В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть $$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $$ найдется натуральное $$ такое, что $$. Тогда $$ многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть $$ и $$ замкнутые подмножества прямой, причем $$ и $$. Тогда в $$ найдется точка, которая содержится в одном из $$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка $$, натуральное $$ и $$ такие, что $$.

Действительно (от противного), выберем точку $$ и окружим ее окрестностью $$, где $$. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $$. Выберем в $$ точку $$. Окружим $$ интервалом $$ таким, что концы этого интервала — точки $$ и $$ лежат в $$, а $$. По предположению $$. Это позволяет выбрать в $$ некоторую точку $$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $$ Ясно, что

$$, (1)
$$ (2)

Так как каждый промежуток $$, то $$, а из (1) и (2) следует, что $$ для каждого $$. Таким образом мы нашли точку $$, но не лежащую ни в одном из множеств
$$.

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $$ — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $$. Множество $$, дополнительное к $$ обозначим через $$ и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $$, то $$ — неправильная точка).