Comments 79
Интересно, но… Все, что завязано на конкретную систему счисления, так сказать "безблагодатно"))) или, как бы сказал великий Пол Эрдош, not from the BOOK
Как правило (не не всегда) такие свойства дают бесконечные подмножества (см например en.m.wikipedia.org/wiki/Schinzel%27s_hypothesis_H или числа Мерсена.) — пока, все это гипотезы
Куда интереснее:
Доказать, что придуманное вами подмножество бесконечное
Или наоборот, придумать нетривиальное свойство, которым обладают лишь конечное количество простых чисел
Но повторюсь — я полностью с вами согласен, самое интересное это привести доказательства. При чем для меня интересно не сколько доказать что это множество бесконечно, признаюсь честно — если удастся доказать что оно конечно, это для меня будет выглядеть даже более интересным!
Работа просто восхитительная! Жаль, я никак не могу помочь автору, Но я прекрасно понимаю его поиски и поиск единомышленников. Самое печальное, что как правило, вначале долго приходится идти одному.
Формула для вычисления систем счисления, образующих связи с оригинальной системой счисления для заданного простого числа
Связи систем счисления очень простые. Систем счисления больших, чем число N просто не нужно привлекать. Всё, что больше N вычисляется на основе систем счисления до N.
В вашем примере для 7-ки полезных систем счисления 5: 2,3,4,5,6. Из них 3 и 5 с полным периодом (равным N-1). Соответственно, системы счисления с максимальной длинной циклических чисел будут такие: k*N+3 и k*N+5, где k — целое положительное число.
Конкрентно для системы счисления 10 любые варианты циклических чисел легко вычисляются при наличии разложения числа N-1 на множители. Это же аналогично и для любой другой системы счисления, разумеется, но люди привыкли к десятичной, поэтому и вы тоже выбрали её.
Ваше направление исследует последствия деления на N для числа, которое является результатом операции деления. Это одно из направлений, в котром следует развивать наше понимание делимости. Но общее направление, включающее и ваше, включает дополнительно исследование остатков, получающихся при делении. Вариации на тему остатков могут быть довольно разнообразынми. Вариации на вашу тему, как мы видим, так же приводят к целому ряду направлений, и скорее всего, приведут к ещё большему количеству после более глубокого изучения, включая изучение уже существующих работ других авторов.
Вариант с остатками поверхностно описан здесь.
С точки зрения теории чисел остатки — это конечные поля и все их свойства. Эти свойства и дают мне основание утверждать всё то, что написано выше. Ваше направление движется случайным образом, поэтому в нём присутствуют и поля и ряды и что-то ещё. Для более качественного понимания темы вам нужно глубже понять ряды остатков (поля в терминах теории чисел). А в направлении чисел-результатов деления я и сам не знаю, что вам нужно понять, поскольку не занимался этим направлением. Но знаю одно — все показанные направления суть одно и то же, но с разных сторон. Поэтому сторону с остатками понимать нужно.
Подобные занятия увлекают, поэтому думаю, что вам будет интересно копать глубже. Результат копания может быть весьма и весьма фундаментально ценным. Хотя гарантий никто не даёт, потому что свойства числел могут довольно долго издеваться над исследователем, который выбрал не то направление исследования. А какое из них «то» никто не знает.
Как вы верно ответили мое направление движется случайным образом, долгое время для меня это был перечень тем, только сегодня я разделил их на отдельные статьи, общее количество которых насчитывает 9, и данная работа охватила только 2 из них. Я очень благодарен вам за предложение мне направления которое можно дальше изучать! Признаться честно — вы первый человек кто даёт мне чёткое направление в котором я могу продолжить исследование, спасибо вам большое!
