denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 13:52

Папа, а почему на ноль делить нельзя?

6 мин

239K

Математика *

Туториал

Из песочницы

+120

281

Комментарии 281

ankane 12 авг 2014 в 14:04

Безумно.Увлекательно :)

vp_arth 12 авг 2014 в 14:06

согласен…
но таки бедный ребёнок :)

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:51

Да нет, вполне себе счастливый и жизнерадостный малыш. Я же ей пока не говорю про деление на ноль, я же не настолько безумен) Вот когда сама спросит — дам ей ссылку на этот пост.

kyrie 20 авг 2014 в 11:08

Эх, мечты мечты… Бедные родители готовят посты к вопросу о делении на ноль, а дети, о том не ведая, предпочитая вопросы посложнее:

— Когда прилетят инопланетяне, они на нас будут нападать?
— Почему у меня 2 бабушки и только один дед Олег?
— Курицу, которую мы едим, убивают или она сама умирает?
— Пап, а почему ты ссоришься с мамой?
— Почему вода мокрая?
— Почему мне нельзя спать с вами?

Причем каждый вопрос рождает еще 10 новых )

nochkin 13 авг 2014 в 00:49

Как раз не бедный. Ребёнок имеет полное право на правду по поводу деления на ноль. Надо вывести всю правду про ноль на чистую воду. Нельзя обманывать ребёнка и прикрываться розовыми пони и пушистыми котятами!

horses 13 авг 2014 в 09:03

Верно!
Не нужно говорить в одном классе что это делать нельзя, а в следующем рассказывать что можно, но с условиями.
Не обязательно ребенка сразу во всю пучину математики окунать, но текущее преподавание напоминает следующее, если бы речь шла о географии:
1 класс — земля плоская и существует только одна наша страна, солнце крутиться вокруг земли.
2 класс — земля плоская, но существуют другие страны на одном континенте, солнце крутиться вокруг земли
3 класс — земля плоская, существуют другие континенты и страны, солнце крутиться вокруг земли.
4 класс — земля изогнутая, существуют другие континенты, страны и народы, солнце крутиться вокруг земли.
5 класс — земля (оказывается) круглая, а том, что вокруг чего крутиться вам расскажут на уроке астрономии с 6 класса…

merlin-vrn 13 авг 2014 в 09:35

Земля не круглая, земля — геоид.

mayorovp 13 авг 2014 в 09:39

Это уже первый курс.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 09:40

Мне дедушка так говорил, когда мне лет пять было. И я это понимал примерно как «своя ни на что не похожая форма». Как «шар имеет форму шара».

mayorovp 13 авг 2014 в 10:02

Само собой. Просто, если продолжать ряд, приведенный horses, то геоид будет изучаться не раньше первого курса. А в школе Земля будет правильной геометрической фигурой…

Marsikus 10 ноя 2014 в 14:19

О том что земля геоид, нам говорили на географии еще в школе.

Muzzy0 23 ноя 2014 в 11:47

А разве геоид квадратный? вполне себе круглый. Только не сферический ;)

teamfighter 25 ноя 2014 в 11:20

Но в вакууме.

sledopit 13 авг 2014 в 11:38

Ну про ться/тся говорят с 5ого класса, но всё равно не помогает (:

Iceg 14 авг 2014 в 16:11

Только за георграфией не должны забываться и другие науки.

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:23

Спасибо! Так и задумано)

JC_Piligrim 12 авг 2014 в 19:28

Ваша статья напоминает мне горячо любимые в детстве книги Якова Перельмана (из серий «Занимательная физика», "… математика", и т.п.).

Именно с подобных текстов зарождается интерес к науке, пробуждается исследовательский аппетит и любознательность. «А почему бы и не» — это то, что может сделать из ребёнка, впоследствии, великого учёного, заронив зерно жажды к познанию. Спасибо, что написали эту статью! Хочется видеть больше таких дерзких и талантливых (пусть иногда и «безумных») экспериментов!

80x86 12 авг 2014 в 14:16

Вы дочке на ночь ещё не читали «Автоматическую Алису» Джеффа Нуна?

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:22

О, спасибо, прочитаю сам, а когда-нить и дочке.

80x86 12 авг 2014 в 14:34

А «Белый Свет» Руди Рюкера с ана-ката путешествиями по бесконечным горам?

80x86 12 авг 2014 в 14:36

Я эти книги упомянул, потому что редко кто может увлекательно писать о пол-дэнсе вокруг воображаемых осей.
Авторам тех книг удалось, вам тоже.

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:49

Пока ещё не знаю, что такое пол-дэнс и ана-ката, но после прочтения «Белого Света» думаю узнаю. Спасибо за рекомендации.

1eqinfinity 13 авг 2014 в 05:31

Pole dance, наверное :)

chelaxe 28 авг 2014 в 06:10

Ну дочери наверное не стоит читать… все таки эти головоломные убийствa могут помешать спокойному сну ребенка.

may-cat 12 авг 2014 в 14:21

Расскажите, пожалуйста, какие книги вы читаете дочке? И с какого возраста?

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:45

Очень много разных. И сказки, и стихи — не гружу математикой, поверьте.
Но т.к. я стараюсь объяснять, как что устроено, то Соня чаще просит меня читать ей такие книги:
«Учим цвета», «Открой тайны техники», «Стройка баюшки-баю»,
про подводный мир, про тело человека, про динозавров, и ещё про кучу всего.
С какого возраста начали читать, не помню, это было давно.

mixan 12 авг 2014 в 15:54

Очень рекомендую тогда детскую энциклопедию "Чевостика"

darthslider 12 авг 2014 в 19:03

Современный аналог одной из любимых книг моего детства «Почемучка»? Правда у меня была черная.

monah_tuk 13 авг 2014 в 03:20

У меня тоже чёрная была. Не книжка, а сказка. Ещё журнал «А почему?», тут подборка есть: publ.lib.ru/ARCHIVES/A/%27%27A_pochemu%27%27/_%27%27A_pochemu%27%27.html

EvilBeaver 13 авг 2014 в 06:36

Это ОНА!!! Эта книга сделала меня инженером, и вообще, повернутым на всякой технике.

darthslider 13 авг 2014 в 07:13

Знаете, вот мне тоже всю жизнь было интересно не только как, но и почему. Если вы хоть чуточку готовите, я очень советую книгу Cooking for Geeks (к сожалению на русском языке её нет). Там как раз ОЧЕНЬ много ответов на всякие «как и почему» в сфере кулинарии.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:45

Мы любим готовить. Соня обожает экспериментировать, смешивая совершенно неожиданные ингредиенты. И что удивительно, иногда получается очень даже ничего.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:10

Добавил в список к прочтению: «Чевостика», «Почемучка», «А почему». — Спасибо!

EvilBeaver 13 авг 2014 в 11:02

В «Почемучке» последняя глава целиком посвящена преимуществу советского строя над всеми прочими. Эта глава мне не нравилась, т.к. был уже год 93-94 и она была неактуальна. Все остальные главы я зачитал до дыр.

40in 13 авг 2014 в 10:46

А Вас не затруднит еще пару тройку книжек назвать? (или список :) )
Залез в магазин посмотреть-купить те что скинули — теперь не могу остановится.

PS. Правда возраст мне нужен поменьше ~ 3 года, но Тайны техники и цвета я уже заказал

denis-ryzhkov 15 авг 2014 в 08:39

Простите, что ответил не сразу.
Сегодня добавил комментарий, в котором собраны книги для детей (и не только) на основе всех рекомендаций, сделанных в комментариях к этой статье.
А тут можно посмотреть интересные книги на другие темы для возраста 1-3 года.

mayorovp 12 авг 2014 в 14:27

Чем только не занимаются люди, лишь бы про предельный переход позабыть :)

Koncopd 12 авг 2014 в 14:30

Можно и без пределов обойтись, если использовать гиперреальные числа, например.

Koncopd 12 авг 2014 в 14:29

Но почему эти калькуляторы выдают бесконечность при делении на ноль, деление на ноль же не может дать бесконечность. Бесконечность получается таким, например, образом lim 1/n, n -> 0. Но это же не деление на ноль, а просто последовательность чисел, удовлетворяющая определенному неравенству.

mayorovp 12 авг 2014 в 14:31

Потому что так сказано в стандарте IEEE 754. А в стандарте так сказано, потому что в некоторых случаях эти результаты (+Inf, -Inf, NaN) оказываются осмысленными.

VBodrov 12 авг 2014 в 14:43

Нам в своё время объясняли коротко и ясно, помню до сих пор.
Деление на «x», это короткая запись линейного уравнения «делитель» * «x» = «делимое».
При таком раскладе видно, что если делитель = 0, то уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0.
А раз уравнение не имеет решения, то и запись такая будет не верна.

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 14:57

Однако, если делимое тоже равно нулю, то любой икс будет решением этого уравнения, разве нет? А как же уравнения вроде x * x = -1? Тоже запись не верна?

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:51

Да верна запись, просто смысла не имеет. Можно приписать смысл, кто мешает. Всего-то надо объяcнить, как интерпретировать результат и что с ним делать. В случае с x*x=-1 как раз это сделано (Эйлером), а для 0/0 такой же интерпретации, с которой все были бы согласны, нет.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:47

Я искренне надеюсь, что найдётся настоящий математик (я увы таковым не являюсь и не стремлюсь стать), который сможет правильно ввести деление на чистый ноль (безо всяких пределов и т.д.) в официальную математику. И если вдруг моё скромное эссе этому математику хоть чуть-чуть пригодится, я буду счастлив.

mayorovp 13 авг 2014 в 09:06

Лихо вы «настоящим математикам» задания выдаете… Кстати, в комментариях уже были упомянуты гиперреальные числа, правда, никакой информации по ним я не нашел, кроме их существования.

И, да, почему пределы не являются «правильным» способом? Потому что вы их не поняли — или есть более серьезные причины?

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:12

Да, со словом «правильно» я погорячился. Конечно пределы правильны, и я их вроде бы понимаю, до какой-то глубины. Более серьёзная причина — отсутствие общепризнанных математических моделей про успешное деление на чистый ноль, а не на величину, стремящуюся к нулю.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

TakeOver 13 авг 2014 в 11:56

Я, как человек увлекающийся абстрактной алгеброй, вот что скажу:
Делать на ноль «нельзя», ибо в нашей алгебраической структуре, например поле комплексных чисел, это операция не определена. И все.
В гиперреальных числах, насколько я знаю, вводят понятие бесконечно малой и делят на нее, получая «бесконечно большое» «число».
Не знаю, зачем вам так нужно деление на ноль, в математике такой необходимости я как-то не заметил.
Более того, странно пытаться «делить на ноль», если мы изначально построили структуру так, что делить на него нельзя.
Когда на комплексной плоскости добавляют точку \inf — это лишь «компактификация» комплексной плоскости, проективная комплексная прямая или просто сфера(Римана). Там чисто для удобства определяют некоторые операции с бесконечностью, но и то не до конца.

vintage 3 сен 2015 в 12:47

Уравнение прямой (ax + by = c) позволяет описать любую прямую на плоскости. Другая его форма (y = a + bx), не позволяет описывать вертикальные прямые, пока не будет введено деление на ноль, где 0/0 эквивалентно множеству всех чисел, а n/0 пустому множеству.

