Comments 32
Спасибо за статьи!
Возможно глупый вопрос или он был где-то отвечен в прошлых статьях, но вроде не нашёл.
Существует 3 типа кривизны пространства, и вы в целом показали, как тут синус превращается в гиперболический при отрицательной кривизне.
Но вот я не нашёл достаточно информации как в статье, но для положительной кривизны.
Что там происходит?
Если в евклидовой геометрии мы имеем круг, в геометрии Лобачевского гиперболу, то какой там аналог?
Это и есть наш синус. Положительная кривизна — сфера, её функции круговые sin/cos. Гиперболический sinh — отрицательная, прямая — Евклид посередине. Так что аналог для плюса искать не надо — это и есть герой серии.
Но для евклидовой геометрии тоже синус и круг же? То есть евклидова - граничный случай положительный кривизны?
Или же евклидова геометрия по сути имеет и те и те свойства?
Тут два разных синуса
Синус угла (школьный круг sin/cos) есть во всех трёх геометриях. Угол всегда меряется в касательной плоскости, а она всегда плоская - поэтому sin A универсален и признаком кривизны не является.
Геометрии различает другое - как в формулу входит длина стороны. Теорема синусов: сфера: sin A / sin(a/R) - Евклид, sin A / a- Лобачевский, sin A / sinh(a/k)
Угол везде sin A. А сторона: на сфере - под синусом, у Лобачевского - под sinh, у Евклида - просто a, линейно.
Теперь на вопрос. Евклид - не случай положительной кривизны, а граница обеих. По пределу из матана: sin x / x → 1. При нулевой кривизне поправка sin(a/R)/(a/R) становится единицей и выпадает - sin(a/R) → a, формула сферы схлопывается в евклидову. Ровно то же с минуса: sinh x / x → 1. И круг, и гипербола на нуле сливаются в прямую.
В терминах статьи: sin решает y″=−y, sinh - y″=+y, а Евклид - это y″=0, прямая ровно посередине.
Спасибо, я вроде бы понял.
Но я тут ещё помучил ИИшку, она мне объяснила, что посередине между окружностью и гиперболой при нулевой кривизне - парабола. Мы там и до сферы Римана по итогу с ИИ дошли и вроде как картина у меня в голове немного прояснилась.
И я вроде бы интуитивно понимаю, как оно соотносится с тем, что вы написали. Хоть и немного не до конца.
Но немного странным было для меня, что в окружности и гиперболе и х и у в квадрате, а в параболе первая степень возникает. Но там ИИ как раз ту же самую мысль с вырождением в прямую пояснил. И почему синус там исчезает.
Но если у вас есть что добавить к этому или подробнее разобрать в отдельной статье - было бы интересно почитать.
Вообще, аналог со всегда положительной кривизной - сферическая геометрия. То есть конечный размер пространства
можно ли из гипперболических синусов/косинусов получить стоячие волны?
Из вещественных sinh/cosh — нет. Они не колеблются: ни узлов, ни периода, только экспонента. Это не волна, а её затухающий двойник — evanescent-поле: свет за полным внутренним отражением, стенка микроволновки, туннелирование в квантах. Стоячая волна требует кругового синуса. Тот же знак: минус → sin → волна, плюс → sinh → волны нет. А в духе мнимого угла: sinh(ix)=i·sin x — evanescent-волна это и есть волна с мнимым волновым числом.
Можно, если стравить им комплексные числа в качестве углов - по мнимой оси они как раз периодические.
Тут недавно что шутили что в военное время синус достигает 4. А это довольно глупая шутка, потому что комплексного аргумента pi/2 - i*ln(4 + sqrt(15)) ~ 1.57 - 2.06i синус и в мирное время равен 4.
Не математик, но статья заинтересовала, спасибо. Разбирал вашу статью с Клодом, была интересна роль мнимой единицы в рамках размышления о другом проекте.
Может вас заинтересует его тезис:
Скрытый текст
«корень всего» y″ = ±y идёт дальше СТО — прямо в ОТО. Уравнение девиации геодезических: расстояние между двумя соседними свободно падающими частицами подчиняется ξ″ = −K·ξ, где K — кривизна. Тот же осциллятор, но знак теперь не выбирают руками — это физическая переменная: K > 0 — траектории фокусируются (sin-режим, линзирование), K < 0 — разбегаются по экспоненте (sinh-режим). Спагеттификация у чёрной дыры — оба близнеца сразу: радиально растягивает sinh, поперечно сжимает sin. И малоугловое приближение — это принцип эквивалентности своими словами: на малом клочке всё плоское, поэтому гравитация и неощутима в свободном падении. Синус — материал, из которого сшита и кривизна.
Это то, чего так не хватает на хабре.
Очередных нейростатей? Правда, в данном случае автор немного постарался разбить нейрошлак на куски, сдобренные своими комментариями, чтобы для новичков выглядело правдоподобно.
Если текст генерила нейронка, то у нее на удивление хорошая связность повествования для таких сложных междисциплинарных тем. Да и самописный движок интерактивных визуализаций на чатгпт точно не спишешь)
Прекрасная статья, было очень познавательно сшить для себя эти разделы математики и физики.
Также заинтересовало разложение слова «Синус» в ряд Фурье. Можно ли почерк рассмотреть как одно колебание и использовать действительный вариант ряда?
Как Вы думаете, если бы траектория (слово «Синус») была бы представлена в виде точек (как бы дискретизировали траекторию) и к ним применили уже дискретное преобразование Фурье, Мы бы получили такой же результат, смотрящий в саму суть природы колебаний, или что-то невразумительное? :)
Спасибо! Очень интересно!
Вот интересный пример пример колебаний, которые возникают в системе, описываемой дифференциальным уравнением для комплексного маятника
где 
- комплексное число. Эта система распадается на четыре уравнения для действительных пременных, в них присутствуют, кроме обычных синусов, еще и гиперболические В системе возникает красивый аттрактор с бесконечным количеством завитков
Колебания для действительной и мнимой частей Z, фазовая траектория системы
Круто ! А я то думал, что я умный. Вынужден признать себя Дебилом.
Это очень круто.
замедление времени — всё это стоит на обычном школьном синусе, которому угол сделали мнимым.
Ну то есть мы можем, пользуясь такими синусами честно и численно показать аномальное смещение перигелия Меркурия, которое 43 угловые секунды? Было бы любопытно взглянуть на расчёты.
А графики делались при помощи какой-то библиотеки?
По гитхабу непонятно, такое ощущение, что там транспилированный код.
Внешней библиотеки не используется - все на js (es5), canvas 2d и svg, html, css. Но для цикла статьей в итоге был сделан небольшой движок, который помогает делать анимированные фигуры, пэны и гифки. Гитхаб Pages используется как хостинг результата.
Какие методы решения дифуров применялись?
Понимаю, что дифуры простейшие, с численными методами можно не изгаляться, но всё же? :)
А в приведённых фигурах дифуры не решаются вообще: sin/cos/sinh/cosh - это и есть решения y″=∓y.
Единственное место среди них, где реально есть интегрирование, - фотон у чёрной дыры: u″ = 1.5·u² − u (r_s=1, u=1/r). Классический RK4, фиксированный шаг h=0.004, 14 000 шагов. Посмотреть можно в blackhole-A.html, примерно с 40-й строки.
Очень интересно.
Хорошая попытка получилась связать абстрактную математику с реальными физическими процессами на одном графике)
Теория относительности — это синус. Мнимого угла