"Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? "
Все параметры мультивектора реально измеряемые. Этой проблемы нет. А в обычной формулировке в теормехе она была, там потенциальная энергия неизмеряемая.
С флогистоном скорее имеет смысл сравнить потенциальную энергию. У меня же тут в геометрическом подходе нет подобных величин, которые я не могу непосредственно измерить.
Я второй закон Ньютона просто постулирую. А всё остальное - это геометрия абсолютно твердого тела, которая описывает мультивектором (или материальной точки, там чуть проще).
В развитии же классической механики было не так, сначала экспериментально находили кучу законов, а потом уже выводили их из второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона вообще явился таким вот обобщением, из которого выводится все..
Отдельная история была с работой силы, это понятие появилось сильно позже законов Ньютона.
Параметры из геометрии появляются. Есть ориентированное твердое тело, оно описывается мультивектором обобщенного импульса. Его производная равна динаме - динама есть сила + момент силы.
Если же нужно проинтегрировать, можно интегрировать с винтом - это тоже мультивектор, сумма поступательного и вращательного перемещения.
В классической механике куча теорем и законов выводятся нетривиальным образом из законов Ньютона, нужно очень много чего придумать, чтобы их вывести. А тут можно записать одно уравнение и сразу получить 8 разных теорем из механики. Потому что все эти теоремы имеют чисто геометрическое происхождение, что не видно в классическом курсе.
Абсолютно твердое тело - это как раз и есть объект, естественно описываемый мультивектором. А идеальная жидкость, например - естественно описывается потоком мультивектора.
На входе у нас - законы Ньютона, + геометрическая модель объекта (абсолютно твердое тело. материальная точка или непрерывная жидкость).
Например, один и тот же мультивектор описывает энергию, импульс и момент импульса одновременно. Потому что энергия скаляр, импульс вектор, а момент импульса является бивектором. Это наблюдаемые величины.
Как раз физически наблюдаемыми являются все компоненты мультивекторов. Ну тут наоборот, традиционный принятый подход вводит кучу ненаблюдаемых величин, а у меня их тут нет.
Это происходит потому, что традиционный подход исходит из энергии, а как только мы рассуждаем про потенциальную энергию - возникает неопределенность, связанная с тем, что физический смысл имеет только разность энергий. С электродинамикой еще хуже - там целый векторный 4-потенциал, который никто никогда не может наблюдать, а дальше там - теория калибровочных полей, которых никто никогда не видел.
Здесь же подход противоположный - силовой. Поэтому в геометрической алгебре для физики используются только наблюдаемые величины.
В общем случае не выполняется. В наших примерах работает. Потому что, например, перемножаем вектор на бивектор, он равен вектору + тривектору, а бивекторной части нет, поэтому геометрическое равно сумме внутреннего и внешнего.
Мне кажется, если связывать геометрическую алгебру напрямую с дифференциальной геометрией, как сделал Хестенес - становится только сложнее для восприятия.
Почему она такая - понятно. Это мера некоммутативности производных, которая показывает, насколько отличается результат перехода из точки А в точку В, если его делать по разным путям. Если вы захотите попробовать определить кривизну на сфере, как раз оно и получится. Кривизна — это буквально то, что остается, когда вы вычитаете результат дифференцирования в одном порядке из результата дифференцирования в другом.
В искривленном пространстве результат последовательного дифференцирования (или малого перемещения) по двум разным направлениям зависит от порядка этих действий.
Геометрический смысл - например, положите шарик на пленку, он ее прогибает, появляется как раз ровно эта величина на поверхности пленки.
Ну самая простая модель такая. Есть пространство-время, в нем в каждой точке "живет" мультивектор. Динамика и взаимодействие мультивекторов описываются дифференциальными уравнениями самого простого вида, который только можно написать. ОТО сюда добавляет, что пространство не плоское, а определяется похожим полем, в каждой точке которого "живет" мультивектор кривизны.
В принципе, ведь все современные теории поля так и строятся, просто там вместо мультивекторов тензоры и квантовые операторы (которые получаются квантованием этих самых тензоров).
Тут просто парадигма немного сдвигается, тензоры заменяем мультивекторами.
Частицы же появляются с привлечением квантовой теории, проквантованный тензор в каждой точке становится оператором, который описывает некие "колебания". Частицы соответствуют модам этих "колебаний".
В принципе, теория струн вот примерно точно также устроена, просто колеблется там не абстрактная точка с мультивектором, а одномерная струна.
Правила умножения другие. Практически полезно пока что всё, что работает либо с 3D, либо с пространством Минковского (1+3). Но этот матаппарат может описывать геометрию и физику в пространстве любой размерности (и с любой сигнатурой).
