28 мар в 11:32

Теория функций или как показать зависимость роста смурфика от его возраста

Простой

Ожидает приглашения

Привет всем, кто читает эту статью! Сегодня я простыми словами расскажу, что такое функция, рассмотрим ее анатомию, а также разберёмся, как рост смурфика зависит от его возраста, но все по порядку...

Что такое теория функций

Поскольку мы начали изучать одну из областей математики, важно понимать, с чем именно мы имеем дело.

Теория функций — это раздел математики, который изучает функции, их виды, свойства, а также поведение в различных ситуациях.

В дальнейшем, когда я буду писать продолжение, мы будем углубляться в этот раздел. Но сейчас разберём необходимую базу для понимания последующих статей.

Интуитивное понимание

Прежде чем переходить к сложным математическим формулам, я хочу интуитивно объяснить саму суть функции, поэтому начну издалека.

Как вы знаете, в нашем мире существует множество зависимостей. Например: если пошёл дождь, то дороги становятся влажными; ночью темно, а днём светло; и, наконец, чем старше человек, тем он выше (за исключением некоторых случаев).

Но как выразить последнюю зависимость математически? Именно эту проблему и решают функции.

Представим, что у нас есть мир смурфиков. В среднем они живут 20 лет, и их рост увеличивается с каждым годом. Давайте составим математическую модель этой зависимости:

где:

y - рост смурфика
x - его возраст

Далее я объясню анатомию функции, а пока можете считать эти непонятные буквы обозначениями, как я описал выше.

Теперь давайте узнаем рост смурфика, когда ему исполнился 1 год. Для этого достаточно просто подставить возраст x = 1 в нашу формулу.

x	1	2	3	4	5	6	7
y	2	3	4	5	6	7	8

Определение функции

Теперь поговорим о функции более формально и дадим ей определение.

Функция — это зависимость одной величины от другой.

У вас может возникнуть резонный вопрос: о каких именно величинах идёт речь? Сейчас мы с этим разберёмся.

Анатомия функции

На нашем операционном столе находится та же функция, которую мы рассматривали ранее:

x и y — это те самые величины, которые как-то зависят друг от друга. Возникает ещё больше вопросов, чем ответов, не так ли? Это нормально, сейчас всё объясню.

y — это значение функции (его ещё называют зависимой переменной). Это те значения, которые мы получаем после подстановки. В нашем примере y — это рост смурфика.
x — это аргумент функции (его ещё называют независимой переменной). Это те значения, которые мы подставляем в функцию. В нашем примере x — это возраст смурфика.

Такую зависимость y от x называю функциональной зависимостью.

График

График — это наглядный способ представить зависимость между величинами. В нашем случае, с помощью графического калькулятора Desmos мы изобразим зависимость роста смурфика от его возраста.

По горизонтальной оси откладываются значения x, а по вертикальной — значения y.

По графику можно также определить рост смурфика. Для этого нужно выбрать на оси x соответствующее значение и провести вертикальную линию до пересечения с графиком. Когда линия пересечет график, проведите горизонтальную линию до оси y, чтобы узнать значение y, которое соответствует выбранному x.

Ось x и ось y называются абсциссой и ординатой соответственно.

Кстати, на самом деле график — это не линия, а просто очень близко расположенные друг к другу точки, которые создают иллюзию прямой.

Линейная функция

Линейная функция, это функция вида:

где:

k и b - числа

x - аргумент функции

y - значение функции

Наша функция:

является частным случаем линейной функции, при котором коэффициент k = 1.

Также, вы могли заметить закономерность: если взять числа от 1 до 5, то значения функции будут увеличиваться на 1. Если взять числа с некоторым промежутком, например, 2, то каждое значение будет увеличиваться на 2.

Это и есть прелесть линейной функции — её значения увеличиваются на постоянное значение.

Реализация функции на python

def linear_func(x):
    return x + 1

value_x = [1,2,3,4,5]

for x in value_x:
    y = linear_func(x)
    print(y)

Мы написали функцию, которая принимает значение x и возвращает x + 1. Затем был объявлен массив, содержащий наши значения. В цикле мы итерируемся по массиву, по очереди передаём значения в функцию и выводим результат.

Построение графиков на python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.array([1,2,3,4,5])

plt.plot(x, x + 1)
plt.show()

Импортируем библиотеки matplotlib и numpy. Первая нужна для построения графиков, а вторая — для расширенной работы с массивами. Создаем массив x, в который записываем значения. Затем передаем массив в функцию plot, прибавляя к каждому элементу +1, и выводим результат:

Заключение

Сегодня мы разобрали фундаментальные основы одной из самых сложных тем алгебры в средней школе. Мы интуитивно поняли, что такое функция, рассмотрели её определение и разобрали её анатомию.

Этой базы достаточно, чтобы вы могли свободно читать статьи по данному разделу математики и лучше понимать её основы

Хабы:

Habr