Наконец-то опубликовал :) Поздравляю! :)
Есть одно свойство, которое я не описал здесь подробно, только приложил картинку (о точках вхождения в сумму элементов геометрической прогрессии): там была найдена структура чем-то напоминавшая множество цифр числа пи, т.е. бесконечная последовательность без явной закономерности, но с ограниченным количеством уникальных элементов. Правда она была немного интересней чем просто цифры в числе пи, так как образовывала последовательность из 7 музыкальных ладов (да я знаю это звучит странно, но там были структурно именно европейские музыкальные лады, вроде ионийского\миксолидийского\дорийского\локрийского) + ещё одного «особого». И потом это образовывало 8 групп таких последовательностей. И они образовывали 8 над-групп. Дальше я сдался считать, потому что эти расчёты были сделаны на очень больших целых числах, последние члены геометрической прогрессии преобразованные в целые числа занимали до миллиона цифр. Т.е. это вычислимая закономерность, которую мне не удалось привести к закрытой форме, и вероятно это невозможно, если это так — тогда следующий вывод верен:
Я предполагаю что это свойство, как и генерацию крупных простых чисел можно было бы использовать в криптографии.
Ну и как бы это не было смешно звучащим — это приложимо к музыке, так как последовательность гамм которые образуются модулируются между собой очень гармонично) В одной из следующих статей я хочу это осветить, и приложить сонификации, не уверен что это будет по настоящему полезно, но по крайней мере интересно :)
Мне почему-то интуитивно и наивно кажется, что вы подвезли класс слабых чисел для использования в криптографии на эпилептических кривульках. Но я, к сожалению, не настоящий сварщик, поэтому могу ляпнуть фигню :(
По поводу публикации на arxiv.org. Мне кажется, что можно включить в свой текст ссылки на работы тех авторов, которых потом попробовать попросить дать endorcement. Очень возможно, что за такое они с радостью согласятся. ;-))
Насчет эндорсмента: я бы искал на архиве просто по категории и пробовал аспирантов/постдоков — от них гораздо выше шанс получить эндорсмент (просто они гораздо реже получают такие запросы).
Я сейчас заканчиваю код который необходим для того чтобы опубликовать правильно последовательности простых чисел на OEIS. За одно — расширю немного эту статью, чтобы привести примеры из других систем счисления и для других простых чисел, и после этого займусь повторным поиском эндорсера, думаю с таким подходом это удастся сделать сравнительно быстро :)
Можно попробовать зайти через какую-нибудь конференцию (это в любом случае полезно) — сейчас в онлайн формате гораздо проще попасть на специальную. Там можно и обсудить, и найти спецов, которые подскажут по теме и заэндорсят. Еще можно попробовать на реддит прийти — там в тематических сабреддитах иногда очень неглупые обсуждения получаются.
Спасибо, это всё очень ценные советы, я обязательно ими воспользовались!
Только что закончил писать код: сделал консольную утилиту которая способна находить циклические простые числа от заданного циклического числа, вместо full reptend prime как было раньше + мелочи нужные для OEIS, которые впрочем тоже открывают немного дополнительных закономерностей)
Завтра после рефакторинга опубликую код в отдельной репе на github, и как только дополню update'ом эту статью и выложу пару последовательностей на OEIS — займусь применением всех советов из комментариев на практике, думаю в этот раз результат действительно не заставит себя ждать долго :)
Ну и самое главное, я получил эндорсмент от очень хорошего человека, имеющего серьёзные достижения в области теории чисел, на этом можно сказать основная цель этой публикации достигнута!
Тоже увлекался перестановками чисел 1/7 (0.1428571), 2/7 (...), 6/7. Долго думал, что это за магия, потом понял, что это вытекает из Малой теоремы Ферма, т.е. числа 10 и 7 взаимнопростые и (10)^6 =1 (mod 7), но для того, чтобы повторилась магия с зацикливанием надо, чтобы 10^X = 1 (mod P), X = P — 1 было минимальным числом. Примеры:
Для 10-чной системы, такой магией обладают числа: 7, 17, 19, 29, 47, 59, 61, 97.
Для 5-чной системы, такой магией обладают числа: 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97
Как в принципе и было приведено в статье в таблице. Больше всего, конечно, удивляет, что практические для любой системы счисления, существует одно число меньше самой системы исчисления.
Что касается, дальнейшего анализа, так и непонятно к чему мы пришли, к тому что в таких последовательностях встречаются простые числа? Так может стоит проанализировать любые последовательности, мне кажется в них тоже будет бесконечно много простых чисел, так же как в арифметических последовательностях (теорема Дирихле).