Также он может описывать движение по поверхностям квадратичных форм в пространстве любой размерности (например, легко складывать дуги на сфере).
Еще у него есть использования в проективной геометрии и конформной геометрии. Проективная геометрия позволяет моделировать разные преобразования пространства, сохраняющие длины (отражения от произвольных прямых и плоскостей, например, повороты). Конформная геометрия с помощью геометрической алгебры позволяет моделировать кучу графических примитивов.
При этом для проективной геометрии нужно повышать размерность на 1 (вводить дополнительный базисный вектор), а для конформной - на 2.
Насчет отличия. У кватерниона все три новых элемента в квадрате дают минус единицу. У меня тут базисные векторы в квадрате дают плюс единицу, а бивекторы в квадрате дают минус единицу. Отсюда и различия в формулах.
Кватернион получается из мультивекторов, которые являются суммой скаляра и бивектора в трехмерном пространстве. В алгебре Клиффорда такие комбинации называются роторами.
Мультивектор в общем виде - более сложная конструкция, чем кватернион.
Насчет октонионов не думал, но они там точно тоже где-то есть.
Есть матричные представления алгебр Клиффорда, и оказывается, что они эквивалентны всяким комбинациям пространств вещественных чисел, комплексных и кватернионов. Октонионы там не нужны, но в АК точно есть подпространства, которые им соответствуют.
Вот скриншот из курса лекций Широкова по алгебрам Клиффорда.
Спасибо за вопрос! Я сейчас добавлю это в соседнюю статью, про сложение и умножение.
Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов на каждый из 4-х членов и сгруппировать результат по базисным элементам .
После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:
где коэффициенты равны:
Скалярная часть (ранг 0), S:
Векторная часть (ранг 1), :
Бивекторная часть (ранг 2), :
Скалярное произведение тут равно скалярной части
Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.
Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается
Скалярная часть (ранг 0):
Векторная часть (ранг 1):
Бивекторная часть (ранг 2):
Если записывать в той нотации, что у вас, то выходит
Отдельный очень важный момент, который не был указан в статье - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.
Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения векторов. Тут их получается очень много.
Здесь вывод очень естественный. А через принцип наименьшего действия притянут за уши, потому что каждый раз действие нужно угадать из уравнений, которые уже открыты экспериментально. В моем подходе ничего угадывать не надо. Я просто пишу геометрические соотношения от простых к сложным, и обнаруживаю, что это всё в физике уже есть.
То есть фундаментальная физика оказывается не более чем геометрией.
По ОТО сейчас дописал Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр . Через геометрическую алгебру ее вывод совершенно элементарный и становится прозрачным геометрический смысл - это простейшая бивекторная теория динамической геометрии, в которой при переходе от одной точки к другой базис в пространстве Минковского плавно поворачивается. При этом новая формулировка оказывается во много раз проще тензорной, хотя и эквивалентна ей.
Сравните с тем, насколько сложно ОТО выводится у Ландау.
Это эквивалентно тому, что в статье у Хестенеса есть, но намного проще, так как я не стал опираться на обозначения Эйнштейна и тензоры в дифференциальной геометрии.
2. Когда рассматривают криволинейные геометрии, то обычно рассматривают дифференцируемые функции. Это означает, что в каждой точке касательную гиперплоскость можно провести. Отсюда естественность использования евклидовых плоскостей.
В МГУ, например, есть один математик, который всю жизнь занимается степенной геометрией - обобщением математического анализа, в котором вместо дифференцируемых функций степенные (например, квадратный корень из х не дифференцируемый в точке 0).
Интересно. Но тогда, если вместо F писать что-то более сложное, чем бивектор, то эти уравнения будут давать что-то иное.
Я тут про те обобщения, про которые написал в самом конце статьи. Пара коммутатор + антикоммутатор выглядит интереснее, так как это полная система из двух уравнений.
А какие другие определения внутреннего произведения вы видели?
Насколько я понимаю, никаких других не эквивалентных этому нет.
Насчет "плохо определено" - мое определение дает возможность правильно и единственным образом посчитать в любом случае, оно максимально общее.
Тут нет никакого убийства ОТО и КМ. Я просто заменяю тензорный матаппарат на мультивекторный. Впрочем, даже не я, первым это начал делать Хестенес.
Одно из преимуществ - для вывода уравнений не нужен принцип наименьшего действия, без него всё получается.
"Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? "
Все параметры мультивектора реально измеряемые. Этой проблемы нет. А в обычной формулировке в теормехе она была, там потенциальная энергия неизмеряемая.
С флогистоном скорее имеет смысл сравнить потенциальную энергию. У меня же тут в геометрическом подходе нет подобных величин, которые я не могу непосредственно измерить.
