Comments 22
Отличная статья (+)! Хоть кто-то пытается объяснить не “как”, а “почему”.
Но если вдруг вы не сможете “вспомнить основную теорему о симметрических многочленах” или “поработать над полем рациональных функций” - лучше проходите мимо.
А вот если ни одно из этих слов у вас не вызывает затруднения: “Многочлен над полем K разрешим в радикалах, если все его корни лежат в башне расширений” - то статья - однозначно ваш фасончик.
PS Если так и дальше пойдёт, то С Божьей помощью и Искусстьвенным интеллектом засеем Марс кукурузой!
Нисколько ни умаляя достоинств данной публикации, попытки разъяснения "почему" неоднократно предпринимались. Например, см. Любецкий "Основные понятия школьной математики", Гл. IV "Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных 5...". Книга 1987 года. "Учебное пособие для студентов пед. ин-тов" :).
Там ещё есть про связь с построениями циркулем и линейкой.
Где то в этом болоте симметричных формул укрылась жаба истины
А как устроена разрешимость в каких-нибудь спецфункциях?
Понятно, что с радикалами фокус не прокатил.
Но вот радикалы - это расширение арифметики. Помимо сложения-умножения и обобщения умножения до возведения в целую степень, - добавили возведение в дробную степень.
А что нужно добавить, такое, что симметрия сохраняется?
Спасибо большое за вопрос!
Отчасти на него я постараюсь ответить во второй части статьи, но если углубляться ещё дальше, то имеет смысл почитать про тэта-функции Сигеля (это такие многомерные обобщения эллиптических функций). Идея там не менее красивая, корни многочлена как бы накручиваются на периоды алгебраической кривой y^2 = f(x), а тэта-функции - это естественные функции на пространстве таких периодов.
В специальных спецфункциях, вроде, можно. На поверхностном уровне оно работает так. Рассмотрим уравнения с постоянным членом -1 как поверхность в соответствующе-мерном пространстве коэффициентов. Выберем ветвь, которая равна 1 в начале координат этого пространства. Для нее Меллин в 1920-е доказал некое интегральное соотношение, которое затем можно обратить (преобразованием же Меллина) и "получить" решение через коэффициенты. Потом с помощью зубила и всего прилагающегося интеграл можно упростить, как продемонстрировано в первой работе.
Видел два доклада/лекции на эту тему (по крайней мере один, на русском языке, можно найти на ютюбе, но кроме преобразования Меллина даже ключевые слова не припомню), ни один про симметрии и связь с Галуа в явном виде не говорил, хотя вокруг ходьба, конечно, была, что было довольно расстраивательно.
Существуют специальные функции для этой цели.
В Wolfram Mathematica для этого есть специальная функция - Root.
Подгруппа неразрешимой группы не может быть «разрешимее» объемлющей
Наверное имеется в виду "неразрешимее".
Корни у уравнений 5-й степени есть, и их можно численно найти, но общей формулы в радикалах нет. Причина в симметриях: у корней слишком сложная система перестановок.
Для степеней до 4 эту симметрию можно постепенно “разрушать” радикалами, а для 5-й появляется структура (группа A₅), которую так разложить уже нельзя. И как вывод, корни существуют, но универсальная формула невозможна из-за слишком жёсткой симметрии между ними.
Возьмем одно из первых утверждений. Оно в Части 2, "Симметрия корней":
Не существует многочлена с рациональными коэффициентами, который различал бы
и
, поскольку оба удовлетворяют одним и тем же соотношениям над
Я, когда читал, подумал про многочлен P(x) = x.
И он различал, на мой взгляд, i и -i!
Я понимаю, что определение верное. Но это просто копипаст какой-то получается. Без объяснения.
Можно посмотреть на это так. Мы вводим понятие комплексных чисел и говорим, что i это корень уравнения x^2+1
При этом мы прекрасно понимаем, что корней у него два. Так какой из корней все таки мы обозначили за i? Неважно. Какой бы не обозначили - получим поле комплексных чисел. Правда они будут зеркально симметричные эти два поля.
Большое спасибо за уточнение!
Я согласен, что имело смысл расшифровать значение слова "различать".
В данном случае "различать" здесь означает не то, что функция принимает разные значения, а то, что мы можем выделить один из корней алгебраическим условием с рациональными коэффициентами, которое выполнено для него и не выполнено для другого. То есть нас интересуют не значения многочлена, а соотношения, которым корень удовлетворяет
Слишком симметрично, чтобы решить