Для запуска на орбиту все на первый взгляд еще проще — надо просто сильно светить и штука полетит. На практике все сложнее — обычно штука сначала испаряется. Есть, правда, несколько методов.
Нет, если бы спутники с ионными двигателями делали маневры так, то они бы разгонялись столетиями. В KSP ионные двигатели неестественно мощные (настоящие ионники имеют тягу порядка десятков-сотен миллиграмм).
В математическом смысле функция нескольких переменных — это функция работающая на прямом произведении параметров, то есть, принимающая на вход именно кортежи.
Таким образом, f :: (x, y) -> z — можно воспринимать как некаррированную версию функции f:: x -> y -> z.
По поводу интеграла — имхо «подсчитать без косинуса» звучит странно, но я бы разбил на две части по Pi/2 и сделал замену x = arcsin(tau). Тогда интеграл превращается в алгебраический.
Проблема чисто алгебраического подхода в бесцельности. Нет движущего фактора определять именно эти числа. Ценность этих чисел в удобстве. Вы предложили рассмотреть принцип полноты.
Не могу согласиться на счет бесцельности — алгебраические и даже арифметические структуры имеют очень богатое поведение и, на самом деле, довольно жестки. Например, практически в любой формальной системе у вас будут аксиомы Пеано, соответственно будут простые числа — это настолько самодостаточная и богатая структура, что ее, имхо, будут изучать вечно.
В этом смысле действительные числа тоже уникальны — это единственное линейно-упорядоченное поле, в котором существуют все пределы. И комплексные, как их алгебраическое замыкание — тоже уникальны. Еще с алгебраической точки зрения, комплексные числа уникальны тем, что это самая сложная коммутативная алгебра с делением.
Опять же, e важно тем, что оно позволяет сконструировать спектр дифференциальных операторов, pi тем, что exp(i*pi) = -1 и т.п.
Я к тому, что все эти вещи берутся действительно не с потолка.
Да, действительно, можно получить больше вещественных чисел с помощью пределов. Доказано ли, что все?
Таким образом можно получить топологически полное пространство со структурой поля, обладающее всеми свойствами, которые мы обычно хотим от точек геометрической прямой. Конечно, мы можем расширять дальше, добавляя всякие странные числа типа гиперреальных.
Топологию можно формально ввести без метрик, да. Но без введения метрик эта топология неаналитична.
Фишка в том, что «решеточная» процедура определения пределов, которую я описал, сама по себе индуцирует стандартную метрику на R, то есть, такая метрика опять же является выделенной — мы ее не вводим, а она получается сама.
А топология без метрики вводится весьма часто. Хороший пример — топология Зарисского.
3. Реальна ли в принципе алгебра без геометрических методов (т.е. без определения геометрических свойствих как расстояние) при введении второго измерения для определения функций как геометрии отображений.
Алгебра может быть как сама по себе, так и с геометрией. Геометрия тоже. Правда союз весьма продуктивен. Вы, наверное, удивитесь, если узнаете, насколько интенсивно используется геометрия в, например, теории чисел.
Важно, чтобы было понимание общей картины. Без понимания того, откуда что берется и зачем оно нужно весьма сложно.
Все-таки вещь, которую Вы называете базисом, принято называть базой (хотя базис тоже допустим, но так никто не говорит, потому что можно перепутать с базисом векторного пространства). Топологию можно определить и без метрики, просто постулировав. Функцию никто связанностью никогда не называет. Все-таки нужно использовать нормальную терминологию, иначе Вас не будут понимать.
Теперь по сути. Если вы возьмете пространство R', удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. R' — поле.
2. R' линейно упорядочено.
3. R' полно по Дедекинду (нет сечений без точных граней одновременно сверху и снизу).
То такое пространство будет обычным R с точностью до гомоморфизма с алгебраической точки зрения.
Теперь мы можем рассмотреть последовательности в этом пространстве, которые определяются функциями f: N->R. Линейной упорядоченности пространства достаточно, чтобы сконструировать на нем фильтры. Категорные пределы по этим фильтрам дадут способ сопоставить каждой последовательности число из R или установить расходимость такой последовательности.
Частичные суммы ряда являются как раз последовательностями. Конструкция предела, описанная выше, позволяет сопоставить ряд элементу R. Таким образом бы можем вычислять различные числа, типа пи, e и т.п.
Если двигаться дальше, то можно рассмотреть функции R->R и синтетически, с помощью того же аппарата определить дифференциальный оператор. Спектром этого оператора будут экспоненты.