Я второй закон Ньютона просто постулирую. А всё остальное - это геометрия абсолютно твердого тела, которая описывает мультивектором (или материальной точки, там чуть проще).
В развитии же классической механики было не так, сначала экспериментально находили кучу законов, а потом уже выводили их из второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона вообще явился таким вот обобщением, из которого выводится все..
Отдельная история была с работой силы, это понятие появилось сильно позже законов Ньютона.
Параметры из геометрии появляются. Есть ориентированное твердое тело, оно описывается мультивектором обобщенного импульса. Его производная равна динаме - динама есть сила + момент силы.
Если же нужно проинтегрировать, можно интегрировать с винтом - это тоже мультивектор, сумма поступательного и вращательного перемещения.
В классической механике куча теорем и законов выводятся нетривиальным образом из законов Ньютона, нужно очень много чего придумать, чтобы их вывести. А тут можно записать одно уравнение и сразу получить 8 разных теорем из механики. Потому что все эти теоремы имеют чисто геометрическое происхождение, что не видно в классическом курсе.
Абсолютно твердое тело - это как раз и есть объект, естественно описываемый мультивектором. А идеальная жидкость, например - естественно описывается потоком мультивектора.
На входе у нас - законы Ньютона, + геометрическая модель объекта (абсолютно твердое тело. материальная точка или непрерывная жидкость).
Например, один и тот же мультивектор описывает энергию, импульс и момент импульса одновременно. Потому что энергия скаляр, импульс вектор, а момент импульса является бивектором. Это наблюдаемые величины.
Как раз физически наблюдаемыми являются все компоненты мультивекторов. Ну тут наоборот, традиционный принятый подход вводит кучу ненаблюдаемых величин, а у меня их тут нет.
Это происходит потому, что традиционный подход исходит из энергии, а как только мы рассуждаем про потенциальную энергию - возникает неопределенность, связанная с тем, что физический смысл имеет только разность энергий. С электродинамикой еще хуже - там целый векторный 4-потенциал, который никто никогда не может наблюдать, а дальше там - теория калибровочных полей, которых никто никогда не видел.
Здесь же подход противоположный - силовой. Поэтому в геометрической алгебре для физики используются только наблюдаемые величины.
В общем случае не выполняется. В наших примерах работает. Потому что, например, перемножаем вектор на бивектор, он равен вектору + тривектору, а бивекторной части нет, поэтому геометрическое равно сумме внутреннего и внешнего.
Мне кажется, если связывать геометрическую алгебру напрямую с дифференциальной геометрией, как сделал Хестенес - становится только сложнее для восприятия.
Почему она такая - понятно. Это мера некоммутативности производных, которая показывает, насколько отличается результат перехода из точки А в точку В, если его делать по разным путям. Если вы захотите попробовать определить кривизну на сфере, как раз оно и получится. Кривизна — это буквально то, что остается, когда вы вычитаете результат дифференцирования в одном порядке из результата дифференцирования в другом.
В искривленном пространстве результат последовательного дифференцирования (или малого перемещения) по двум разным направлениям зависит от порядка этих действий.
Геометрический смысл - например, положите шарик на пленку, он ее прогибает, появляется как раз ровно эта величина на поверхности пленки.
Ну самая простая модель такая. Есть пространство-время, в нем в каждой точке "живет" мультивектор. Динамика и взаимодействие мультивекторов описываются дифференциальными уравнениями самого простого вида, который только можно написать. ОТО сюда добавляет, что пространство не плоское, а определяется похожим полем, в каждой точке которого "живет" мультивектор кривизны.
В принципе, ведь все современные теории поля так и строятся, просто там вместо мультивекторов тензоры и квантовые операторы (которые получаются квантованием этих самых тензоров).
Тут просто парадигма немного сдвигается, тензоры заменяем мультивекторами.
Частицы же появляются с привлечением квантовой теории, проквантованный тензор в каждой точке становится оператором, который описывает некие "колебания". Частицы соответствуют модам этих "колебаний".
В принципе, теория струн вот примерно точно также устроена, просто колеблется там не абстрактная точка с мультивектором, а одномерная струна.
Правила умножения другие. Практически полезно пока что всё, что работает либо с 3D, либо с пространством Минковского (1+3). Но этот матаппарат может описывать геометрию и физику в пространстве любой размерности (и с любой сигнатурой).
Также он может описывать движение по поверхностям квадратичных форм в пространстве любой размерности (например, легко складывать дуги на сфере).