TakeOver 5 сен 2015 в 14:15

Вы написали совершенно математический бред. Тот пример, что вы привели — объясняется лишь тем, что мы для первого семейства прямых наложили условие, что b!=0. Все. И выразили игрек. Какой-то бред написан про «0/0 множество всех чисел». Как вы собрали «складывать» множество всех чисел и число? Смешно.

vintage 5 сен 2015 в 21:16

Вот именно что вторая форма записи теряет решение перпендикулярное оси x. Множества складываются очень просто: {a,b}+{c,d} = {a+c,a+d,b+c,b+d}. Просто число эквивалентно множеству из одного этого числа. Пример, который знаком всем: +-sqrt(-1) — является ни чем иным как множеством всех (двух) решений уравнения i^2 = -1

TakeOver 5 сен 2015 в 22:29

Ничего она не теряет. Мы наложили условие и привели к другой форме. Про сложение множеств — совершенно бред. Я могу ввести что угодно и назвать сложением множеств. И пожалуй я закончу на том, что аксиома фундаментальности теории множеств гарантирует, что множество не является собственным подмножеством себя. То что вы предлагаете — нарушение это аксиомы.

mayorovp 6 сен 2015 в 07:41

Про сложение множеств — совершенно бред. Я могу ввести что угодно и назвать сложением множеств.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Сумма_Минковского

Но, разумеется, это не отменяет бредовости остальной части рассуждений.

vintage 6 сен 2015 в 08:33

Где это мы «накладывали условия»?
Всё, что мы сделали, — это выразили y:
y = c/b — a/b*x
Если не вводить деление на 0, как принято сейчас, то данное уравнение не имеет решения при b=0, а вот если вводить как я сказал выше, то вполне себе имеет и никаких «ограничений» не возникает.

В этом и заключается суть математики, что вы и я и кто угодно может ввести определения, аксиомы и тп и построить свою ветвь математики. разница лишь в степени полезности созданного таким образом инструмента. Однако то, о чём говорю сейчас я, не мной придумано, и уже активно используется в компиляторах и валидаторах. И даже в школе в рудиментарном виде ( x = ( -b +-sqrt(b^2-4ac) )/2a ). А вы упорно не хотите этого замечать и ставите мне психиатрические диагнозы.

Что такое «аксиома фундаментальности теории множеств» и в каком гугле её искать?

Во первых, множество естественным образом является нестрогим подмножеством самого себя, а во вторых при чём тут это?

Какие такие аксиомы я нарушил? «На ноль делить нельзя»? Ну как бы да, о том и речь, что не нужно оно :-)

mayorovp 7 сен 2015 в 03:50

y = a + bx — это уравнение прямой, не являющейся вертикальной. Что вас не устраивает-то?

vintage 7 сен 2015 в 06:59

Мы ходим по кругу. «это уравнение прямой, не являющейся вертикальной» ровно потому, что «на ноль делить нельзя». Если разрешить делить на ноль, то это уравнение сможет описывать также и вертикальные прямые. А вот что вас тут не устраивает? Видите какую-то противоречивость в подходе с описанием деления через множество решений уравнения? Тогда я рад был бы увидеть аргументы по сильнее, чем «на ноль делить нельзя, потому что нельзя».

mayorovp 7 сен 2015 в 07:12

Приведите, как в вашем понимании должна выглядеть прямая x=5 в этой форме.

y = a + bx

Чему, по-вашему, должны быть равны a и b, чтобы это уравнение имело решение (x=5, y-любое)?

vintage 7 сен 2015 в 11:49

a = 5/0
b = -1/0

mayorovp 7 сен 2015 в 13:01

Получаем уравнение:

y = (5/0) + (-1/0)*x

(5/0) — это, согласно вашей идее, пустое множество. Пустое множество в сумме с чем угодно дает снова пустое множество. В итоге, y получается тоже пустое множество, независимо от x. Что-то не сходится.

vintage 7 сен 2015 в 17:32

1/0 — это всё же решение уравнения ( 0 * j = 1 ) и взятие решения не является в данном случае дистрибутивным:

solve( a )[ 0 * a = 1 ] — solve( b )[ 0 * b = 1 ] != solve( a — b )[ 0 * a — 0 * b = 1 — 1 ]

Да, это печально, но не смертельно. С комплексными числами похожая беда:

real( i ) * real( i ) != real( i * i )

То есть, мы можем обозначить 1/0 за, например, j и использовать как полноценное число в выражениях, но чтобы избавиться от j нам надо привести выражение к виду ( a * j ) и решить уравнение ( 0 * x = a )

mayorovp 7 сен 2015 в 18:04

Исходно вы предлагали использовать множества возможных значений и выполнение арифметических операций над множествами по Минковскому. А теперь вводите расширение поля действительных чисел?

Определитесь уже, пожалуйста. Кстати, такое расширение, которое вы придумали, и правда существует, и называется оно Wheel. К сожалению, даже там запись y = (5/0) + (-1/0)*x не является уравнением вертикальной прямой…

vintage 7 сен 2015 в 18:45

Одно другому не мешает, но как вы правильно заметили, преждевременный переход к множествам в случае деления на 0 может привести к потере части решений.

Был бы рад прочитать про это на русском доступным языком :-) А уравнением какой фигуры тогда является?

mayorovp 7 сен 2015 в 20:10

В зависимости от выбранного расширения — разной. Это может быть пустое множество (как в случае с вашими множествами или в wheel), может быть вся плоскость (при неаккуратном подходе). Если использовать расширение из комментария ниже, где j=1/0, то такое уравнение задаст точку (5, 1).

По поводу же доступного языка… Не знаю, насколько такой язык будет доступным, но wheel очень похож на IEEE 754 :)

vladstudio 14 авг 2014 в 02:06

Самое наглядное объяснение x * x = −1 я нашел однажды тут —
betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

mayorovp 14 авг 2014 в 10:57

Ну, вообще-то это одно из определений умножения комплексных чисел: умножаем модули, складываем аргументы.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

potan 4 дек 2014 в 17:09

Для действительных чисел умножение x*y это образ y при таком растяжении действительной прямой, при котором 0 остается на месте, а 1 переходит в x. Для комплексных чисел то же самое, только к растяжению добавляется поворот.

Indexator 12 авг 2014 в 22:13

уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0. А раз уравнение не имеет решения, то и запись такая будет не верна.

y = x — x,
тоже неверна?

VBodrov 13 авг 2014 в 06:54

В этом уравнении есть ответ.

Если взять конкретную дробь, скажем 5/0 = x
То уравнение о котором я говорю будет иметь вид:
0 * x = 5
Но очевидно, что при умножении любого «x» получается 0, а не 5. Поэтому и неверная запись.

vp_arth 13 авг 2014 в 06:58

ничего не очевидно, просто x должен обладать свойством получения 5 при умножении на 0… Мы можем просто назвать это число 5/0 и использовать его в своих вычислениях.

если подходить ко всему с подобной очевидностью, то и уравнение выше ( x*x =-1 ) не имеет решения, ведь очевидно, что при умножении любого x на самоё себя мы получаем положительный результат.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:14

Раз вы объявили объект 5/0 и назвали его «числом», извольте определить все остальные операции, характерные для чисел: сложение, умножение, и так далее. Как понимать запись «5/0 + 1»? Как его изобразить на числовой прямой? В каких отношениях оно с «4/0 — 2» — больше, меньше, и так далее? Да ещё так, чтобы ничто ничему не противоречило.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:26

а где по вашему на числовой прямой лежит i+1 (i = квадратный корень из минус единицы)?

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:31

Ну, как вы догадываетесь, я ждал такого комментария :)

Во-первых, i — не квадратный корень из минус единицы. Неправильно. Если его так понимать, то противоречие вы получаете сразу: i=sqrt(-1)=sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)=1/sqrt(-1)=1/i. Не надо так.

Во-вторых, на прямой его нет, но есть на комплексной плоскости. И на прямой можно изобразить модуль |i+1| = sqrt(2). В случае сравнения комплексных чисел либо требуется в зависимости от задачи сравнивать модули или действительные части. Умножения и сложения — вы сами знаете.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:38

но ведь i по определению — «число, квадрат которого равен -1». И 1/i этому определению удовлетворяет. А потому не вижу никакого противоречия в равенстве i = 1/i

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:41

но ведь i по определению — «число, квадрат которого равен -1». И 1/i этому определению удовлетворяет. А потому не вижу никакого противоречия в равенстве i = 1/i

Вы перечитайте, что написали. Допишу: i = 1/i => i*i = 1, а вы определяли i*i = -1. Вот оно и противоречие.

i — это конкретное число, вполне определённое, а не переменная. И оно не имеет «двух значений» там или подобного.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:42

хотя да, мы теряем знак… :)

Watchman142 13 авг 2014 в 09:14

У вас ошибка: sqrt(1/-1) != 1/sqrt(-1)

mayorovp 13 авг 2014 в 09:23

С каких пор?

Watchman142 14 авг 2014 в 04:22

В левой части получаем i, а в правой -i:
sqrt(1/-1) = sqrt(-1) = i
1/sqrt(-1) = 1/i = -i

merlin-vrn 13 авг 2014 в 09:27

Правило из какого там класса? sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b). Всё, собственно, на этом, никаких условий типа проверки знаков мне не нужно, я всю бодягу-то и развёл для того, чтобы научиться извлекать корень из отрицательных чисел.

Alexeyslav 13 авг 2014 в 10:36

а доказано что формула справедлива для всех чисел в том числе и отрицательных? каким способом она была выведена?

merlin-vrn 13 авг 2014 в 10:52

а доказано что формула справедлива для всех чисел в том числе и отрицательных? каким способом она была выведена?

Перечитайте то, на что отвечали:

никаких условий типа проверки знаков мне не нужно, я всю бодягу-то и развёл для того, чтобы научиться извлекать корень из отрицательных чисел

кроме того, да, доказано, это свойство следует из определения операции квадратного корня и свойств операции умножения:
b = sqrt(a): b такое число, что a = b^2
если b = x/y, то a = (x/y)^2 =(определение операции возведения в квадрат) (x / y) * (x / y) = x * x / y / y (переместительный закон умножения) = (x*x)/(y*y) (сочетательный закон умножения) = s/y, где x = x^2, t = y^2 (определение операции возведения в квадрат). То есть, (x/y)^2 = s/t, если s = x^2, t = y^2, и по определению квадратного корня, sqrt(s/t) = x/y, sqrt(s)=x, sqrt(t)=y, и значит, sqrt(s/t) = sqrt(s)/sqrt(t).

Запрет на извлечение корня из отрицательных возникает в определении корня, я этот запрет выделил там жирным. Пока мы говорим о вещественных числах, то такого числа просто не найдётся, если a<0. А в доказательстве свойства корня от операции деления, не найдётся чисел x и y, если s и t отрицательные.

Но обратите внимание на всю цепочку, как она начиналась: i = sqrt(-1)=… — мы эти преобразования как раз начали уже с i, то есть, мы собственно уже вышли за пределы вещественных чисел, и числа, подходящие под определение, всегда найдутся.

Смысл преобразований в том, что определение i как квадратного корня — некорректное и приводит к противоречиям. Я просто показал пример такого противоречия. А вывод — нельзя определять мнимую единицу таким образом.

