Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.
Пусть и при . Рассмотрим функцию . Докажем, что при .
Доказательство.
Докажем, что для функции выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям и для всех . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям и :
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если и для всех , то . Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность , которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции: .
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
В Стюарте почти нет строгих доказательств и практического использования этого определения для доказательств.
То, что там написано, никак не помогает анализировать такие определения и делать рассуждения с кванторами.
Я в соседнем посте написал пример задачи
Курс Стюарта не поможет это решить.
Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
"Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "
Означает. Это определение предела функции по Гейне.
Непрерывность функции в точке - это равенство функции в точке ее пределу. Для простоты я пока не углублялся в этот нюанс. Здесь же речь не об этом.
У Гейне куда шире область применения. Например, переносить свойства с последовательностей на функции, как в этом примере.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.
У последовательности sin(n*x) при иррациональном х точками сгущения являются все точки отрезка [-1,1].
Ну вот кстати пример.
Утверждение 1.
Пусть
и 
при 
. Рассмотрим функцию 
. Докажем, что 
при 
.
Доказательство.
Докажем, что для функции
выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть 
произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 
и 
для всех 
. Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям 
и 
:
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если
и 
для всех 
, то 
. Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность
, которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что
сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции:
.
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Уже переписал в комментариях.
Определение равномерной непрерывности по Гейне:
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
"В этом смысле закон сохранения и является некоторой выбранной аксиомой, которую удобнее всего взять за истину, "
Неудобно, так как такой величины как глобальной просто нет.
Еще дают его проще, как произведение g(x) на бесконечно малую функцию.
Ну тут общий обзор, я продолжу писать статьи такие же, одна статья = одна глава новой книги, и проработаю этот вопрос в соответствующей главе.
Бесконечность, наверное, всё же лучше отдельно рассматривать, так яснее.
Да, это чуть проще определение, чем кванторное.