Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае "если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Примечание: это определение следует также расширить случаем стремления к бесконечности. Для этого числовую прямую дополняют абстрактной бесконечной точкой, окрестности которой - это неограниченные множества числовой прямой.
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения. Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет. Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2). Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2). Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются. Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения. Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.
Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
прямое следствие доказательства того что мощность множества действительных чисел больше мощности счетного множества, потому какое (конечное или бесконечное) семейство (множество множеств) счётных множеств (последовательностей то есть) вы не возьмите говорить о поведении функции на действительном множестве по ним нельзя.
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.
Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Я ее не применял даже неявно. Я неявно применил, что 2*(3-3) = 0.
И это еще один пример преимущества определения по Гейне.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае
"если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Только там написано
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Попробуем сделать введение. Я на этой неделе где-то к субботе или вечер пятницы размещу продолжение. "Вводная глава" для нового учебника будет.
Да, верно. А еще кватернионы поворачивают векторные кватернионы, а не векторы. Это работает за счет дуализма векторов и бивекторов в 3D.
А зачем делить на приращение в определении? Я просто говорю, что А - это производная.
Выводить формулы по-разному можно, для некоторых не нужно делить, так работает даже лучше (например, через бином Ньютона).
Ну через о-малое - это и есть порядки близости. Просто можно сделать такой подход сразу же, и без потери строгости.
Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Пункт 1 более слабое утверждение. Ведь надо еще доказать, что других точек сгущения нет. Но да, в данном случае это короче будет, чем пункт 2.
Дифференциал обычно определяют как линейную часть приращения.
Равенство с "о-малым" не приближенное, а асимптотическое.
Так смысл этих определений из анализа как раз и заключается в асимптотических приближениях в окрестности.
f(x) = A*x + o(x)
Тогда A - это производная в точке х = 0. Тут весь предельный переход в свойствах символа о-малое, ведь о-малое определяется через предел же.
Преимущество в том, что обоснования предельного перехода можно заменить во многих случаях на алгебраические манипуляции и оценку асимптот.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения.
Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет.
Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2).
Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2).
Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются.
Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения.
Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.
Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
Равномерная сходимость (как и непрерывность) от обычной отличается всего лишь наличием дополнительного параметра.
Так поэтому и пишу, что терминологически вещи разные. Из разных моделей: одноэлектронное и многоэлектронное приближение.
За эти вопросы в целом спасибо, так понятнее, что разбирать следует, если излагать моим способом.
А тут
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
Отвечу в виде пунктов.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.