Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.
На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.
"Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей. "
Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.
А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы. Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.
Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).
Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Точнее говоря, проблемы возникают, когда мы складываем размерные величины, которые были получены перед этим делениями и умножениями.
Ну формулы то в общем такие же
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Если так подходить, то можно формализовать просто как многочлен.
А тут направление не имеет значения, только длина.
Но я вообще планировал всё-таки чуть-чуть другой рисунок - все величины на сторонах угла, а не на третьих сторонах треугольников.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.
Так это общеизвестные аксиомы: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность. А именно:
X + Y = Y + X
(X + Y) + Z = X + (Y + Z)
X*(Y*Z) = (X*Y)*Z
(X+Y)*Z = X*Z + Y*Z
Только коммутативности умножения тут нет из обычных аксиом. Но это в тексте написано.
Видимо да, стоило написать, что это имеется в виду.
Да, я это хотел нарисовать и прислать. В статью добавлю завтра.
На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.
"Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей. "
Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.
А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
Если пытаться полностью формализовать теорию размерностей, боюсь, огромного числа дополнительных проблем не избежать.
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Осталось только определить правильно операции над этой структурой.
Казалось бы да, можно просто как формальные многочлены определить эти размерности. Но тут есть одна проблема.
Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
Эта единица при таком подходе математические совпадает с 1, которая просто число. Но по смыслу это разные единицы.
Одна единица - это просто такая нулевая размерность, другая - числовая единица.
А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
Так дело в том, что размерность - это не константа. И число на размерность не умножается.
Мы говорим 5 метров, а не число 5 умножить на метр.
Но как-то так, как вы пишите, можно формально ввести теорию размерностей аксиомами.
Проблема в том, что часто встречается объяснение умножения как площади. И это объяснение игнорирует замкнутость операции умножения.
Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы.
Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.
Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).
Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.
Написал еще отдельную статью https://habr.com/ru/articles/958666/ , чтобы ответить на вопросы в комментариях здесь.