Watchman142 14 авг 2014 в 04:45

Откройте любой учебник и вы увидете, что это правило распространяется только на положительные числа (для корней четной степени)

Blumfontein 15 авг 2014 в 05:52

>> Во-первых, i — не квадратный корень из минус единицы. Неправильно. Если его так понимать, то противоречие вы получаете сразу: i=sqrt(-1)=sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)=1/sqrt(-1)=1/i. Не надо так.

Лихо вы корень из единицы вычислили. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8_%D0%B8%D0%B7_%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B

mayorovp 15 авг 2014 в 05:58

То есть, вы хотите сказать, что корней из единицы — два, а из минус единицы — один? :)
Разумеется, корень — функция многозначная. И именно потому i нельзя понимать просто как квадратный корень из минус единицы.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 06:05

Поздравляю вас, я именно это и хотел показать этим противоречием. Ошибка в этой строке — i = sqrt(-1), о чём я и говорю. Нельзя это использовать в качестве определения i.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:30

и да… 5/0+1 всё таки можно изобразить на этой вашей числовой прямой…
и рисуется эта величина сразу в двух точках: ±∞+1 (в этом разница между делением на ноль и на бесконечно малую со знаком)

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:33

Ой ли? А такого числа нет — ±∞+1, и точки такой на прямой тоже не существует. Так же, как не существует и места на прямой "+∞" или "-∞". Это направление, а не точка.

Кстати, смысл выражения "±∞+1" вы тоже поясните, а то он неясен.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:55

1±∞ — это точки удалённые от точки 1 на бесконечное расстояние…

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:03

Нет такой точки. Если вы говорите «точка», значит, существует конкретное место на прямой, на которое встать, и вот она, точка.

И бесконечность — это не число. Не надо понимать его как число только потому, что оно участвует наравне с числами в некоторых выражениях. Оно может участвовать не в любых выражениях, где используются числа, а только в виде границ пределов, операций сравнения и некоторых словесных оборотах типа «неопределённость вида 0*∞», которые вообще использутся только как короткие названия для классификации случаев.

В операции сложения бесконечность участвовать не может вообще, так как это не число, и запись ∞+1 не имеет общепринятого смысла, так же, как и 5/0+1.

Можете попытаться этот смысл приписать, никто не против, я уже написал, что для этого нужно.

Леонард Эйлер можно сказать всю жизнь положил на то, чтобы приписать смысл операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Теперь с ним вроде никто не спорит. Вот и вы попробуйте, может, научите мир делить на ноль. Только прочитайте сначала хотя бы википедию.

vp_arth 13 авг 2014 в 08:08

а я утверждаю что такие точки есть.
Чтобы убедиться в этом, просто встаньте и пройдите бесконечное количество шагов, как только вы это сделаете — вы окажетесь как раз в такой точке.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:12

Не надо ёрничать. У вас в голове есть каша, в ней может быть всё, что угодно, и утверждать можете тоже всё, что угодно, но если мы хотите, чтобы с вами имели дело, обосновывайте свои утверждения. Пока что никаких оснований не предложено.

Хотите спорить по поводу математики — учите математику, другого пути нет. А пока что отлично видно, что вы даже основ математики не знаете.

vp_arth 13 авг 2014 в 08:16

Что значит ёрничать? Вы уже прошли бесконечное число шагов и не нашли обещанного?

По поводу моей ошибки выше, очевидно же, что имелось в виду i^2 = (1/i)^2 = -1, а вы попросту меня запутали :)

vp_arth 13 авг 2014 в 08:19

мда… ну и ну вас нафиг…
минусовать, так по полной — зайдите в другие статьи тоже

tundrawolf_kiba 13 авг 2014 в 09:40

Я прошел бесконечное число шагов, потом сделал еще один шаг и пришел к выводу, что: ∞+1=∞. Что противоречит тому, что я сделал шаг, т.к. количество шагов по прежнему осталось бесконечным. И возникает интересный момент — я сделал шаг, об этом говорят мои физические ощущения, но с точки зрения математики — шага не было, и чему верить?

vp_arth 14 авг 2014 в 07:24

если вы смогли сделать ещё один шаг, значит вы обманули, и не прошли бесконечное число шагов…

vp_arth 14 авг 2014 в 08:08

не могу понять баттхёрта по поводу бесконечно удалённых точек…
это же распространённое понятие, много где используемое… например, в опредении проективных плоскостей, где евклидова плоскость пополняется бесконечно удалёнными точками пересечения параллельных прямых…

Короче, какой-то ангажированный слив получился со стороны…

vp_arth 14 авг 2014 в 08:15

в опредении

«в определении», разумеется

mayorovp 14 авг 2014 в 08:25

Бесконечно удаленная точка — это, в модели без повышения размерности, символ, обозначающий класс параллельных прямых. В модели с повешением размерности это прямая, параллельная основной плоскости.

Где здесь есть упоминание про бесконечное число шагов, которые следует пройти?

Искусственность понятия бесконечно удаленной точки замечательно иллюстрируется тем фактом, что на проективной плоскости таких точек — целая прямая, а на плоскости-сфере Римана такая точка одна.

vintage 3 сен 2015 в 13:02

Вы предлагаете процесс, который не может быть завершён. Можно бесконечно искать эти точки, но вы никогда их не найдёте. А что нельзя найти — того не существует.

Blumfontein 15 авг 2014 в 03:47

Введем число 1/0 и назовем его каким-нибудь j. Тогда 5/0=5*1/0=5j.

>> Как понимать запись «5/0 + 1»?

5/0 + 1=5j+1

>> Как его изобразить на числовой прямой?

Изображаем на плоскости подобно комплексных числам.

>> В каких отношениях оно с «4/0 — 2» — больше, меньше

В таких же, в каких отношениях 5i+5 с -2i+1

>> Да ещё так, чтобы ничто ничему не противоречило

найдите противоречие

mayorovp 15 авг 2014 в 03:57

Противоречия нет, но операция умножения у вас потеряла ассоциативность.

Blumfontein 15 авг 2014 в 04:51

С чего это вдруг? Ну ладно, проведем выкладку:
((aj+b)(cj+d))(ej+f)=(acj+adj+bcj+bd)(ej+f)=(ace+ade+bce+bde+acf+adf+bcf)j+bdf
(aj+b)((cj+d)(ej+f))=(aj+b)(cej+cfj+dej+df)=(ace+ade+bce+bde+acf+adf+bcf)j+bdf

* Объясняю, куда делись квадраты и кубы. По определению, j — это такое число, которое при умножении на 0 дает 1, т.е. j*0=1, возведем это выражение в любую натуральную степень, получим j^n*0=1, откуда следует j^n=j для любого n.

mayorovp 15 авг 2014 в 05:50

Нельзя так просто возвести (j*0) в степень по частям — потому что эта формула требует ассоциативного умножения.

Не пытайтесь доказать ассоциативность умножения, лучше изучите контрпример.
(2*0)j = 0j = 1
2*(0j) = 2*1 = 2

mayorovp 15 авг 2014 в 06:02

UPD: в вашей системе еще и дистрибутивный закон не работает. Зря вы его в доказательстве использовали.
(2+0)j = 2j
2j + 0j = 2j+1

merlin-vrn 15 авг 2014 в 06:02

Под j вы понимаете 1/0? Хорошо.

j^n = j по-вашему, то есть, 2j^2 = 2j, или 2j = 2. Да ну, правда что ли? Или на j теперь тоже делить нельзя?

P.S. С комплексными числами таких проблем нет. На i делить можно, можно извлекать из него корни и так далее.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 06:28

Я больше скажу. В математике есть функция, чем-то похожая на 1/0 — называется δ-функция Дирака, она является обобщённой функцией (в англоязычной литературе — вообще не функция, а distribution). Она определяется так:
$\int_a^b \delta(x)f(x) dx = \left\{\begin{matrix} 0, & 0\not\in[a,b];\\ f(0), & 0\in(a,b). \end{matrix}\right.$
Если a или b равны нулю, могут быть варианты, но эти ситуации обычно не важны на практике. Иногда в этом случае определяют функцию как 1/2.

Странная эта дельта-функция, не правда ли? Вроде как равна нулю везде, кроме x=0, а если x=0, то равна вроде как «1/0» (не больше и не меньше!), потому, что площадь под ней — строго равна 1. Но имеет смысл эта функция только под знаком интеграла. График её нарисовать невозможно. Зато можно написать несколько обычных функций, которые в пределе переходят в эту дельта-функцию — например, обычное гауссово распределение переходит в дельта-функцию, если дисперсия стремится к нулю.

Можно от неё посчитать производную, образ Фурье, и много чего ещё. Всё это делается элементарно просто исходя из определения (по частям, например, проинтегрировать), или делаем соответствующую операцию с например с Гаусовским колоколом и предельным переходом получаем результат.

Но вот возвести в квадрат — не получается. Потому, что функция имеет смысл только в интегральном операторе, и квадрат дельта функции — это отдельная тема, имеющая смысл двойного интеграла, соответственно, по разным переменным. А где вязть разные переменные — в каждом случае решаем отдельно. Такая ситация, например, возникает в квантовой электродинамике, и для разрешения ситуации с квадратом дельта-функции приводятся весьма туманные рассуждения.

FiresShadow 24 ноя 2014 в 12:03

Деление на «x», это короткая запись линейного уравнения «делитель» * «x» = «делимое».
уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0

Докажем
x * 0 = x * (0 + 0) = x*0 + x*0
x * 0 = x*0 + x*0
x * 0 — x * 0 = x * 0
0 = x * 0

zo_oz 12 авг 2014 в 14:54

стойте-стойте, ангем первый курс, уравнение прямой
(x-x0)/p1=(y-y0)/p2=(z-z0)/p3, направляющий вектор p(p1;p2;p3), — вроде можно делить на 0.
P.S. я мог ошибиться, давно дело было, но вроде это место навсегда отложилось в памяти

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 15:08

Ага, если прямая окажется параллельна одной из осей, то получится деление на ноль. Например p1=0, x-x0=0, 0/0 будет равно любым значениям в выражениях с «y» и «z». Как ему (0/0) и полагается.

BratSinot 12 авг 2014 в 20:01

Это не совсем деление, это операция отношения.
А чтобы избежать таких моментов с нулем, то уравнение приводят, например, к параметрическому виду.

plsc_Rover 12 авг 2014 в 15:01

Не забудьте рассказать дочери о делении нуля на ноль в отношении предела отношения функций :)

4ikist 12 авг 2014 в 15:02

y1 =? дней
y2 = 5 яблок

y1 = y2 / 0

— Папа, а почему на ноль делить нельзя?
— Представь, что у тебя есть 5 яблок, но ты каждый день ешь 0, на сколько дней тебе хватит яблок?

P.S.: Яблоки печатаются на 3D принтере, поэтому не портятся :)

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 15:12

Очевидно, тогда 5 яблок хватит на бесконечное количество дней. А вот если бы вначале было 0 яблок, то, поедая по 0 яблок в день, можно было бы сказать, что их хватило на 2 дня. ну или на 3. И то, и другое было бы одновременно правильным, как и полагается в зазеркалье.

vp_arth 12 авг 2014 в 15:14

самое непонятное для меня — почему 1 день норм, а 0 нет?
Было 0 яблок, едим 0 в день — уж на 0 дней-то точно хватит…

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 15:24

Этот момент упомянут в посте — вроде как 0*0=0, но дальше идут степени нуля, и получается что 0*0=0^2 != 0^1.

