возникнуть резонный вопрос: о каких именно величинах идёт речь? Сейчас мы с этим разберёмся.
Анатомия функции
На нашем операционном столе находится та же функция, которую мы рассматривали ранее:
x и y — это те самые величины, которые как-то зависят друг от друга. Возникает ещё больше вопросов, чем ответов, не так ли? Это нормально, сейчас всё объясню.
y — это значение функции (его ещё называют зависимой переменной). Это те значения, которые мы получаем после подстановки. В нашем примере y — это рост смурфика.
x — это аргумент функции (его ещё называют независимой переменной). Это те значения, которые мы подставляем в функцию. В нашем примере x — это возраст смурфика.
Такую зависимость y от x называю функциональной зависимостью.
График
График — это наглядный способ представить зависимость между величинами. В нашем случае, с помощью графического калькулятора Desmos мы изобразим зависимость роста смурфика от его возраста.
По горизонтальной оси откладываются значения x, а по вертикальной — значения y.
По графику можно также определить рост смурфика. Для этого нужно выбрать на оси x соответствующее значение и провести вертикальную линию до пересечения с графиком. Когда линия пересечет график, проведите горизонтальную линию до оси y, чтобы узнать значение y, которое соответствует выбранному x.
Ось x и ось y называются абсциссой и ординатой соответственно.
Кстати, на самом деле график — это не линия, а просто очень близко расположенные друг к другу точки, которые создают иллюзию прямой.
Линейная функция
Линейная функция, это функция вида:
где:
k и b - числа
x - аргумент функции
y - значение функции
Наша функция:
является частным случаем линейной функции, при котором коэффициент k = 1.
Также, вы могли заметить закономерность: если взять числа от 1 до 5, то значения функции будут увеличиваться на 1. Если взять числа с некоторым промежутком, например, 2, то каждое значение будет увеличиваться на 2.
Это и есть прелесть линейной функции — её значения увеличиваются на постоянное значение.
Реализация функции на python
def linear_func(x):
return x + 1
value_x = [1,2,3,4,5]
for x in value_x:
y = linear_func(x)
print(y)Мы написали функцию, которая принимает значение x и возвращает x + 1. Затем был объявлен массив, содержащий наши значения. В цикле мы итерируемся по массиву, по очереди передаём значения в функцию и выводим результат.
Построение графиков на python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.array([1,2,3,4,5])
plt.plot(x, x + 1)
plt.show()Импортируем библиотеки matplotlib и numpy. Первая нужна для построения графиков, а вторая — для расширенной работы с массивами. Создаем массив x, в который записываем значения. Затем передаем массив в функцию plot, прибавляя к каждому элементу +1, и выводим результат:
Заключение
Сегодня мы разобрали фундаментальные основы одной из самых сложных тем алгебры в средней школе. Мы интуитивно поняли, что такое функция, рассмотрели её определение и разобрали её анатомию.
Этой базы достаточно, чтобы вы могли свободно читать статьи по данному разделу математики и лучше понимать её основы