Еще у него есть использования в проективной геометрии и конформной геометрии. Проективная геометрия позволяет моделировать разные преобразования пространства, сохраняющие длины (отражения от произвольных прямых и плоскостей, например, повороты). Конформная геометрия с помощью геометрической алгебры позволяет моделировать кучу графических примитивов.
При этом для проективной геометрии нужно повышать размерность на 1 (вводить дополнительный базисный вектор), а для конформной - на 2.
Вот тут это реализовано BiVector.net: Geometric Algebra Resources в коде.
Насчет отличия. У кватерниона все три новых элемента в квадрате дают минус единицу. У меня тут базисные векторы в квадрате дают плюс единицу, а бивекторы в квадрате дают минус единицу. Отсюда и различия в формулах.
Проще говоря, кватернион это вот это
Кватернион получается из мультивекторов, которые являются суммой скаляра и бивектора в трехмерном пространстве. В алгебре Клиффорда такие комбинации называются роторами.
Мультивектор в общем виде - более сложная конструкция, чем кватернион.
Насчет октонионов не думал, но они там точно тоже где-то есть.
Есть матричные представления алгебр Клиффорда, и оказывается, что они эквивалентны всяким комбинациям пространств вещественных чисел, комплексных и кватернионов. Октонионы там не нужны, но в АК точно есть подпространства, которые им соответствуют.
Вот скриншот из курса лекций Широкова по алгебрам Клиффорда.
Вот в эту статью дописал определения Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры / Хабр
Спасибо за вопрос! Я сейчас добавлю это в соседнюю статью, про сложение и умножение.
на каждый из 4-х членов 
и сгруппировать результат по базисным элементам 
.
Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов
После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:
где коэффициенты равны:
Скалярная часть (ранг 0), S:
Векторная часть (ранг 1),
:
Бивекторная часть (ранг 2),
:
Скалярное произведение тут равно скалярной части
Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.
Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается
Скалярная часть (ранг 0):
Векторная часть (ранг 1):
Бивекторная часть (ранг 2):
Если записывать в той нотации, что у вас, то выходит
Отдельный очень важный момент, который не был указан в статье - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.
Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения векторов. Тут их получается очень много.
Здесь вывод очень естественный. А через принцип наименьшего действия притянут за уши, потому что каждый раз действие нужно угадать из уравнений, которые уже открыты экспериментально. В моем подходе ничего угадывать не надо. Я просто пишу геометрические соотношения от простых к сложным, и обнаруживаю, что это всё в физике уже есть.
То есть фундаментальная физика оказывается не более чем геометрией.
По ОТО сейчас дописал Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр . Через геометрическую алгебру ее вывод совершенно элементарный и становится прозрачным геометрический смысл - это простейшая бивекторная теория динамической геометрии, в которой при переходе от одной точки к другой базис в пространстве Минковского плавно поворачивается. При этом новая формулировка оказывается во много раз проще тензорной, хотя и эквивалентна ей.
Сравните с тем, насколько сложно ОТО выводится у Ландау.
Сам Хестенес использует внутреннее и внешнее произведение вместо коммутаторов для таких случаев. Хотя это эквивалентно.
Я написал сейчас статью по элементарному выводу общей теории относительности.
Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр
Это эквивалентно тому, что в статье у Хестенеса есть, но намного проще, так как я не стал опираться на обозначения Эйнштейна и тензоры в дифференциальной геометрии.
Тут есть 2 причины.
1. Это действительно когнитивная надстройка.
2. Когда рассматривают криволинейные геометрии, то обычно рассматривают дифференцируемые функции. Это означает, что в каждой точке касательную гиперплоскость можно провести. Отсюда естественность использования евклидовых плоскостей.
В МГУ, например, есть один математик, который всю жизнь занимается степенной геометрией - обобщением математического анализа, в котором вместо дифференцируемых функций степенные (например, квадратный корень из х не дифференцируемый в точке 0).
Вот его сайт Биография (Русский) — Bruno Alexander Dmitrievich
Но этот подход тоже сильно отсылает к евклидовым плоскостям.
Еще в настоящее время бурно развивающаяся научная область - это метод геометрической алгебры в термодинамике. Нашел вот такую таблицу
Но я в это пока не лезу. Еще вроде как в обычной термодинамике пользы мало от ГА.
Интересно. Но тогда, если вместо F писать что-то более сложное, чем бивектор, то эти уравнения будут давать что-то иное.
Я тут про те обобщения, про которые написал в самом конце статьи. Пара коммутатор + антикоммутатор выглядит интереснее, так как это полная система из двух уравнений.
А какие другие определения внутреннего произведения вы видели?
Насколько я понимаю, никаких других не эквивалентных этому нет.
Насчет "плохо определено" - мое определение дает возможность правильно и единственным образом посчитать в любом случае, оно максимально общее.