Juma 13 авг 2014 в 04:48

Что-то я запутался в этих рассуждениях. Это как 0*0!=0?
Если 3*0=0 и 2*0=0 то 0/0=2 и 0/0=3.
Но тогда по этим же рассуждениям ∞*0=0 и 0*0=0 соответственно должно быть что 0/0=∞ и 0/0=0, но у вас 0/0 != 0 и 0*0!=∞.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:29

Из того, что 2*0=0, не следует, что ∞*0=0.
2 и ∞ относятся к разным категориям.
С другой стороны, в конце поста все категории сливаются в одну, и на последнем уровне действительно 0 равен ∞.
Противоположные мнения могут существовать одновременно, дополняя друг-друга на разных уровнях, как в физике Планка, Ньютона и Эйнштейна…
Да и параллельные прямые у Евклида и у Лобачевского то пересекаются, то не пересекаются…
И такой агностицизм — как раз и есть настоящая наука, которая не боится менять законы, и даже давать существовать одновременно противоположным законам.

mayorovp 13 авг 2014 в 08:29

Параллельные прямые пересекаются не у Лобачевского, а на проективной плоскости.

И у Евклида, и у Лобачевского, и даже у Римана параллельные прямые пересекаться не могут никак!

И все эти альтернативные конструкции существуют не просто так — а потому что у них есть непротиворечивая аксиоматика. Непротиворечивость же доказана путем построения модели, обладающей всеми требуемыми свойствами, которые можно доказать исходя из представлений Евклидовой геометрии.

Приведите систему аксиом, которые остаются верными в вашей математике, где можно делить на ноль, и постройте модель, которая этим аксиомам удовлетворяет — и мы вам поверим.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:02

Рад бы, но вероятно это предстоит сделать настоящему математику, а не мне)
Вот тут подробнее.

fori 13 авг 2014 в 13:06

0/0 это неопределенность. Неопределенность — это когда из имеющихся формул нельзя узнать ответ и надо привлекать дополнительные знания и формулы чтобы раскрыть неопределенность. В физике довольно часто приходится раскрывать неопределенности, а в квантовой физике вообще полно математических изворотов.

vp_arth 14 авг 2014 в 07:31

если под 0/0 вы имеете в виду (бесконечно малая/бесконечно малая) — вы правы… Иначе это не может быть неопределённостью.

4ikist 12 авг 2014 в 15:23

Да, я думал перед отправкой комментария, что это не самый логичный ответ, но что то в нём есть, притягательное. Проблема ещё и в том, что как объяснить ребёнку про 0 яблок, они вроде и есть, и вроде нет. Возможно такой ответ помог бы маленькому ребёнку понять чуть ближе смысл, не дожидаясь математики.

4ikist 12 авг 2014 в 15:29

Выходит, что 0/0 = абсолютно все возможные значения, соответственно результат зависит от спроса.

yorick_kiev_ua 12 авг 2014 в 15:39

>можно было бы сказать, что их хватило на 2 дня. ну или на 3.

Их тоже хватило бы на бесконечное количество дней, т.к. для любого дня потребность в нуле яблок удовлетворяется.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:41

Точнее — и удовлетворяется, и не удовлетворяется одновременно, ведь в отличии от изначальных 5 яблок, тут в любой момент яблок ноль.

Yggaz 12 авг 2014 в 16:20

А на бесконечное количество дней 0 яблок никак не хватит, если поедать по 0 в день? :)

Нет уж. Либо мы считаем, что яблоки кончаются, когда их 0 — и тогда их не хватит даже на 1 день, они сразу кончились.
Либо мы считаем, что яблоки кончаются, когда мы больше не можем их есть по 0 в день — и тогда они не кончатся никогда.

А вот «конечного мира» никак не получается.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:43

Яблоки кончаются, когда вот они были, а вот их не стало. А в примере с нулём яблок, их изначально не было, так что кончиться они не могли. Зато поедая по ноль яблок в день, можно растянуть это удовольствие на произвольное количество дней (0/0).

Yggaz 13 авг 2014 в 07:59

И что вы исправили в проблеме?

Если понимать «яблоки кончаются» так, как вы предлагаете, то есть «вот они были, а вот их не стало», то 0 яблок, если поедать их по 0 в день, не кончатся никогда.
Если же нам нужно, чтобы они всё-таки кончились — день мы можем выбирать произвольно.

Но если мы можем выбирать — то что мешает нам сказать, что они кончились сразу?

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:08

Вы правы. Вот мы и доелись яблок до третьего уровня (в конце поста), где 0/0 может быть равен бесконечности никогда и нулю сразу. С Вашего позволения, включу Ваш пример в пост, только дам немного настояться этому кальвадосу в голове.

Nilard 13 авг 2014 в 09:20

В вашем примере с яблоками — операция вычитания, а не деления.

Uris 12 авг 2014 в 15:13

Ссылку не найду, но много уже лет назад читал одну научную статью, в которой исследовался вопрос восприятия нуля детьми. Из статьи было четко видно, что понимание нуля у детей органически не возникает до определенного возраста. Примерно четыре года. Однако, выводы в статье были грустными. Как только ребенок поглощает сознанием эту цифру он понимает конечность жизни, будет плакать от того, что бабушка умерла и это необратимо и т.д. При этом автор делает еще один малоутешительный вывод. После осознания нуля фазовым образом падает развитие ребенка. Он уже не развивается как вулкан, удивляя каждый день, а просто становиться на некие рельсы и уже катиться с некой энерцией по пути своего генетического развития. Конечно, вперед, но уже понятно и предсказуемо.

denis-ryzhkov 12 авг 2014 в 15:23

Ну, проверим, были ли правы эти британские учёные. Пока что Соня — это вулкан и ураган, удивляющий каждый день новыми перлами, поступками и вопросами.

Uris 12 авг 2014 в 15:32

это замечательно. Не спешите с этими нулями. Пусть побудет в сказочном мире, где все есть, а если что-то нет под руками — значит просто как игрушка где то в шкафчике лежит;-)

binariti 13 авг 2014 в 05:45

После осознания нуля фазовым образом падает развитие ребенка.
Это скорее всего следствие взросления. Как и осознание нуля это тоже следствие взросления. Ну то есть ноль тут не виноват, и то и другое равноправные следствия.

Удивительно, но о том, почему ноль связан со смертью и почему дети начинают понимать смерть после понимания нуля, — мне кажется я нашел ответ в своем комментарии ниже в этом посте.

Nilard 13 авг 2014 в 09:35

Какой-то бред. Моему ребенку 2 года, и он вполне органично осознает 0: вот было 3 ягодки, все съел — осталось «ной». Не замечал у него особых депрессий по этому поводу.

Осознание конечности жизни и необратимости событий, мне кажется, это совсем другое, к пониманию математического нуля не имеет отношения.

vintage 3 сен 2015 в 13:17

Что такое это «фазовое падение развития»?

Uris 3 сен 2015 в 14:03

Остановка бурного развития. Фазовый — суть быстрый в этом случае процесс.

vintage 3 сен 2015 в 23:37

Не нашёл ни в одном словаре такой интересной интерпретации прилагательного «фазовый».

Kaluchi 12 авг 2014 в 15:35

Двоичная, десятичная(арабская), шестнадцатеричная, шестидесятеричная (вавилонская), римская, инфиксная, префиксная, постфиксная нотации и т.д. — тысячи их и у каждой своя область применения. Ваша тоже хороша.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:47

Да, мне тоже кажется, что 0^x — это категория, как оценка сложности алгоритма O(N). Там нотация O большого, тут нотация степени нуля.

harati 12 авг 2014 в 15:41

Думается, проще объяснять суть нуля, и почему нельзя на него делить в терминах количества предметов. Очевидно, что ноль предметов — это нисколько предметов.Тогда и парадоксы разрешаются:

возьмём n раз по нисколько — получим нисколько -> x*0 = 0
поделим нисколько вещей на n -> 0/n = 0
поделим нисколько вещей на -n -> 0/-n = 0
положим n помидор в нисколько ящиков, сколько помидор будет в каждом?
очевидно, что ящика не существует, значит в нём может быть бесконечность помидор -> n/0 = ∞
возьмём нисколько n раз — ясно, что будет нисколько -> 0^n = 0

С бесконечностью тоже можно упростить дело — не бесконечность, а много. Знак бесконечности — плюс много, минус много, можно привести аналогию с долгом. И всё сравнительно ясно, немного фантазии — и запретное становится очевидным.

И становится ясно сразу, почему нельзя делить на ноль и использовать арифметику с бесконечностями — мы не знаем, сколько это — много. Просто много.

Wendor 12 авг 2014 в 16:35

А мой примитивный разум рассуждает так:
Сколько единиц в тройке? 3.
Сколько троек в тройке? 1.
Сколько нулей в нуле? 1.
0/0=1.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:52

А если так?
Сколько шестёрок в шестёрке? 1.
Сколько троек в шестёрке? 2.
Сколько единиц в шестёрке? 6.
Сколько половинок единицы в шестёрке? 12.
Сколько нулей в шестёрке? Бесконечно много.
Сколько нулей в нуле? Сколько хочешь.

Wendor 13 авг 2014 в 12:02

6=6?
2=2?
0=0?
0/0=1

vp_arth 12 авг 2014 в 17:52

значит в нём может быть бесконечность помидор

неубедительно… с яблокоднями нагляднее

nomadmoon 13 авг 2014 в 03:26

> поделим нисколько вещей на -n

Тут даже я не смог это быстро представить «в натуре».

Вообще «разделить» на N мне визуально представляется как «разложить на N одинаковых кучек» и в таком представлении деление на отрицательные числа сложно представить.

Alexeyslav 13 авг 2014 в 08:51

вместо кучек представьте ямки где что-то вот-вот должно появится, его еще нет но должно и когда появится то поверхность сравняется в ноль.

aitras 12 авг 2014 в 15:56

Эх, вспомнилось как я читал книжку «Путешествия по Карликании и Аль-Джебре» в детстве…

tundrawolf_kiba 12 авг 2014 в 19:31

А «Приключения рассеянного магистра»?

aitras 12 авг 2014 в 21:51

В местной библиотеке такой не было.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:53

Эта книга очень моей жене нравится.

artoym 13 авг 2014 в 09:55

Отличная книга! Кстати, не к нулю будет сказано, но есть ещё «Флатландия»

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:54

Добавил в список к прочтению, спасибо!

michaelkl 15 авг 2014 в 02:09

Опубликуйте потом ваш список к прочтению, пожалуйста!

denis-ryzhkov 15 авг 2014 в 07:25

Опубликовал отдельным комментарием верхнего уровня.

WowaBBS 12 авг 2014 в 18:15

0^0=1

imwode 12 авг 2014 в 18:59

За что минусуете человека, гады?
P.S. адъ: www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/

mayorovp 12 авг 2014 в 19:11

За отсутствие аргументов его минусуют. Кстати, Кнут с соавторами тоже считали, что 0^0 лучше определить как 1.