Теперь, если мы рассмотрим алгебраическое замыкание этого R, мы получим C. Поскольку у нас есть экспоненты и pi, мы можем вычислить exp(i*pi), чисто алгебраически.
Ну и так далее. Я это все к чему — я не утверждал, что геометрия не нужна, я просто утверждал, что определение pi через окружность в R^2 гораздо естественнее и фундаментальнее, чем определение, которое зависит от кривизны. Конструкция, приведенная выше — просто в доказательство моих слов, о том, что впринципе, для определения этих объектов достаточно только алгебры и базовой теории множеств.
Если бы вы не использовали некие термины, понятные только вам и не имеющие какого-либо общепринятого значения, на ваши вопросы было бы гораздо проще ответить.
Для начала попробуйте ответить на следующие вопросы:
1. Что такое «скрытые параметры связи»?
2. Что такое «связность» в вашем понимании?
Чтобы понять, что пространство рациональных чисел не полно вам не нужна метрика — дело в том, что если вы возьмете наиболее естественную для Q топологию (с базой открытых отрезков (x1, 2)), то вы не найдете никакой метрики, которая бы индуцировала такую топологию и, при этом, была бы полна.
После того, как это становится понятным, следующим шагом является ввод какой-нибудь удобной метрики (например, наиболее простой — задаваемой модулем разности) и пополнение пространства пределами.
Кстати, R не единственное такое расширение Q. Вы можете, например, определить такие объекты, как ультрафильры и построить с помощью них другие интересные пространства — например, пространство гиперреальных чисел, в котором будут существовать объективные бесконечно малые и бесконечно большие. Однако, все эти конструкции значительно менее тривиальны, чем евклидова метрика.
Исходя из вышесказанного я бы все-таки сделал вывод, что пи можно сконструировать без какой-либо геометрии.
Есть два нюанса — первый заключается в том, что речь шла изначально не об окружностях, а о пи, а у него есть несколько взаимозаменяемых общепринятых определений и то, которое вы пытаетесь использовать, в них не входит. Конечно, можно использовать любое другое, нравящееся вам, определение, но если бы математики так делали, то дальше примитивных понятийных споров бы ничего не продвинулось.
Второй нюанс следующий — евклидова метрика в некотором смысле универсальна, так как локально любое гладкое многообразие является евклидовым (касательное пространство — всегда R^n), поэтому, если вы хотите определять какие-то универсальные константы, то, наверное, имеет смысл это все-таки сделать в R^n.
Загогулина — это как раз та штука, которая делает ускоритель ускорителем — сверхпроводящая (или просто медная) резонаторная ускорительная секция. В нее вкачивается электромагнитная энергия, поступающая от генератора (обычно импульсного клистрона). Ускоритель настроен таким образом, что частицы, движущиеся в банче всегда видят ускоряющее поле — пока они проходят одну выпуклую секцию загогулины, фаза поля разворачивается на pi и в следующей выпуклости поле опять встречает их в фазе.
Практика показывает, что разница есть. Причин тому довольно много, не думаю, что их уместно тут обсуждать. К счастью, этот разрыв постепенно сокращается.
Ну и еще — тот же DMLS значительно отстает по достижимой точности от фрезерования.
Я это все говорю к тому, что факторы, останавливающие применение аддитивного производства — это не только время. По времени, кстати, разрыв не такой уж и огромный, особенно если учесть, что в одном случае время зависит только от объема, а в другом — еще и от сложности.
Потому что если возрастает удельная прочность, возможно облегчить конструкцию. Я как раз и говорю, что дело не столько во времени, сколько в характеристиках материала.
Проблема не только в этом. Есть очень много вещей, для которых важна не только форма, но и свойства материала. И тут у аддитивного производства все довольно печально. Там выше утверждали, что фрезерованием не сделаешь камеру сгорания без шва, но проблема в том, что сваренная фрезерованная камера сгорания сейчас будет гораздо прочнее (== легче), чем напечатанная с помощью SLS.
Нет, это не для атмосферы. Дело в том, что очень много данных на LHC генерируют legacy системы, например, системы управления SPS. И часть информации сводится в аналоговый видеопоток, который потом выводится на телевизоры или вот так.
Кстати, часть этих дисплеев доступны онлайн вот здесь.
Таким образом, f :: (x, y) -> z — можно воспринимать как некаррированную версию функции f:: x -> y -> z.
Не могу согласиться на счет бесцельности — алгебраические и даже арифметические структуры имеют очень богатое поведение и, на самом деле, довольно жестки. Например, практически в любой формальной системе у вас будут аксиомы Пеано, соответственно будут простые числа — это настолько самодостаточная и богатая структура, что ее, имхо, будут изучать вечно.
