В статье предложен новый весьма необычный способ определения экспоненты и на основе этого определения выведены её основные свойства.

---

Каждому положительному числу $$ поставим в соответствие множество $$, где $$ и $$.

Лемма 1. Из $$ следует, что для каждого элемента $$ найдётся элемент $$ такой, что $$.

Будем писать $$, если $$ верхняя граница множества $$. Аналогично, будем писать $$, если $$ — нижняя граница множества $$.

Лемма 2. Если $$, то $$.

Доказательство

Проведём рассуждение по индукции.

Для $$ утверждение очевидно: $$.

Пусть $$ для $$.

Тогда $$

$$.

Лемма 2 доказана.

В дальнейшем мы покажем, что каждое множество $$ ограничено. Из леммы 2 следует, что

$$ (1)

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть $$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $$ найдется натуральное $$ такое, что $$. Тогда $$ многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть $$ и $$ замкнутые подмножества прямой, причем $$ и $$. Тогда в $$ найдется точка, которая содержится в одном из $$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка $$, натуральное $$ и $$ такие, что $$.

Действительно (от противного), выберем точку $$ и окружим ее окрестностью $$, где $$. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $$. Выберем в $$ точку $$. Окружим $$ интервалом $$ таким, что концы этого интервала — точки $$ и $$ лежат в $$, а $$. По предположению $$. Это позволяет выбрать в $$ некоторую точку $$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $$ Ясно, что

$$, (1)
$$ (2)

Так как каждый промежуток $$, то $$, а из (1) и (2) следует, что $$ для каждого $$. Таким образом мы нашли точку $$, но не лежащую ни в одном из множеств
$$.

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $$ — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $$. Множество $$, дополнительное к $$ обозначим через $$ и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $$, то $$ — неправильная точка).

Содержание

Вступительное слово
Принцип работы
Описание программы
Финальный код программы
Преимущества работы с оцифрованными функциями на примерах
Эпилог

---

Вступительное слово

В различных областях, связанных с наукой и образованием, инженерным делом встречается задача, связанная с получением данных с графиков, созданных в то время, когда еще не существовало цифровых носителей, или реальные данные, по которым созданы графики, были утеряны, или, наконец, график является финальной формой работы некоторых приборов, не выдающими набор координат точек в явном виде.

Для того, чтобы получить данные, нужно “оцифровать” такой график (или графический объект), другими словами, нужно получить набор абсцисс и ординат точек графика — далее над ними можно будет производить различные манипуляции: построить новый (качественный) график, производить вычисления, переведя его в новый формат (например, построив сплайн) и пр.

В проекте «Репетитор: математика» (почитайте статью на Хабрахабре — «Репетитор: математика» для подготовки к ЕГЭ и ВПР — от идеи до релиза. Рассказ об уникальном образовательном проекте) мы встретились с этой проблемой в двух основных видах:

• “оцифровка” графика для того, чтобы сделать его соответствующим нашему стилю или просто сделать так, чтобы он выглядел прилично;
• получение набора базовых точек для построения геометрических чертежей, гистограмм и пр. на основе авторского рисунка от руки (или с использованием простейших графических систем).

В этом посте приведен код созданной для этого функции graphicsDigitizing, а также кратко рассказывается о том, как она устроена. Также можно посмотреть как она работает вживую.

Привет, Хабр!

Меня зовут Игорь, я Android-разработчик в команде Trinity Digital. Сегодня я хочу рассказать о классном инструменте — Google Pay API.



Итак, если в вашем приложении можно совершать покупки, и при этом вы используете не In-app Billing (за процессинг отвечает не Google Play), то скорее всего среди вариантов оплаты у вас есть и “Оплата картой”. А это значит, что вам каждый раз приходится отправлять пользователя вводить данные карты или на красиво сверстанные экраны с картой, или на веб-сайт вашего провайдера платежных сервисов (далее — payment processor). Уже посчитали сколько действий придется совершить пользователю, чтобы оплатить заветный заказ? Ага, а теперь представьте, что он сможет выполнить то же целевое действие всего в два тапа. Мы тоже представили и подумали, а почему бы не дать пользователям такую возможность? Основные условия успеха — продавец быть зарегистрирован в Google и payment processor должен сотрудничать с Google.

Конференция DevFest North впервые состоялась в Питере в сентябре 2017.
Мы успели получить множество фидбеков, выложили фотографии и видео докладов.
Настало время подвести итоги всех итогов.

Привет, Хабрамир! Меня зовут Оксана и я Android-разработчик в небольшой, но очень классной команде Trinity Digital.

Сегодня я буду рассказывать про маленькую часть большого проекта.

Проект зовется “Школа 2100” и представляет собой коллекцию электронных учебников с разными фичами: поиском, закладками-заметками, дополнительными материалами, тестовыми заданиями, etc. И как раз в том, что названо “тестовыми заданиями” кроется предмет обсуждения.

Всего два дня осталось до конференции DevFest North, организованной Google Developer Groups Санкт-Петербурга и Петрозаводска. И до 29 сентября 23:59 вы все еще можете купить билеты и стать частью крутого IT-события!

Мы уже публиковали описание докладов в предыдущей статье, а сегодня мы решили подробнее познакомить вас с человеком, который проведет открывающий keynote – Royi Benyossef – и взяли у него небольшое интервью.

Royi Benyossef
Google Developer Expert Android
Samsung Next
Тель-Авив

Напомним, Royi на DevFest North расскажет про то, как можно использовать возможности вашего устройства (в том числе, его сенсоров) и покажет некоторые приемы UX для того, чтобы улучшить производительность и удобство использования вашего приложения.

Привет тебе, хабр! Меня зовут Максим и я работаю в отделе QA компании Trinity Digital. В сфере обеспечения качества я уже более двух лет, люблю мобильные приложения, их сложность и динамичность. В этой статье я попытался сделать относительно небольшой список инструментов, источников информации и скилов, которые тестировщик мобильных приложений всегда должен иметь при себе в нашем 2к17 году.

Если разбить статью на части, то она будет выглядеть так:

• Источники информации для максимально успешного тестирования
• Инструменты для упрощения жизни тестировщика
• Hint’ы
• Доставка и анализ приложений
• Куда расти дальше, если постигли дзен

Внутри: настольные игры, NFC метки, Firebase, ESP 8266, RFID-RC522, Android и щепотка магии.

Меня зовут Оксана и я Android-разработчик в небольшой, но очень классной команде Trinity Digital. Тут я буду рассказывать об опыте создания настольной игрушки на базе Firebase и всяких разных железяк.