NeoCode 12 авг 2014 в 19:34

Поздравляю, вы переизобрели матан:) (или по крайней мере попытались в очень упрощенном виде).

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:56

Спасибо, но мне кажется матан намного шире.

potan 4 дек 2014 в 17:14

Скорее нестандартный анализ.

xiWera 12 авг 2014 в 19:38

неее своим детям я так сложно объяснять не буду, всё объясняется гораздо проще. Ну и слово нельзя я бы в объяснении не использовал

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 07:57

Поделитесь, пожалуйста, как проще объяснить?

Tab10id 12 авг 2014 в 19:59

Нужно было начинать с определение термина деления, все было бы значительно проще. Ведь деление это всего лишь обратная операция от умножения, 6/2 = 3 лишь потому, что 3*2 = 6, а так как при умножении на ноль получается всегда ноль, то делить что-либо на ноль просто нельзя. Исключение только для случая 0*0, но этот случай у Вас как раз разобран хорошо (через парадокс 2=3). Такие вещи нужно понимать на бытовом уровне, без всяких графиков.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:01

так как при умножении на ноль получается всегда ноль, то делить что-либо на ноль просто нельзя

Просто нельзя, а осторожно — можно.

mikhanoid 12 авг 2014 в 20:13

Хм. Так нули же бывают не только в поле действительных чисел. И на них тоже делить нельзя :) А там графиков нет. Есть же более простое обоснование. Если для нуля есть обратный элемент, то это поле из одного элемента: a * 0 = b * 0, умножаем на обратный для нуля элемент, получаем a = b для любых a и b. Если мы работаем в поле с большим числом элементов, значит, обратного элемента для него в этом поле нет. Вот и всё.

А всякие там операции с бесконечно малыми величинами — это уже сосем не деления на нули. Да и с бесконечностями нужно быть осторожнее. Например, если делить на бесконечно малые величины в поле комплексных чисел получается вообще очень сложная картина.

mikhanoid 12 авг 2014 в 20:19

То есть, это я к тому, что бесконечности тут ни при чём. Это чисто алгебраическое свойство. Графики же гипербол могут себя вести похожим образом не только в окрестности нуля. И лучшее объяснение должно быть как раз через 2 = 3 и указание на тот факт, что это не соответствует действительности. Доказательство методом от противного. Классика.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:08

Ну давайте определим операцию обращения числа как псевдообращение матрицы размерности 1х1. И внезапно станет можно, и окажется, что «1/»0 = 0 (кавычки потому, что это не обычное деление).

mikhanoid 13 авг 2014 в 08:23

Эмс… Несколько не понятно. А что такое псевдообращение матриц?

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:25

Я имел ввиду операцию нахождения псевдообратной матрицы.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:06

Всё верно, если ограничиться полем действительных чисел, то действительно нельзя. Но корень из минус единицы успешно выходит за пределы поля действительных чисел, и это (уже) воспринимается как норма. Почему же бесконечности и категории 0/0 нельзя существовать за пределами поля действительных чисел?

mayorovp 13 авг 2014 в 08:34

Потому что для этого надо сначала определить поле, в котором они могут существовать.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:15

Верно. Надеюсь кто-нибудь это сможет сделать) Я вот не могу, но верю, что кто-нибудь сможет. Вы сможете?

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

nitso 12 авг 2014 в 21:09

Как мило замазана гипербола на графике y=0/x :)

1eqinfinity 13 авг 2014 в 05:36

А как аккуратно!

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:11

Ага) Хотел было реставрировать сетку, но решил что «эффект ластика» будет даже интереснее, показывая, мол, вот тут была гипербола 1/x, совсем недалеко от 0/x, только перегиб в другой точке.

celen 12 авг 2014 в 21:37

0^(0^0) включает в себя 0^0, так что { 0^(0^0) } = { 0^0 U 0^(0^0) }.

Группа, порожденная через 0 и операцию степени — единственное, что может представлять какой-то математический интерес во всём этом наблюдении. Хотя я могу ошибаться, может быть, это неинтересная группа.

celen 12 авг 2014 в 22:07

Проблема в том, что в большинстве алгебр над поле действительных чисел, 0^1 = 0^2. Поэтому ваши идеи, не обладая внутренним противоречим, не могут использоваться одновременно с более общепринятой математикой. Поэтому группа по умножению 0^x является одновременно банальной и бесполезной.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:18

Абсурду в комплимент банальность и бесполезность. Однако абсурд Алисы в стране чудес весьма интересен многим, как и деление на ноль. Наверняка математики не сразу придумали как использовать мнимые числа вроде корня из минус единицы одновременно с более общепринятой математикой. Но придумали же в итоге.

celen 13 авг 2014 в 13:41

0^1 = 0
0^2 = 0
=>
0^2 = 0^1

Возражения?

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 13:52

В официальной математике так и есть, возражений нет.
Но в предлагаемой мной модели-фантазии, не претендующей на математическую строгость, 0^1 != 0^2.
Может когда-нибудь кто-нибудь сможет придать этой идее нужное математическое оформление, не вызывающее возражений.

mayorovp 13 авг 2014 в 14:51

Как только кто-то произносит словосочетание «официальная (подставить название науки)», он становится научным фриком…
PS Вам что, мало бесконечно малых величин и гиперреальных чисел? Зачем придумывать еще одно оформление?

celen 13 авг 2014 в 15:29

Понятно. Таким образом, вы изобрели группу чисел, изоморфную абелевой группе (R, +), которую проходят студенты-первокурсники на первом занятии по алгебре. При этом ваша модель полностью оторвана от математической реальности (поскольку ваша «операция степени» не имеет ничего общего с общепринятой). У вас есть какие-либо доводы в пользу того, почему ваша модель может быть интересна детям старше трех лет?

denis-ryzhkov 14 авг 2014 в 08:19

У вас есть какие-либо доводы в пользу того, почему ваша модель может быть интересна детям старше трех лет?

Посмотрите на статистику под постом. Тема интересна людям.

celen 14 авг 2014 в 19:20

Да, я искал объяснение этому феномену. Я думаю, что народ на Хабре просто изголодался по научно-популярной математике, и рад пообсуждать любой когитивный мусор, который обладает внешними признаками любопытности.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:15

Вы не могли бы подробнее объяснить, почему 0^(0^0) включает в себя 0^0, если отталкиваться от принятого ранее 0 != 0^0? Если получится, я бы исправил пост.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:19

Ну как бы это, вы видите 0^0 внутри 0^(0^0)? Результат первого выражения используется во втором.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:22

Ну нет) Множество {1,2,3} используется в выражении ({1,2,3,4,5} пересечение с {4,5}),
при этом {1,2,3} не будет содержаться в результате этого выражения справа.
Точно так же 0^0 не содержится в 0^(0^0), поэтому я и использовал в посте объединение: «0^0 U 0^(0^0)».

merlin-vrn 13 авг 2014 в 09:29

Ах вы про множества говорите, простите, я воспринял вне контекста. Да, тогда согласен, если результат вычисления выражений 0^0 и 0^(0^0) разный.

celen 13 авг 2014 в 13:49

Согласно вашему графику функции y = 0/x, при x=0 y имеет все возможные значения r из R, в том числе r = 0. Вы доказали, что 0/0 = 0^0.
Таким образом, 0^0 существует в пространстве значений 0^(0^0) как набор значений 0^r при r=0 Следовательно, множество значений 0^(0^0) включает в себя множество значений 0^0.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 13:53

Нет-нет, там рядом с графиком отдельно обсуждается, что в нуле точка выколота, сам ноль не входит в график 0/x.

celen 13 авг 2014 в 15:33

А, ну да. Это следует из неравенства 0^1 != 0^2.

tower120 12 авг 2014 в 21:44

ЭЭЭ… А разве деление на ноль не даёт бесконечность? Кажись в GLSL так…

tower120 12 авг 2014 в 21:48

mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html. Хотя может мне стоило статью сначала прочитать? :)))

Sadler 13 авг 2014 в 03:11

Нет, не стоило. По ссылке всё правильно написано, а автор просто бредит.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

tower120 13 авг 2014 в 14:04

А в чем разница?

Делим на ноль — получаем Inf, делим на Inf получаем ноль.

mayorovp 13 авг 2014 в 14:53

Разница в том, что ноль в арифметике и ноль как символ, обозначающий бесконечно малую последовательность — это разные нули, обладающие разными свойствами.

К примеру, первый ноль беззнаковый, а у второго может иметься знак.

merlin-vrn 14 авг 2014 в 05:06

А ещё в том, что «делить на бесконечность» не получится, потому, что бесконечность — не число, и арифметические операции с ней не определены.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:20

Как раньше и не было такого числа, умножив которое само на себя получим минус один)

TakeOver 13 авг 2014 в 12:09

С мнимой единицей — это лишь алгебраическое замыкание поле. Корень многочлена x^2+1. И то это первое время был лишь вопрос философии.
Тут можно пойти и ниже. Взять рациональные числа. У многочлена x^2-2 там нет решения, но можно добавить его в рациональные числа и получить поле Q(sqrt(2)). Тоже самое с мнимой единицей. И вообще, в любом поле — если есть многочлен, у которого нет корня в этом поле — то мы можем расширить поле и в нем уже будет «корень». Все это математически строго обосновано.
Вы же почему-то уходите в какую-то философию, в которой нет нужды в математике. Не в обиду, но почему-то в среде не-математиков тема деления на ноль слишком популярна, среди математиков я подобного не заметил.

naszar 12 авг 2014 в 23:46

А сможете объяснить покороче, и для взрослых? Всегда думал о нуле как о бесконечно малых, но никогда — именно как об абсолютном нуле (в смысле вообще ничего нет). И никогда таких парадоксов (+0=-0; 2 = 0/0 = 3) в голову не приходило. Интересует, как вы вводите ноль и в каком контексте задача 0/0 имеет смысл.

И да, своей дочке буду объяснять именно со стороны бесконечно малых… но может я не прав?

naszar 12 авг 2014 в 23:55

Подумал еще. Но ведь нельзя взять и просто так захотеть поделить на ноль. Или по другому — все делят на ноль, и мне нужно. Просто у вас все примеры из арифметики, а там просто нет такой операции. Просто на ноль делить нельзя.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:22

Понятие нуля моей дочке сообщил не я, а заяц из одного мультика, там как раз яблоки были — 3 яблока, 2, 1, а когда яблок не осталось, заяц спросил — «Нет совсем — это сколько?!» — и ответил — «Когда нет совсем — это ноль». Совсем нет, а не чуть-чуть есть.

toxicdream 13 авг 2014 в 04:47

Люблю число 0.
Благодаря ему у меня есть все!
Яхта, дворец, машина и все, все все.
Правда в нулевом количестве.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 04:50

Давайте так: нельзя просто так взять и поделить. Должен быть какой-то смысл. Математика — это модель мира, а соответственно, должна в какой-то части свойств его повторять.

Припишете числу смысл длины палки, сложение получит смысл приставления одной палки к концу другой. В результате, в модели вы получите сумму чисел, а в природе — более длинную палку. И такая модель в принципе непротиворечива, соответствует наблюдениям (согласуется с правилом треугольника и так далее).

