Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
энергия не сохраняется глобально в привычном смысле из-за гравитации, а сохраняется локально в каждом «маленьком» участке пространства-времени
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
Попробуйте дать студентам доказать ту же Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции, но для интервала. Угадайте сколько они будут искать ошибку без страхующих формализмов.
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.
Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
В символической записи определение предела выглядит следующим образом:
В этом определении есть три места, на которых располагаются (определенным образом) «квантор всеобщности» и «квантор существования» . Таким образом, всего имеется 8 способов расположить эти кванторы. Рассмотрите семь оставшихся способов и в каждом из них дайте описание последовательностей и числа , удовлетворяющих соответствующему определению.
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Кстати, отличная возможность продемонстрировать на этом примере то, что порядок кванторов играет роль. Что ∀ε ∃δ - это не то же самое, что ∃δ ∀ε. Дать разные "аналоги" определения Коши с переставленными кванторами, попросить студентов привести примеры функций, которые им удовлетворяют. Так они (кто захочет, конечно) гораздо лучше разберутся в правильном определении.
Но 5 лет назад как раз на практике понял, что это очень плохая идея.
Подобные упражнения они способны усваивать только после освоения и понимания анализа, но никак не до.
Как будут изучать литературу в остальных областях математики, где в каждой первой теореме два, три, а то и четыре квантора?
Тут надо смотреть какую. Среди вузовских предметов такая проблема есть разве что с функциональным анализом. Но сложности с его пониманием обычно как раз связаны с непониманием идей анализа.
Вообще сейчас актуальная проблема, например, такая.
Принимал зачёт у студентов второго курса ФБМФ МФТИ лет 7 назад, около половины не могут ответить правильно на вопрос "что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами, а у них после первого курса МФТИ психологическая травма, из-за которой они говорят "математический анализ невозможно понять", "я никогда в жизни не смогу это понять ".
Что же касается тех, кто кванторы освоил, у них есть серьёзные проблемы с пониманием идей и концепций анализа. Потому что показываешь им определения, написанные русским языком, они не могут их понять. Или, к примеру, равномерную непрерывность переписать через предел по Гейне - всё, они не понимают, что это такое, хотя такая запись гораздо проще.
Тут есть тонкости. Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.
А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза, чем используют в матане. Будет
"для любой наперёд заданной точности эпсилон , существует такая дельта-окрестность точки (дельта зависит от эпсилон), что функция на ней изменяется в пределах этой точности"
Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.
Почему не дает? Берем f(x)/g(x) и доказываем ограниченность.
Этот же способ дает определение, что я дал.
Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Все рисунки взяты из статьи.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Метод прямого подсчета дефектов не применялся.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
У меня был текст статьи. Вот он https://disk.yandex.ru/i/jQMTCxhIv2fwKw .
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.
Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Определение из лекций по алгоритмам такое
И отдельно для последовательностей, там существует С такое, что существует номер N ....
Я кстати несколько лет назад тоже так думал :
Но 5 лет назад как раз на практике понял, что это очень плохая идея.
Подобные упражнения они способны усваивать только после освоения и понимания анализа, но никак не до.
Тут надо смотреть какую. Среди вузовских предметов такая проблема есть разве что с функциональным анализом. Но сложности с его пониманием обычно как раз связаны с непониманием идей анализа.
Вообще сейчас актуальная проблема, например, такая.
Принимал зачёт у студентов второго курса ФБМФ МФТИ лет 7 назад, около половины не могут ответить правильно на вопрос "что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами, а у них после первого курса МФТИ психологическая травма, из-за которой они говорят "математический анализ невозможно понять", "я никогда в жизни не смогу это понять ".
Что же касается тех, кто кванторы освоил, у них есть серьёзные проблемы с пониманием идей и концепций анализа. Потому что показываешь им определения, написанные русским языком, они не могут их понять. Или, к примеру, равномерную непрерывность переписать через предел по Гейне - всё, они не понимают, что это такое, хотя такая запись гораздо проще.
Формализация не играет уникальную роль подстраховки, она играет роль способа доказывать теоремы, механически оперируя кванторами.
Потому что страхующую играет просто использование уже доказанных теорем и свойств.
Вы смешиваете науку и математическое образование. Преступление - учить так, чтобы никто ничего не понял, за единичными исключениями.
Тут есть тонкости. Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.
А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза, чем используют в матане. Будет
"для любой наперёд заданной точности эпсилон , существует такая дельта-окрестность точки (дельта зависит от эпсилон), что функция на ней изменяется в пределах этой точности"
Ну вот я предлагаю формальность от строгости отделить.
Сложность не в строгости, она в формальности.
Можно же русским языком излагать, словами, а не "нотными значками".
За это большое спасибо
Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В изначально рассматриваемом пределе шла речь о пределе функции.
Обычно предел функции определяют с оговоркой про значение в самой точке. Я дал более простое определение в этой статье, без выкалывания.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.