В этом смысле действительные числа тоже уникальны — это единственное линейно-упорядоченное поле, в котором существуют все пределы. И комплексные, как их алгебраическое замыкание — тоже уникальны. Еще с алгебраической точки зрения, комплексные числа уникальны тем, что это самая сложная коммутативная алгебра с делением.
Опять же, e важно тем, что оно позволяет сконструировать спектр дифференциальных операторов, pi тем, что exp(i*pi) = -1 и т.п.
Я к тому, что все эти вещи берутся действительно не с потолка.
Таким образом можно получить топологически полное пространство со структурой поля, обладающее всеми свойствами, которые мы обычно хотим от точек геометрической прямой. Конечно, мы можем расширять дальше, добавляя всякие странные числа типа гиперреальных.
Фишка в том, что «решеточная» процедура определения пределов, которую я описал, сама по себе индуцирует стандартную метрику на R, то есть, такая метрика опять же является выделенной — мы ее не вводим, а она получается сама.
А топология без метрики вводится весьма часто. Хороший пример — топология Зарисского.
Алгебра может быть как сама по себе, так и с геометрией. Геометрия тоже. Правда союз весьма продуктивен. Вы, наверное, удивитесь, если узнаете, насколько интенсивно используется геометрия в, например, теории чисел.
Важно, чтобы было понимание общей картины. Без понимания того, откуда что берется и зачем оно нужно весьма сложно.
PS: arcsin(2) = Pi/2 — i*log(2 + sqrt(3))
Теперь по сути. Если вы возьмете пространство R', удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. R' — поле.
2. R' линейно упорядочено.
3. R' полно по Дедекинду (нет сечений без точных граней одновременно сверху и снизу).
То такое пространство будет обычным R с точностью до гомоморфизма с алгебраической точки зрения.
Теперь мы можем рассмотреть последовательности в этом пространстве, которые определяются функциями f: N->R. Линейной упорядоченности пространства достаточно, чтобы сконструировать на нем фильтры. Категорные пределы по этим фильтрам дадут способ сопоставить каждой последовательности число из R или установить расходимость такой последовательности.
Частичные суммы ряда являются как раз последовательностями. Конструкция предела, описанная выше, позволяет сопоставить ряд элементу R. Таким образом бы можем вычислять различные числа, типа пи, e и т.п.
Если двигаться дальше, то можно рассмотреть функции R->R и синтетически, с помощью того же аппарата определить дифференциальный оператор. Спектром этого оператора будут экспоненты.
Теперь, если мы рассмотрим алгебраическое замыкание этого R, мы получим C. Поскольку у нас есть экспоненты и pi, мы можем вычислить exp(i*pi), чисто алгебраически.
Ну и так далее. Я это все к чему — я не утверждал, что геометрия не нужна, я просто утверждал, что определение pi через окружность в R^2 гораздо естественнее и фундаментальнее, чем определение, которое зависит от кривизны. Конструкция, приведенная выше — просто в доказательство моих слов, о том, что впринципе, для определения этих объектов достаточно только алгебры и базовой теории множеств.
Для начала попробуйте ответить на следующие вопросы:
1. Что такое «скрытые параметры связи»?
2. Что такое «связность» в вашем понимании?
После того, как это становится понятным, следующим шагом является ввод какой-нибудь удобной метрики (например, наиболее простой — задаваемой модулем разности) и пополнение пространства пределами.
Кстати, R не единственное такое расширение Q. Вы можете, например, определить такие объекты, как ультрафильры и построить с помощью них другие интересные пространства — например, пространство гиперреальных чисел, в котором будут существовать объективные бесконечно малые и бесконечно большие. Однако, все эти конструкции значительно менее тривиальны, чем евклидова метрика.
Исходя из вышесказанного я бы все-таки сделал вывод, что пи можно сконструировать без какой-либо геометрии.
Второй нюанс следующий — евклидова метрика в некотором смысле универсальна, так как локально любое гладкое многообразие является евклидовым (касательное пространство — всегда R^n), поэтому, если вы хотите определять какие-то универсальные константы, то, наверное, имеет смысл это все-таки сделать в R^n.
Ну и еще — тот же DMLS значительно отстает по достижимой точности от фрезерования.
Я это все говорю к тому, что факторы, останавливающие применение аддитивного производства — это не только время. По времени, кстати, разрыв не такой уж и огромный, особенно если учесть, что в одном случае время зависит только от объема, а в другом — еще и от сложности.
Кстати, часть этих дисплеев доступны онлайн вот здесь.