А теперь припишите смысл числам и операции деления, такой, чтобы 1/0 или 0/0 имело смысл в модели и соответствовало какой-нибудь, возможно, выдуманной, реальности, и не противоречило другим наблюдениям с операцией деления в этой модели этой реальности.

Я могу придумать пример вроде чёрной дыры (это 1/0), но вот чтобы возникло 0/0 — не могу. Ещё 1/0 возникает в квантовой электродинамике в виде дельта-функции в выражении пропагатора электрона, то есть, радиус электрона считается равным нулю, а мы интегрируем по всему пространству, дельта-функция как раз как бы говорит нам «электрон существует только в этой точке и больше нигде, поэтому плотность заряда электрона равна нулю везде, кроме этой точки».

Смысл всего этого такой: можно всё, но не всё это нужно. Можно придумать ситуацию, где можно делить на ноль. Но применить это на практике как-то не получается.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:29

Мнимые и комплексные числа сами по себе вроде как тоже далеки от привычной реальности. Тем не менее, используются в весьма прикладных расчётах. В сталеварении, например, если я правильно помню. А бесконечность, мне кажется, имеет очень даже реальную модель — горизонт, хоть на круглой планете, хоть во вселенной в целом. А 0/0 — тоже соответствует понятию из реальности «да где угодно». Может всё-таки найдётся польза от понимания, как взаимодействуют бесконечности, пустота, и конечные количества.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:36

Конечно используются. Но непосредственно в материальной природе наблюдаются только целые положительные. Даже ноль не существует в материальном воплощении, о прочих даже говорить не получится.

Не путайте природу и модель. Не всё, что существует в модели, существует в оригинале. Если мы строим математическую модель природы, мы конечно можем в модели описать то, что в природе невозможно, но это всего лишь следствие того факта, что модель не идеальна и не вполне соответствует оригиналу, применимость её ограничена.

Все мнимые, отрицательные числа и прочие извращения при сравнении с измерениями внезапно приводятся к целым положительным. Например, "-5 м" можно понимать как «5 метров ниже уровня моря» и опа, даже чтобы объяснить смысл знака «минус», мне потребовалось написать положительное число.

А про целые — никто никогда не рассматривает задачи с бесконечной точностью. А измерение с конечной точностью — конечное число цифр из ограниченного набора в записи числа — выбором единиц измерения всегда можно записать как целое число.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

merlin-vrn 13 авг 2014 в 10:28

комплексные числа в материальном мире возникают в квантмехе

Не возникают. Комплексные числа там в виде функций состояния, которые сами по себе не имеют физического смысла. Их нельзя измерить и они «не существуют». Смысл имеет квадрат модуля функции состояния, <ψ|ψ> который всегда вещественный и положительный, и который имеет смысл плотности вероятности обнаружения частицы в пространстве (также плотности заряда, если это заряженная частица).

merlin-vrn 13 авг 2014 в 10:37

Ой простите, я загнался. Физический смысл имеет квадрат модуля функции состояния, а то, что я написал — это интеграл от этого квадрата модуля. Выражение со скобками содержит интегрирование, которое в данном случае лишнее. Интеграл нужно убрать, конечно же.

Никакие измерения даже в квантовой физике не дадут вам в результате ничего, кроме вещественного и положительного числа. А то, что происходит там «внутри» — это модель, а не измерения. Внутри модели может быть что угодно, я об этом и говорю. Важно только, чтобы внешне она соответствовала оригиналу.

fori 15 авг 2014 в 12:38

Я вот тоже не совсем понимаю где кончается модель и начинается реальность. Если я попрошу Вас показать число 3, Вы мне покажите 3 пальца или 3 яблока или еще чего нибудь три… Отдельно от предметов Вы не покажите число три. Выходит число три — это такая же математическая модель?!!!

merlin-vrn 15 авг 2014 в 12:45

Число — в любом случае модель. Треугольник — тоже модель (например, традиционно он не имеет толщины), но если вырезать из бумаги «треугольник», вы увидите три угла. Но хотя бы он будет материальным выражением числа «три» (одним из). А сделать n-угольник с нецелым числом углов не получится, хотя виртуально рассматривать такие монстры можно.

Два с половиной яблока плохо выражают модель нецелого числа, «это ещё с какой стороны посмотреть», то есть, материально — это три (независимых объекта). Ну и вообще нецелые числа трудно себе представить материально. Если вам принесли две спички и пол-спички, вы интуитивно так и скажете, а не будете говорить «две с половиной».

С рациональными понятно. Иррациональные, но алгебраические числа: традиционный пример — sqrt(2) как диагональ квадрата. Очень наглядно, да? Совершенно очевидно, невооружённым взглядом, что диагональ не состоит в рациональном соотношении со стороной. А если вздумаем мерить линейкой (вполне себе материальное выражение длины), то получим ограниченную точность, и значит — целое число делений каждого типа. Иррационального не увидим.

Ещё хуже — с неалгебраическими (вещественными) числами. Тут даже пример не привести.

DmitriyN 15 авг 2014 в 12:53

Во-первых, у вырезанного из бумаги треугольника не получится точно определить углы. Во-вторых, углы у вырезанной из бумаги фигуры и, скажем, спички — это не представления натуральных чисел. Чтобы это было представлением, вам их надо научиться складывать. Попытайтесь предложить какой-нибудь непротиворечивый способ сложить спички и стороны треугольника и вы увидите, что для того, чтобы это сделать вам понадобятся понятия эквивалентности и фактора, которые уже существенно математические. Если вы их принимаете, то это сразу вытряхивает в нашу вселенную всю математику. Если не принимаете, то ни о каких объективных натуральных числах говорить нельзя.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 13:00

Никто не требует определять «точно». Поэтому, кстати, никаких нецелых чисел — проблема точности определения «на глаз».

А что касается эквивалентности — да, согласен. Слышал, что некоторые индейские (в смысле, американские) языки не имеют в себе абстрактных понятий, например, слова «дерево». Нельзя спросить «сколько деревьев» на том холме. Если там темно и Зоркий Орёл не смог определить тип растений, он просто их не назовёт, хотя и разглядел: мол, там было три сосны, и два клёна, а что ещё — не понял. А вы зато видите там восемь силуэтов, и легко понимаете, что это — явно деревья, хотя и непонятно, какие.

Вообще мышление связано с языком. Если допустить в этот язык математику, весь мир станет «арифметичным». Но от этого в нём не появятся материальные выражения комлексных чисел или тензоров n-го ранга — эти понятия останутся абстракными в любом случае.

DmitriyN 15 авг 2014 в 13:07

На счет последнего тезиса можно очень долго спорить, но это довольно бессмысленное занятие. Например, можно заметить, что электромагнитные поля натуральными числами не описываются и никакой арифметики с ними связать нельзя. Однако от этого они не перестают существовать.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 13:12

Не всё, что существует, может являться наглядным объектом. Электромагнитное поле, нейтронная звезда и молекула — штуки абстрактные, поскольку органами чувств не ощущаются. (Ладно, с полем я чуток слукавил — свет-то мы видим.) Но от этого они не перестают существовать (и мы плавно переходим к философии — привет, Рассел).

DmitriyN 15 авг 2014 в 13:20

Не совсем понимаю, зачем здесь наглядность — очень странно было бы утверждать, что описания требует только то, что мы видим.

Ну и опять же — граница наглядности непонятно где проходит. Вы можете видеть стену в темной пещере своими глазами потому что зажгли фонарь, вы можете ее ощупывать руками в полной темноте, вы можете тыкать в нее палкой в полной темноте или использовать ультразвуковой дальномер. Действия в цепочке становятся все менее наглядными, но от этого стена существовать не перестает.

Мой тезис в том, что есть куча объектов, которые никаким образом нельзя задать натуральными числами. Вы можете их спроецировать в натуральные числа, но это будет крайне неестественной операцией.

fori 16 авг 2014 в 06:24

И свет и нейтронная звезда и молекула и еще множество вполне реальных объектов существуют вне зависимости от нашего знания и нашего представления о них и нашей способности их наблюдать.

fori 16 авг 2014 в 06:06

Наука требует точных определений. Вы утверждаете, что целые числа можно определить на глаз, а вот дробные на глаз уже не определяются? Непонятно и что Вы ожидаете от материального выражения комплексного числа? Чтобы его можно было представить в яблоках? Вы же сами признали, что число само по себе — это модель, а значит некоторая абстракция отделенная от реальности. Натуральное число это абстракция над множеством эквивалентных друг другу абстрактных элементов, а в реальном мире каждый элемент уникален и требуется абстрагироваться от одних признаков и сосредоточиться на других. Одна абстракция базируется над другой. Натуральные числа определяются над множеством эквивалентных элементов, нулевой элемент по сложению и отрицательные дополняют абстракцию натуральных до абстракции целых, абстракция дроби определяется как отношения между целыми числами и так далее каждая более сложная абстракция основывается на простой, но оперирует при этом уже более сложным классом элементов. Поэтому ничего удивительного, что комплексные числа нельзя выразить в яблоках.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 12:54

Пока писал, никак не мог вспомнить как они называются. Трансцендентные. Не удастся вам так просто назвать трансцендентное число, кроме e. Вы будете называть только трансцендентные функции от рациональных (а то и целых) аргументов. Прикол в том, что хотя их бесконечно много, континуум — то есть, много больше, чем даже алгебраических, которых счётное множество — записать (назвать) такие числа невозможно в принципе, только выражения, к ним приводящие. Да, ln(2) трансцендентно, но чему равно? Ответ — «примерно» и далее следует какое-то близкое к точному значению рациональное число.

Ну, можно представлять себе векторы. До трёх измерений. Больше измерений представить не удаётся. В рамках векторов можно понимать комплексные числа, но «мнимость» их мнимой части не осознаётся совершенно никак.

Любые более сложные объекты невозможно себе даже преставить в какой-то конкретной форме. Они понимаются исключительно в абстрактном виде, как записываются в виде выражений. Ландау про это так и говорил: мы сейчас можем понимать и осмыслять такие вещи, которые не можем себе представить.

fori 15 авг 2014 в 15:14

Ну так вывод из всего написанного напрашивается такой: любое число — это абстракция, натуральные числа — простая абстракция, трансцендентные — относительно более сложная. Проблем в названии тоже нет, назовем число Пи, и сразу будет понятно что это, а вот его перевод в десятичное представление или в обыкновенную дробь — уже отдельная проблема.

mayorovp 13 авг 2014 в 08:40

Может всё-таки найдётся польза от понимания, как взаимодействуют бесконечности, пустота, и конечные количества.

Их взаимодействие сильно различается в зависимости от их природы. В множествах бесконечность плюс 1 даст бесконечность, причем того же порядка. Для трансфинитных чисел бесконечность плюс 1 даст бесконечность плюс 1. Для пределов бесконечность плюс 1 дает такую же бесконечность, но если вычесть из результата первое слагаемое обратно — получится 1.