Что касается геометрических последовательностей, то это можно формализовать и доказать, вроде как паттерн в них виден.
Что касается чисел Фибоначчи, то тут надо копать в реккурентные формулы, это как раз неочевидно, почему именно 89 и 109.
В общем, мне кажется, вывод получился размыт и непонятен. Много всего, но тезисы ускользают.
Доказательство для чисел Фибонначчи из 1994г. http://www2.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/miscellanea/miner.html. На основе такой технике можно доказать, что "число-89" будет существовать в любой системе исчислений
1. Для знакопеременных рядов обычно используют множитель
(-1)^n
или (-1)^(n+1)
, а не 2*(n%2) - 1
.2. Оператор взятия остатка "%" имеет тот же приоритет, что деление/умножение,
(i + 1 % 2)
— не имеет смысла. Возможно и здесь стоит переделать на (-1)^i
, не уверен.(1+(-1)^n)/2
. Тогда получится что-то вродеNs(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N => Ns(i) = N + N*i*(7+(-1)^i)/2
.Но тут я не уверен что это более удачно :)
Немного передохну и исправлю формулы! Последние сутки все время занят статьёй и дополнительным кодом для новых примеров, встретил недопонимание в первом же комментарии, написал автору чтобы убедиться что он не разобрался в статье, и сейчас приведу немного дополнительных примеров, потом передохну, исправлю формулы и… приведу ещё немного примеров :)
А пробовали уже в ваши формулы вставлять всякую дичь? e, pi, phi, комплексные числа и вот это вот все?
Я получил большое количество ценных советов, всеми из которых я несомненно собираюсь воспользоваться.
UPDATE: я добавил в статью два раздела «Дополнительные примеры» и «Выводы». Чтобы показать что простые числа Мерсена являются подмножество циклических простых чисел, а так же устранить заблуждение возникшее в первом комментарии.
Я ещё не успел привести все примеры которые я хотел, а так же выложить более лаконичную версию приложения на github, чтобы любой желающий смог легче изучить закономерности и осуществить поиск циклических чисел в интересующей системе счисления, с использованием интересующего простого или циклического числа.
Последние сутки я провёл за редактированием статьи и написанием нового лаконичного кода, прерываясь только на сон и еду. Сейчас я немного передохну, и после этого закончу начатое: добавлю ещё несколько примеров в раздел «Дополнительные примеры» и выложу код консольного приложения на github. Это приложение лучше того, что уже выложено тем что его код очень короткий, меньше 150 строчек кода, однако позволяет искать закономерности не только от full reptend prime, но и от любых циклических чисел.
Ещё раз огромное спасибо всем прочитавшим статью и давшим мне ценные советы! Это самое большое количество общения на заинтересовавшую меня тему, которое я получил за несколько лет. Я очень ценю это!
Огромное спасибо Вадиму Валентиновичу Зудилину!
«Your article is currently scheduled to be announced at Thu, 6 May 2021 00:00:00 GMT.
Updates before Wed, 5 May 2021 18:00:00 GMT will
not delay announcement.»
Ссылка на англоязычную версию: github.com/constcut/cyclicprime/raw/main/paper/cyclic_prime_numbers.pdf
Как только публикация появится на arxiv.org — я добавлю ссылку в эту статью!
Цель достигнута, теперь можно немного отдохнуть перед новой статьёй :)
Я рассматриваю класс простых чисел, который опирается на циклические числа, из-за интересной закономерности, которая проявляется между разными системами счислениях.
Т.е. ещё раз — сами циклические числа всегда не являются простыми. Но от них можно образовать простые числа — которые являются темой этой статьи. И так же в этих образованных простых числах из разных систем счисления наблюдаются закономерности которые позволяют их группировать.
Потому никакое простое число не может быть подмножеством циклических чисел.
(Это не критика и не претензии, это просто взгляд со стороны человека со школьным уровнем математики)
Когда я нашёл эти простые числа я некоторое время думал как удобнее всего их назвать. Изначально они найдены в ходе исследования full reptend prime, и имели визуальное отношение к циклическим числам.
Одним из самых известных циклических чисел является 142857, первым простым числом найденным мной было 1428571. В структуре этих простых чисел была видна структура циклических чисел.
Далее я размышлял так: любой человек который знает что такое циклическое число, и что такое простое число, как только увидит примеры найденные мной легко сможет их связать ассоциативно.
Поскольку циклические числа не бывают простыми, я подумал что сочетание «циклическое простое» — которое как я проверил ещё не использовалось, будет давать отсылку как к циклическим числам, от которых циклические простые образованны, так и давать понять что они являются простыми числами.
Т.е. когда я придумывал это название я подразумевал что человек кто будет их изучать будет знаком с циклическими числами, или хотя бы начав гуглить «cyclic prime numbers» — натолкнется на определение циклического числа и поймёт как говорится где собака зарыта. По это причине я начинал статью с того что дал определение циклического числа.
Почему это является отдельным классом: как было показано в статье такие числа образуют группы, и будучи образованными от одного и того же full reptend prime, но в разных системах счисления — имеют хотя бы частичную структуру циклического числа, причем в каждой из этих систем счисления, а в одной из них эта структура будет скажем так «идеальной».
Я надеюсь это объяснение немного помогает понять название и почему я выделяю эти простые числа в отдельный класс, а не просто в подмножество простых чисел.
Я извиняюсь — но я в ближайший день не смогу отвечать на комментарии, мне нужно провести время с детьми. Если ещё вдруг останутся вопросы — смело их задавайте, я обязательно на них отвечу завтра!
Первым циклическим простым числом, образованным от 142857, является 1428571, это число простоеиз которого вообще непонятно, зачем и почему мы 142857 умножили на 10 и прибавили 1.
Обратите внимание на раздел «Представление периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии»:
Где s — это целое число, полученное из дроби 1/P
Проследите пожалуйста после этого диапазон формул, начиная от
Приведем формулы для P = 7 c использованием разных s, начиная с самых коротких
И заканчивая
И наконец мы получаем последовательность, в которой s представляет собой простое число
Там есть ответ на ваши вопросы?
На всякий случай, если возникает недопонимание даже после этого участка, можно вернуться назад, к
Для того, чтобы рассмотреть, как возникают циклические простые числа, нам нужно также рассмотреть, как возникают циклические числа.
И просмотреть весь раздел «Свойства простых чисел в зависимости от системы счисления. Full reptend prime»
Я уверен если вы сделаете это внимательно у вас будет четкое представление о том, что циклические числа и циклические простые числа объединяет тема разложения рациональной дроби 1/P в сходящуюся геометрическую прогрессию, где P — full reptend prime.
Повествование статьи построено от простого к сложному, но как можно заметить, математика в ней не выходит за программу школьного курса. Самое сложное — это системы счисления, это программа 9ого класса. Простые числа — программа 5ого класса. Геометрические прогрессии это программа 9ого класса. Соответственно вся математика необходимая чтобы понять статью изучается до 9ого класса.
Я расположил материал так, чтобы его было просто читать, но при этом и возникал интерес, в виде вопросов, ответы на которые даются в ходе развития статьи. Мне лично кажется что я сделал это достаточно удачным образом.
Пожалуйста старайтесь изучать материал внимательно, в ваших сообщениях отчетливо прослеживается желание спорить и обвинять, но вы даже не удосужились внимательно прочитать материал.
Я ещё раз повторюсь, все ответы на ваши вопросы есть в статье, при внимательном прочтении их не возникает. Вы должны были заподозрить, что что-то неладно, когда вы первый начали задавать эти вопросы.
Что меня искренне удивляет в вас, это уверенность с которой вы говорите. Если вы внимательно прочитаете череду комментариев то сможете увидеть, что сразу же за моими ответами вы делаете вывод, которого не может быть, если вы прочли комментарий внимательно.
Я пришёл к выводу что ваша основная задача была не понять материал, а начать спор, на этом сообщении я этот спор завершаю.
Вот например, вы рассматриваете представление периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии. Однако это представление является просто математическим описанием непосредственно самой периодической дроби и значения числителя и знаменателя той дроби, к которому сходится эта прогрессия, из такой формы записи вообще неочевидны. Есть какая-то причина, по которой вы рассматриваете именно бесконечную сумму? Потому что при записи через цепную дробь мы получим конечное число элементов, которое легко упростится до конкретного рационального числа.
Далее вы переходите к числам Фиббоначи, называя это «разложением», и здесь мне тоже видится некорректность формулировки. Разложением это было бы — если бы из произвольного числа получался ряд из элементов с числами Фибонначи в числителе. А так больше похоже, что вы просто просто просуммировали конкретный ряд и поменяли местами левую и правую часть равенства. Я тоже так могу
но не совсем понимаю, какие далекоидущие выводы из этого можно сделать и какое это отношение имеет к рассматриваемому вопросу.
P.S. Мне бы хотелось избежать переходов на личности при обсуждении. Существуют вполне определённые стандарты при написании математических статей, и в вашей действительно нет ни строгого определения, ни сопутствующих теорем. Я даже посмотрел английский вариант — но там всё то же самое. К тому же, не обязательно же отвечать именно вам, как автору статьи — это может сделать и кто-то другой, кто лучше меня понял содержание.
Если вам не сложно, мы можем созвониться в зуме или телеграме, я думаю нам проще будет проговорить голосом всё — вполне вероятно вы знаете и понимаете что-то, что я не понимаю совсем, так как я например не могу понять ваши формулы, как вы их получили, и я был бы очень рад если вы поговорили со мной об этом.
Я постараюсь ответить на все ваши вопросы, и надеюсь вы не будете против моих вопросов, но мне это даётся очень тяжело отвечать в тексте, я очень нехорошо себя чувствую, что является следствием очень интенсивной работы последние дни.
Геометрические прогрессии были найдены мной просто визуально. Я смотрел на периодическую дробь 0.(142857) и задавался вопросом, каким образом она сохраняет свойство циклических перестановок. Т.е. она как бы являлась циклическим числом, но на самом деле интересней, ведь у неё есть бесконечное множество цифр, и все они синхронно осуществляют эту перестановку. Я пытался понять как это может происходить.
В один момент я увидел, исключительно визуально, что внутри неё словно проглядывает арифметическая прогрессия 14, 28, 56. Только последняя цифра не сходилась. И в какой-то момент меня осенило — недостающая единица берётся из следующего элемента 112. Т.е. за тем как я это увидел не стояло абсолютно никакого математического аппарата. Далее я так же пристально пытался понять какие закономерности из этого следуют, об одной из них я собираюсь написать следующую статью, и следом я точно так же увидел, что там есть другая прогрессия, 1 + 3 + 9 + 27. На этом этапе мне стало очень интересно, а нет ли каких либо ещё. Вначале я нашёл все 6, не сразу смог описать это формулой. И лишь спустя продолжительное время, когда я описал это формулой — мне стало любопытно, а что если попробовать подставить другие значения, не только 1, 14, 142, 1428, 14285, 142857. И это сработало. И прошло больше полу года, когда я исследовал все элементы своих наработок при помощи факторизации на простые числа, а так же нумерологической редукции. В отношении последней не подумайте что это гадание на кофейной гущи, у этой операции есть математическое значение, хотя и очень сложно применимое в обычной жизни. И вот случайно я увидел что в множестве чисел, которые участвовали в формировании геометрической прогрессии — простые. Это показалось интересно, я пробежал на большой дистанции — и нашёл многие из них. Тогда я уже знал что периодические дроби с длиной периода 6 можно получить не только в десятичной системе счисления, но и в многих других. И вот дальше случилась ещё одна случайность. Когда я сделал поиск по разным системам счисления, я увидел что простое число из сороковой системы счисления, переведенное в десятичную имеет хвостик 142857. Провёл ещё эксперименты — и увидел что это группировка справедлива не только для десятичной и сороковой системы счисления, а так же в целом не только для простого числа 7.
Потому как говорит заголовок этого поста, это класс простых чисел который я нашёл случайно. Я не пытался сделать вид что я профессиональный математик, к сожалению я таким не являюсь, я с большим уважением отношусь к математике и с интересом изучаю её, но как я написал неоднократно — это открытие возникло на сочетании любопытства и случайности.
Точно так же я нашёл и ряды с Фиббоначи. Исключительно визуально, своими глазами. Все формулы которые есть в статье были выведены после, изначально я просто буквально что-то увидел, и пытался это описать.
Мне сложно было поддерживать диалог дальше, потому что у меня сложилось мнение что я уже изложил все тезисы, но судя по всему это было просто моё заблуждение.
Я искренне очень рад буду пообщаться в формате видео чата, уверен вы мне сможете рассказать много интересного, и я с радостью отвечу на любые вопросы. Если будет время и желание — напишите мне!
Спасибо за наводку! Я изучил вопрос внимательно — для того чтобы получить подобную сумму ряда, нужно чтобы в знаменателе было одно из чисел последовательности. Если в знаменателе подправить формулу на n + 1, то иногда получатся рациональные числа 1/X. Некоторые из X простые, но не все.
Так же я внимательно исследовал влияние множителя (-1)^(n+1): он просто смещает индекс числа из последовательности выше, как можно видеть 89 и 109 находятся рядом.
Как вы верно заметили это не имеет абсолютной связи с full reptend prime, но на мой взгляд это довольно любопытно :)
У меня неловкий вопрос: можете мне пожалуйста подсказать какой именно ссылкой вы пользовались (или это платная версия?), потому что я просто исследовал ряды на сходимость, и с переменной x получить решение не удалось :)
Нумерология: никакого гадания, только теория чисел
Она как раз имеет бОльшое отношение к псевдонаучным концепциям, и там прослеживается особая роль чисел 3, 6, 9 :) Есть ещё такая вещь как «вихревая математика», которая тоже является псевдонаучной концепцией.
Но скажу честно, связь между эти явлениями одна единственная: все они имеют отношение так или иначе к псевдонаучным концепциям, и через общее поле псевдонаучных идей они связаны)
Меня не интересуют такие теории, я не верю что что-то столь простое может описывать устройство вселенной или что-то в этом роде. И одна из целей этой статьи была указать на эннеаграмму, которой пытаются описать либо все психотипы человека, либо не много не мало, весь мир целиком.
Я лично не верю что такие простые закономерности могут описывать такой сложный мир, в котором мы живем. Но я большой фанат циклических чисел, и пытаюсь изучать все что связанно с ними так или иначе — но меня в этом интересует только теория чисел, я уверен что с большой вероятностью я никогда в жизни не найду присутствия данных закономерностей в реальном мире, но вместе с тем мне интересно решать математическую загадку :)
На мой дилетантский взгляд кажется, что здесь нужно знать очень хорошо модульную арифметику, и как уже отметили в комментариях выше можно использовать теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Ну вот, например, вы продолжили увеличивать циклическое число 142857142 или 14285714285 , очевидно, что числа больше девяти оканчивающиеся на цифры 2, 4, 5, 8 всегда составные, а в других случаях могут попадаться простые числа (ведь доказано что простых чисел бесконечно).
Если вы используете функцию random(N) k-тое количество раз, собрав k количество цифр, то в комбинациях этих чисел могут встретится простые числа (зависит от везения, назовём такие простые - рандомными простыми).
Вот если бы Вы доказали периодичность Ваших циклических простых чисел и нашли бы явную формулу, то это было бы фундаментальным открытием в теории чисел.
Я согласен со всеми Вашими утверждениями, признаюсь честно я решил выбрать эту статью первой из серии потому что на мой взгляд она привлекает больше всего внимания. В той форме, в какой она есть я не нахожу её существенным открытием, однако одна из причин по которой я начал с неё — я не только хотел поделиться найденным, но и услышать комментарии. И я очень доволен тем что мне сообщили комментаторы, так как мои познания, к моему большому сожалению не так и глубоки. Так же другая цель которую я преследовал — это найти эндорсмент на arxiv, к счастью это так же удалось сделать.
В ближайшие месяц я планирую выпустить ещё две статьи, в дополнение к двум уже выпущенным — и возможно в процессе общения с дорогими читателями Хабра, я найду ещё дополнительную информацию, которая позволит продолжить мне это исследование с более серьёзным основанием.
Новый класс простых чисел, который я открыл случайно