Все эти области различаются допустимыми операциями над числами. А если слепить все это в одно целое — то не получится ничего, кроме парадоксов и ошибок.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:46

Для трансфинитных чисел бесконечность плюс 1 даст бесконечность плюс 1

Ну, это не бесконечность и обозначается по-другому имено для того, чтобы лишний раз не называли бесконечностью.

binariti 13 авг 2014 в 05:34

Прежде чем читать статью напишу это, чтобы вы не могли повлиять на мое мнение

Кратко:
На ноль делить нельзя потому, что деление это следствие умножения. Ну то есть производя деление вы подразумеваете, что что-то было на что-то умножено. В то же время умножение на ноль сильно отличается от умножения на что-то другое, поскольку всегда приводит к уничтожению умножаемого числа, а уничтожение происходит безвозвратно, прошлые качества числа теряются. То есть ноль для умножения это как числовая черная дыра — что бы в нее не попало перестает существовать. В этом смысле деление на ноль означает взрыв черной дыры: вы пытаетесь извлечь из черной дыры все, что там находится одновременно. Все эти числа, которые человечество за всю историю своего существования пыталось умножать на ноль, все они находятся там, томятся в заточении и копят злобу на человечество. Теперь вы пытаетесь извлечь их оттуда. Все, одновременно. Поэтому, чтобы не разрушить вселенную и не призвать все это Зло лучше на ноль не делить.

Лирика:
Если разбираться во всем по порядку, то во вселенной существует только один тип объекта — единица, но этих объектов неограниченное множество. А так же существуют операции над этим объектом. Первая это сложение — вы берете две единицы и ставите их рядом, получая в хаосе единиц уголок порядка — две единицы теперь стоят вместе и это двойка. Тем не менее во вселенной пока ничего не изменилось — все эти бесконечные единицы по прежнему там, просто они немного более упорядочены. (вычитание опустим, чтобы не углубляться)

В этой воображаемой вселенной по идее уже не может существовать других операций, но тут человек придумывает умножение. Что такое умножение? В нашей вселенной, состоящей только из единиц это как добавление цвета: магическое превращение всех белых единиц в красные. То есть вот было у вас две белых единицы, они стояли вместе, рядышком и были двойкой, т.е. двумя единицами. Теперь вы производите умножение на два и вселенная меняется: все белые единицы становятся красными (и каждая красная гордо именует себя четверкой), а те две рядом стоящие единицы вновь находятся во всеобщем хаосе. Любая красная единица в этой вселенной теперь это четверка. Но для вселенной это просто красная единица, чего бы она там о себе ни возомнила. Умножая мы меняем цветовое качество единиц, но сами единицы остаются теми же, что и были.

Теперь деление. Деление это обратное преобразование красных единиц в белые или же красных единиц в какие то другие цветовые качества. То есть по сути это то же самое, что и умножение — изменение цвета, но лишь по другому закону. Есть единицы, которые мы красим в «дробные цвета», есть единицы, которые окрашены в «целые цвета», но всё это по прежнему единицы, они лишь разного качества.

Теперь что такое умножение на ноль? Это уничтожение единиц! Жестокая операция, которая существует в единственном виде. Единицы становятся черными и пропадают из вселенной цветных единиц. Теперь у них есть своя вселенная, где всех гребут под одну гребенку — там все имеют черный цвет. При этом не важно, каких цветов были единицы до этого, белые они были или красные, они все станут черными. Умножение на ноль разрушает всю цветовую гармонию цветового многообразия-умножения. Умножение на ноль это совсем не то, что умножение на что-то еще: простое умножение это жизнь, а умножение на ноль это смерть. Жизнь единиц разнообразна, они постоянно совершают великие дела-умножения и поэтому меняют свои цвета. Но умножение на ноль жестоко — какие бы великие дела единицы не совершали прежде, умножение на ноль делает все это великое прошлое бессмысленным, оно прерывает нить причинно-следственных связей разноцветных единиц. Теперь у них нет будущего — что бы ни происходило с ними после умножения на ноль, не изменит их цвета, теперь они всегда останутся черными.

Именно жестокость этого мира, т.е. умножение на ноль, делает невозможным обратный шаг — деление на ноль. Поделить на ноль это как вернуть к жизни мертвого. Единственный шанс для всех этих несчастных единиц избежать своей судьбы и сбросить ярмо умножения на ноль это сделать возможным деление на ноль, но этого невозможно сделать, поскольку деление на ноль и умножение на ноль это как инь и янь, как свет и тень — если существует умножение на ноль, то деление на ноль не может существовать. Если мы хотим, чтобы существовало деление на ноль, то мы должны будем отказаться от умножения на ноль. Вот и получается, что равно как отказ от умножения на ноль, так и разрешение деления на ноль приведет к тому, что любые операции с нулем скорее всего вообще будут запрещены. А ведь вся каша заварилась не из за деления или умножения, а из за нуля! Это он во всем виноват, его необходимо изгнать!
Я думаю, это единственный шанс для единиц сбросить ярмо этого жестокого мира и попасть в другой, лучший мир, где нет ни тьмы ни зла, а есть лишь бесконечное счастье, то есть бескрайняя радуга цветных умножений, вечная и счастливая жизнь!

Allen 13 авг 2014 в 06:26

Какая ещё табуированная тема? Первый курс высшей математики. Пределы, степени бесконечности, деление и умножение бесконечностей и нулей. Всё прекрасно вписывается и всё в учебниках есть. Учиться надо, а не фантазировать )

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:37

И я там был, пытался этот мёд пить, по усам текло, да как видно в голову не так много и попало. Насколько я помню, никто там в чистом виде нули и бесконечности не делит, всегда есть оговорки — предел 1/x при x стремящемся к нулю с положительной стороны равен плюс бесконечности, и т.д. А я предлагаю пофантазировать про именно чистые, беззнаковые, и не стремящиеся, а уже прилетевшие в ноль или в бесконечность понятия. Если же матан уже так сильно ушёл вперёд что и вправду смело делит на чистый ноль — прошу ссылку, почитаю.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:39

Потому, что бесконечность — не число, а на ноль никто смело не делит. Вот тут есть про 1/0: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0

Allen 13 авг 2014 в 09:16

Гуглить типы неопределённостей, раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя.

Математика не рассматривает уже прилетевшие бесконечности, потому что мы не можем увидеть установившегося значения в таком случае, его возможно просто не существует. Математика рассматривает этот процесс как бы в динамике (как функцию) и сравнивает две бесконечности как скорости стремления двух разных функций в бесконечность. Вводится понятие бесконечностей высшего и низшего порядка. Ноль же рассматривается как бесконечно малая функция, там всё то же самое. Неопределённость деления на ноль раскрывается с учётом того с какой стороны и с какой скоростью функция к нулю стремилась, а также куда и с какой скоростью стремилась функция которую на ноль делят или умножают. Сам же ноль никогда не устанавливается ни в математике, ни в природе. Как и бесконечность.

merlin-vrn 15 авг 2014 в 06:09

Математика не рассматривает уже прилетевшие бесконечности

Рассматривает, только не называет их бесконечностями. Гуглите трансфинитные числа.

Другое дело, что я не знаю ничего про практическое применение такого аппарата.

Biblusha 13 авг 2014 в 07:08

Лучше расскажите как создавался наш мир:
Сначало не было ничего — 0
Потому ничего, возвели в степени ничего, т.е. 0^0
А любое число в 0-й степени равно 1, т.к. 0 ^ 0 = 1, это был Б-г.
Потом он поделил себя на ничего 1 / 0 = ∞
И начался такой хаос, который мы до сих пор разгребаем.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:39

Нравится) Хоть я и не согласен, что любое число в 0-й степени равно 1, но всё равно нравится. Кто знает, может так всё и было)

woobinda 13 авг 2014 в 17:44

Ура! С любопытством ждал появления в комментариях какого-то отголоска креационизма, так как сделать сделать такой вывод крайне соблазнительно после «результат деления на ноль это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота»!

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 07:23

По сути операция деления b/a — это решение уравнения a*x = b. Делить b != 0 на ноль нельзя, поскольку в этом случае у уравнения нет решений, а вот когда b равно 0, уравнение имеет бесконечное число решений. Поэтому, чтобы операция деления всегда давала однозначный результат, запретили и 0/0. Подобную аксиоматику я видел в каком-то серьезном учебнике по алгебре для высшей школы. Вспомню — напишу автора.

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 08:42

Чётко написано. Так всё и было, я думаю. Запретили заодно и 0/0, а то опять начнётся — земля не плоская… жечь их всех таких, и запрещать.
Вот я и пытаюсь обратить внимание, что не такая земля уж и плоская…

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 08:46

Денис, смотрите ниже мой комментарий habrahabr.ru/post/233103/#comment_7862147 Дело не в ущемлении кого-то или чего-то.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 07:27

Тут не философия, тут аксиоматика операций над числами.

vp_arth 13 авг 2014 в 07:34

Дело тут в том, что не нравится нам подобная аксиоматика, это как «Вот дверь, в неё входить нельзя. Никому и никогда. Это закон.»

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 07:41

Входить можно, но это будет другая алгебра (если мы введем деление на ноль), и надо тогда внимательно смотреть, какие классические теоремы нарушаются. Скорее всего, новая теория будет никому не нужна.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 07:47

Вот именно. Есть алгебры, где определяется деление на нулевой элемент. И результатов такого деления может быть много, и так далее. Но мы-то об арифметике.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 08:07

Так алгебра — это расширение арифметики.

merlin-vrn 13 авг 2014 в 08:27

Ну тогда ответ на вопрос топика вообще «подрастёшь — узнаешь». В арифметике никак на ноль делить нельзя, можно расширть арифметику и тут уже как повезёт, может быть, станет можно.

TakeOver 13 авг 2014 в 12:27

А вы математикой занимаетесь, чтобы вам не нравилась такая аксиоматика?
Вот вам зачем деление на ноль? Какой вам от этого толк? Эстетический? А почти всем математикам это не нужно.
В гиперреальных числах тоже на ноль не делят, делят на специальные «числа», которые мы «трактуем как бесконечно малые». И все.
Что более забавно, это мы так определили всю систему, что делить на ноль нельзя. Это не то что закон — это факт.
В анализе тоже не делят на ноль, все примеры с пределами — это не деление на ноль, это именно что пределы.
Более того, кольцо, где у нуля есть обратный — состоит из одного элемента — из нуля и единица совпадает с нулем.

mayorovp 13 авг 2014 в 12:30

Самое смешное, что автор тоже не на ноль делит — хотя бы потому что ноль один, а у него есть 0^1 и 0^2.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 13:05

TakeOver, поддерживаю.

Xenkok 13 авг 2014 в 08:08

Отличня статья. Хочу ещё)
И книг тут насоветовали хороших.

mayorovp 13 авг 2014 в 08:53

Книг насоветовали отличных! А статья ужасная, хочу нормальную)

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 09:28

Я тоже)
Моя статья и вправду безумная, и не скрывает, что это всё абсурд и фантазии.
С удовольствием прочитаю нормальную статью, которая впишется в существующие законы математики. Напишите?

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 10:54

Рекомендую книгу В.А. Успенского «Что такое нестандартный анализ?».

denis-ryzhkov 13 авг 2014 в 10:56

Спасибо, прочитаю.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 11:06

Владимир Андреевич Успенский — известный математик, ученик Андрея Николаевича Колмогорова. По нестандартному анализу у Успенского еще выходила статья в научно-популярном журнале «Наука и жизнь» (1984, №1).

PavelSandovin 13 авг 2014 в 16:57

Статья получилась занятной, но зря вы запутываете людей фантазиями :) Вся эта метафизика и рассуждения о том, как вольно трактуют деление на ноль калькуляторы и джава скрипты, только мешает пониманию сути вопроса. А суть его в том, что обратный элемент для поглощающего элемента по умножению может существовать только в тривиальном числовом кольце.

В самом деле, допустим, что на ноль можно делить. Тогда существует число, обратное нулю, обозначим его omega = 1/0. Поскольку оно обратно нулю, то верно 0*omega = 1. Но с другой стороны, для любого x 0*x = 0. Следовательно, 0*omega = 0. В итоге, имеем 0 = 1; а далее уже нетрудно вывести, что все прочие числа равны между собой и равны нулю. А это не так, если мы говорим про рациональные или действительные («обычные») числа.

Вот так я объяснил своему десятилетнему сыну этот вопрос, когда мы начали заниматься арифметикой по книге Диофанта. Когда сын подрастет и дорастет до абстрактой алгебры, я расскажу ему о тривиальном кольце {0}, состоящем из одного нуля. Это то самое числовое кольцо, где можно делить на ноль и все числа равны между собой :)

К сожалению, мне в детстве никто так и не рассказал, почему на ноль делить нельзя. Все открещивались и говорили, что так не принято. И я тоже долгое время глядел на график гиперболы, и наивно думал, что 1/0 = infinity. Все встало на свои места, когда мне было лет 13, и я начал самостоятельно изучать математическую логику и теорию пределов. Изложенное выше доказательство пришло на ум само собой.

DmitriyN 13 авг 2014 в 17:41

Вообще говоря, можно определить алгебраическую структуру в которой можно делить на ноль без проблем (референс), но ценность этого довольно сомнительна.

Мне несколько непонятны утверждения выше, основная мысль которых заключается в том, что существует какая-то нерешенная проблема в математике, заключающаяся в делении на ноль. Конечно же никаких проблем такого рода не существует.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 18:49

По ходу дела, в этой работе числовое поле расширяется добавлением в него двух элементов 1/0 и 0/0. Спасибо за ссылку, надо на досуге поизучать новые теории :)

PavelSandovin 13 авг 2014 в 19:00

Да. Нерешенной проблемы в делении на ноль в математике не существует. Есть проблема в методике. Есть проблема в квалификации учителей и преподавателей, когда они не могут внятно объяснить почему нельзя делить на ноль.

Про пополнения числовых колец до числовых «колес» тема любопытная. Но эта работа (если, допустим, в ней нет никаких ошибок) все равно ничего не меняет в классической арифметике.

pchelintsev_an 13 авг 2014 в 19:04

Согласен. Абсолютно ничего не меняет. Как я уже писал, практическое применение такое пополнение вряд ли будет иметь.

denis-ryzhkov 14 авг 2014 в 08:36

PavelSandovin, спасибо за этот комментарий. Вы объяснили доступно и математически точно. Но мне кажется, мои фантазии в духе «а что, если» скорее полезны, чем вредны, ведь они добавляют желания выйти за границы классической арифметики и изучать дальше.

PavelSandovin 14 авг 2014 в 15:44

Конечно, фантазии полезны. Но они бывают разными. Например, когда я начал изучать геометрию, мне не давал покоя следующий парадокс: отрезок имеет длину, хотя ни одна из составляющих его точек длины не имеет.

Тогда я придумал несколько аксиом, как я назвал их тогда, «многоразмерно-точечной геометрии», где точки имели размеры.

Эти аксиомы я записал в конце тетради. Каково было разочарование, когда после очередной проверки тетрадей, я обнаружил под своими записками рецензию учительницы, в которой доказывалось, что мои построения противоречивы, т.е. не принадлежат математике.

К счастью, это не отбило желание изучать дальше — наоборот, я взялся за ум и перестал получать по геометрии тройки :)

С другой стороны, есть аксиома о параллельных Евклида и Лобачевского, есть теория алгебраических расширений — это тоже когда-то были фантазии, но они математически безупречны.

Twin 14 авг 2014 в 20:41

А мне кажется всё дело в том, что нуля в реальности нет. Он есть только в математике и создает там свои проблемы. Ровно также в реальности нет и (актуальных) бесконечных множеств, они только в абстракции.
Я это к тому, что если в реальности нуля нет, то и насрать, что он там творит в математике. И если на него делить нельзя, это будет только проблемой теории, а описать реальность — зачем и нужны науки — не поможет.

PavelSandovin 15 авг 2014 в 04:02

Когда в кошельке остается 0 рублей, а до новой зарплаты — неделя, или когда в день выдачи зарплаты работодатель заявляет, что у него кассовый разрыв и на счетах по нулям — реальность нуля ощущается в полной мере.

toxicdream 15 авг 2014 в 05:27

В любом кошельке есть 0 слонов, 0 бетонных стен, 0 чего угодно. Истину глаголю )
0 — все же математическая абстракция, имеющая к реальности «странное» отношения…

merlin-vrn 15 авг 2014 в 06:08

В реальности есть только положительные целые числа. Тут где-то есть мой комментарий с пояснением.

DmitriyN 15 авг 2014 в 10:46

Как только вы сможете показать реально существующее в природе целое положительное число, вам тут же покажут и рациональные и комплексные над Q и трансфиниты и, может быть, даже действительные числа.

Вы, либо, до конца идите, говоря, что чисел вообще нет, либо принимайте сразу весь багаж.

woobinda 13 авг 2014 в 17:46

Интересно, работают ли эти рассуждения как снотворное или сильно будет зависеть от интонации?

Twin 14 авг 2014 в 14:52

Дайте дочке посмотреть как физматематик Семихатов размышляет о связи математики с окружающим миром!

sup 15 авг 2014 в 06:39

Спорное высказывание насчёт отрицательных чисел в природе. Всё-таки отрицательные числа это абстракция для удобства расчётов, в природе всё выражено количественно.

denis-ryzhkov 15 авг 2014 в 07:22

Список к прочтению на основе комментариев к этой статье:

Для детей и взрослых:

«Автоматическая Алиса» Джеффа Нуна
«А почему» publ.lib.ru/ARCHIVES/A/%27%27A_pochemu%27%27/_%27%27A_pochemu%27%27.html
«Почемучка»
«Путешествия по Карликании и Аль-Джебре»
«Приключения рассеянного магистра»
«Занимательная физика, математика,..» Якова Перельмана
«Cooking for Geeks»

Для взрослых:

гиперреальные числа
трансфинитные числа
предельный переход
en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf
mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html
www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/
Псевдообратная матрица ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0
Дельта-функция Дирака ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
Физматематик Семихатов размышляет о связи математики с окружающим миром habrahabr.ru/post/233103/#comment_7868177
«Что такое нестандартный анализ?» В.А. Успенского
«Белый Свет» Руди Рюкера
«Флатландия»

Большое спасибо всем, кто дал эти рекоммендации.
Если я что-то пропустил, дайте знать, пожалуйста.

PavelSandovin 16 авг 2014 в 21:44

Книги, которых не было в комментариях:

— Диофант Александрийский «Арифметика и книга о многоугольных числах».

Хотя она далека от обсуждавшейся темы, считаю, что понять красоту арифметики без знакомства с этой великой книгой нельзя.

Далее, чтобы понять как устроены числа (и почему именно так), рекомендую:

— И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.
— Е.Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша.

Также можно почитать книгу С. Фефермана «Числовые системы», но она местами достаточно сложна; также в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

Также рекомендую брошюру А.А. Кириллова «Что такое число?» (1993) см. http://www.math.ru/lib/book/djvu/chislo.djvu — но она на подготовленного читателя.

Прекрасна популярная книга «Математические беседы» Дынкина и Успенского — в ней масса информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа, причем материал рассчитан на школьников.

Из современной популярной литературы для взрослых и детей рекомендую 40-томную серию «Мир математики» (это перевод www.everythingismathematical.com/, русское издание осуществляет издательство DeAgostini), сейчас книжки из этой серии продаются в газетных киосках. Серия очень хороша, несмотря на то, что в некоторых местах встречаются досадные опечатки и фактические ошибки (например, Архимеда называют Аристотелем — возможно, это проблемы перевода).

vasyanik 15 авг 2014 в 18:38

Мне кажется для дочки будет гораздо понятнее вот это объяснение:
avva.livejournal.com/2697498.html

denis-ryzhkov 16 авг 2014 в 06:00

Если цель — подтвердить, что «на ноль делить нельзя», то да.
У меня же была другая цель — разобраться, почему мнения расходятся.
Заодно удалось получить интересный список к прочтению и мотивацию изучать математику глубже в этом направлении.

Jecky 19 авг 2014 в 09:11

Так это очень похоже на статью в еще бумажной компьютерре про алгебру бесконечностей.

denis-ryzhkov 2 сен 2014 в 07:41

Спасибо, я разыскал эту статью: old.computerra.ru/think/332773/ — «Мерцающий компьютер бесконечности» про арифметику Ярослава Сергеева, разработанную в полном соответствии с научными стандартами. Особенно мне понравился фрагмент про мотивацию:

Поясняя мотивы для разработки своей системы, Сергеев приводит пример арифметики, используемой одним из живущих в дельте Амазонки племен. Индейцы племени Пираха (Pirahг) считают так: один, два, много. Для них и 1 + 2 = много, и 2 + 2 = много. Что такое 3 или 4, они не представляют. Сергеев уверен, что этот примитивный способ счета очень важен для нас, потому что дает отличную аналогию с современным понятием бесконечности. Действительно, в системе счета Пираха операции много + 1 и много + 2 дают один и тот же результат: много. Нечто похожее мы имеем и в современной математике: ∞ + 1 = ∞ и ∞ + 2 = ∞. Это сравнение наводит на следующую простую мысль: как индейцы Пираха не могут различить числа 3, 4, 5 и т. д. из-за неразвитости их системы записи конечных чисел, так и мы не можем различить бесконечные числа из-за неразвитости наших способов представления бесконечности. Именно поэтому возникают проблемы при вычислениях, связанных с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами: невозможность их представления в памяти компьютера, необходимость введения понятия предела, неопределенные формы типа ∞ — ∞ и т. д., заключает Сергеев.

mayorovp 2 сен 2014 в 08:27

Еще с самого начала я понял, что ничего нового в той теории нет:

Ярослав Сергеев придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.

Зачем нужна особая конструкция компьютера, если достаточно библиотеки?

Но окончательно все стало ясно после вот этого фрагмента:

Во всяком случае, парадокс Банаха-Тарского в теории Сергеева не возникает — дело в том, что точки, из которых состоят шары, в данном случае можно просто пересчитать, выразив их количество соответствующей записью вида (1), и это не позволяет выполнять трюки с производством предметов из ничего.

radomirov 28 сен 2014 в 17:45

Статья шикарная. Как говорится «сам уже понял»…
Можно спокойно в школьную программу добавлять.

Zergboy 7 сен 2015 в 21:23

Да…
Как говорится, мне, пожалуйста, то же самое, чо пьют за соседним столиком :)
Больше всего понравилось, что 0/0 = наша реальность (или конечный мир).

— Потому и трудно понять ад, что понимать почти нечего, в прямом смысле слова. Но и на земле так бывает.
Клайв Стейплз Льюис «Великий развод»

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий