Модель натурального ряда чисел и его элементов. Диагонали




    Продолжаем рассмотрение элементов натурального ряда чисел (НРЧ) и их свойств в рамках плоскостной Г 2∓-модели НРЧ. Здесь будут изложены и на примерах показаны свойства диагоналей названной модели и их клеток. Свою задачу вижу в том, чтобы обратить внимание читателей на удивительные факты в модели НРЧ. Возможно, кого-то они заинтересуют и человек займется их изучением и исследованием. Уверяю Вас они того стоят. По сути, НРЧ для нас до сих пор неизведанный мир со своими законами и свойствами.

    Автор продолжает разработку этой модели для решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), считая подход более перспективным, нежели модели совершенствуемых решет. Решета, по-видимому, исчерпали себя (как пишут Манин Ю. Н., Панчишкин А.А. стр. 104). Свидетельство тому — почти 10-летние перерывы с публикациями (в 2010 г и очередное в 2019 г) о новых результатах. Указанные недостатки подхода с решетами исследователям устранить не удается, а новых идей просто нет или они на начальном уровне (Коваленко Д.В., Сидоров Д.П.). Или (здесь).

    Введение. Смежные клетки и факторизация чисел


    Предлагаемый ниже пример иллюстрирует возможность факторизации числа N, если в его окрестности найдется пара смежных клеток с близкими к N числами. Получению таких пар чисел способствует моделирование свойств коротких диагоналей Г2--модели НРЧ.

    Пример 1. В рамках Г2--модели НРЧ требуется факторизовать число N = 1333 с использованием двух других чисел N1 = 1476 и N2 = 1377, размещенных в смежных клетках.
    Решение. Предварительно необходимо установить тип смежности (горизонтальная или вертикальная) заданной пары чисел N1 и N2. Эти числа не могут принадлежать диагонали, так как их четность различна. Находим разность этих чисел ∆ = 1476 – 1377 = 99.

    Разность нечетная и число ∆ может принадлежать длинной диагонали Д1. В этом случае аддитивное разложение ∆ на два смежных слагаемых (99 = 49+50) интерпретируется как сумма номеров смежных столбцов, при этом горизонтальное расположение заданных чисел возможно в одной строке смежных столбцов, но в верхней полуплоскости, что нарушает условия задачи.

    Допущение о вертикальном расположении клеток с числами N1 и N2 соответствует тому, что меньшее лежит в строке (горизонтали) с номером х11 = 49, а большее – в строке х12 = 50, столбец хо у клеток общий. (Это легко проверяется в Г2--модели по рисунку 2).

    Номер столбца определяется формулой хо = √(492 – 1377) = 322. Число N2 лежит в длинной диагонали с номером х1 – хо = 49 – 32 = 17 и N2 делится нацело на этот номер 1377:17 = 81.
    Таким образом, определены координаты клеток для заданных чисел N1(50, 32) = 1476 и
    N2(49, 32) = 1377. По координатам определяются номера коротких и длинных диагоналей, пересекающихся в клетках заданных чисел. (см.здесь).

    Определим теперь ромб (клетку центра ромба), которому принадлежат заданные числа. В пределах ромба для нечетного числа 1377 по вертикали от его клетки на 2 строки (выше/ниже), а по горизонтали – на 6 столбцов (правее/левее) лежат числа с такими же флексиями (7). Допустим, что число N2 = 1377 лежит ниже и левее центра ромба. Тогда число N3 с флексией 7 лежит в 32-м столбце и с такой же флексией должно быть число в строке с номером
    х1 = 49 – 2 = 47, т. е. N3(47, 32) = 2209 – 1024 = 1185.

    Флексия N3 равна 5 ≠ 7. Допущение неверно, число N2 = 1377 лежит выше клетки центра в своем ромбе. Тогда для клетки центра номер строки х1ц = 49 + 1 = 50 и хоц = 32 + 3 = 35 или
    Nц (50, 35) = 2500 – 1225 = 1275.
    Заданного числа N = 1333 в этом ромбе нет, что легко проверяется. Числа с флексией 3 этого ромба лежат в горизонталях с номерами 47 и 53, в смежных сверху полосах ромбов в горизонталях с номерами 48 и 42 и далее в следующей полосе в горизонталях с номерами 43 и 37 и т. д.

    Колонки в ромбах каждой полосы, содержащие числа с флексией 3, следуют в порядке через клетку, следующий ромб – через 7 клеток и т. д. В полосах ромбов выше и ниже порядок сохраняется, но со сдвигом на две клетки. Так для ромба с центром в клетке (х1ц, хоц)=(50,35) в горизонталях 47 и 53 столбцы: 36 и 34 и влево далее 26 и 24; 16 и 14; 6 и 4 повторяясь через полосу ромбов. В смежных полосах (горизонтали верхние 48 и 42; нижние 52 и 58).

    Вычисления и анализ результатов для обозначенных клеток приводит нас к клетке (37, 6), в которой и содержится заданное для факторизации число N(37, 6) = 1369 – 36 = 1333=dм·dб.
    Далее вычисляем факторы dм =37 – 6 = 31 и dб =37 + 6 = 43 или N(37, 6) = 31·43 = 1333. (см.здесь).

    Для контроля ниже вычисления осуществляются другим независимым способом. Это число по свойству диагоналей должно нацело делиться на номер Д нечетной длинной диагонали, из диапазона 17 < Д < 40, т.е. на один из номеров:19, 21, 23, 25, 27, 29, 31,… Выполним проверку делимости нацело числа N 1333:19 = 70,1; 1333:21 = 63,4; 1333:23 = 57,95; 1333:25 = 53,32; 1333:27 = 49,37; 1333:29= = 45,96; 1333:31 = 43. Целое частное 43 – это номер короткой диагонали, проходящей через клетку с числом N = 1333.

    Из системы двух линейных уравнений х1 – хо = 31 и х1 + хо = 43 легко определяются прямоугольные координаты клетки, т. е. номера горизонтали и вертикали клетки с числом
    N(х1 = 37, хо = 6) = 1333. Впрочем, в этом нет надобности, так как факторы N (делители) 31 и 43 уже найдены, т. е. заданное в примере число факторизовано N = dм·dб = 31·43 = 1333.
    Обратим внимание на то, что одна из коротких диагоналей для исходных чисел имела номером полный нечетный квадрат 1377:17 = 81.

    Диагонали модели. Повороты диагоналей


    Важные вопросы возникают в связи с изучением элементного состава и свойств диагоналей Г2-модели и их поворотов вокруг центров вращения. Оказывается, некоторые короткие Дk диагонали могут содержать в своем составе клетки, совпадающие значениями с клетками длинных Дi. Такое совпадение наблюдается при поворотах диагоналей.

    Какие диагонали, и вокруг каких центров (клеток), могут поворачиваться? Сколько таких точек (центров) для конкретной диагонали? Как описываются такие точки, координатами, значениями, другими представлениями? Какие коэффициенты растяжения сжатия имеют место и как они формально задаются?

    Поиск ответов на эти и другие не менее интересные и важные вопросы – предмет дальнейших исследований и экспериментов по проверке выдвигаемых гипотез.

    Классификация диагоналей


    Конкретность сформулированных вопросов предполагает (требует) рассмотрения не менее конкретных ситуаций для получения ответов и условий для их изучения. Так как всегда в ситуациях будут использоваться диагонали, то полезно все множество диагоналей классифицировать, т.е. разбить на классы.

    Ранее уже вводились такие классы коротких и длинных диагоналей, каждый из них представлен классами четных и нечетных диагоналей. Установлено также, что каждый из этих 4-х классов может иметь диагонали, содержащие общие точки с биссектрисами Б3 и Б8, или множество таких точек пусто (см.здесь).

    Другими словами, по этому признаку возникают три класса диагоналей (по количеству точек пересечения с биссектрисами): 0–точек, 1–точка, 2–точки. Наконец, можно рассмотреть классы нечетных диагоналей с простым и составным или квадратным номером. На основании приведенных рассуждений сформирована следующая схема.


    Рисунок 1 – Классификация диагоналей

    Экспериментально установлено, что в ближней области (около ста первых чисел НРЧ) нечетные диагонали с номерами: простыми числами вида 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107…, составными числами 35, 55, 91, 95,… не пересекаются с биссектрисами Б3 и Б8, так же как и четные диагонали с номерами: 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40, 46, 50, 52, 56, 58, 62, 64, 68, 70, 74, 76, 80, 82, 86, 98, 94, 98, 100, 104, 106.

    Скорее всего, имеется какая-то не очень сложная формула для описания множеств таких диагоналей, но пока она не найдена. Простой способ определения номера диагонали пересечения с биссектрисами — вычислять координаты клетки биссектрис Б3 и Б8 и находить номера диагоналей которые в них пересекаются. Приведем некоторые установленные факты. Короткие диагонали с номерами равными простым числам и нечетным составным, не делящимися на 3, но кратными числу 5 (например, 35, 55, 65,…) могут иметь совпадающие значения в клетках других диагоналей.

    Это явление можно отождествить с поворотом диагоналей. При поворотах отображаются все клетки коротких диагоналей в некоторых клетках длинных (Д). Например, диагональ Дk=35 имеет центр поворота в клетке со значением, 245 = 35·7 = 5·49.

    Пример 2. Длинная диагональ Д20 пересекает линию Б8 в клетке (30, 10) и линию Б3 в клетке (40, 20), т. е. имеет две общие точки с биссектрисами Б8 и Б3; короткая диагональ Дk60 пересекает Б8 в клетке (45, 15) и Б3 в клетке (40, 20)-общей для них, т. е. также имеет две общие точки с биссектрисами Б8 и Б3. Общая клетка (40, 20) может быть центром поворота этих диагоналей.


    Рисунок 2 Пересечения коротких и длинных диагоналей, клетки центров поворотов

    На рис.2 показаны лучи биссектрис Б3 и Б8 (клетки с бледной синей заливкой), пересекающая их короткая диагональ Дk60 в клетках (40,20) и (45,15) — это два центра вращения. Через эти же клетки проходят длинные диагонали Д30 и Д20 соответственно. Значения клеток короткой Дk60 отображаются (Дk60 как бы поворачивается в двух центрах — клетках пересечения) в клетках этих длинных диагоналей (с растяжением), но шаг совпадающих значений при этом разный. Для Д20 через 2 клетки, а для Д30 через 1 клетку.

    Короткая диагональ Дk27 пересекает линию Б3 в клетке (18, 9) (центр поворота против часовой стрелки) со значением N(18, 9) =243 и в этой же клетке длинную диагональ Д9. После поворота значения клеток короткой отображаются с растяжением в клетках длинной (шаг через 2 клетки).

    Пусть длинная диагональ имеет номер равный номеру короткой, поделенному на число 5. Тогда шаг совпадения чисел в клетках диагоналей равен 5. Убедитесь в этом самостоятельно, используя рисунок 2.

    Короткие диагонали с номерами, равными квадратам нечетных (простых) чисел: 9, 25, 49, 81,…, центром поворота имеют клетку не на биссектрисе, а клетку со значением N=33,53,73,… в ней, равным кубу (3-й степени) этого нечетного числа. Номер длинной диагонали равен этому нечетному числу, т.е. Дi= 3, 5, 7,… и шаг для совпадающих чисел в клетках также равен 3, 5, 7,….

    Повороты диагоналей


    Ранее рассматривались свойства диагоналей и их описание. Здесь будет продолжено выявление свойств и установление вновь открывающихся закономерностей. Напомним, что все диагонали разделяются на короткие и длинные, которые в свою очередь делятся на четные и нечетные.
    В Г-плоскости можно указать линии (прямые), которые разделяются на лучи, сходящиеся в одной начальной клетке, и прямые общего положения (здесь).

    Клетки (точки) линий, как правило, не образуют непрерывной цепочки клеток, а размещаются вдоль прямых с некоторым постоянным шагом. Изменение величины шага (в числе клеток) происходит в широких пределах. Координаты клеток, принадлежащих одной прямой (или лучу) оказываются связанными между собой математическими соотношениями.

    Например, имеется луч, все клетки которого имеют координаты вида
    (х1, хо) =(2хо, хо), т. е. первая координата в два раза превышает вторую. Значение числа в клетках этого луча (Б3) зависит только от координаты xо, т.е.
    N(х1, хо)=N(2хо, хо) = 4хо2 -хо2 =3хо2. Клетки этого луча размещаются вдоль него в каждой второй горизонтали (с шагом единица по координате х1) и непрерывно по хо – в каждой вертикали (по координате хо). Сами значения чисел в клетках чередуются четные с нечетными.

    Каждая клетка этого луча лежит справа от середины горизонтали Г-плоскости. Это свойство обусловило название этого луча биссектрисой (Б3) горизонталей Г-плоскости. Каждую клетку биссектрисы пересекают две диагонали короткая (а) и длинная (b) одинаковой четности и при этом N(х1, хо)= аb. Здесь a – номер короткой, а b – номер длинной диагоналей, произведение номеров которых также формирует значение числа N в клетке.

    Особенностью диагоналей, как линий Г-плоскости, является делимость не номер Д нацело значений в их клетках. Другой особенностью является возможность вращением одной из них, например, короткой (Дk) до совмещения ее положения с другой длинной (Д) (поворотом на угол 90º) обеспечить совпадение значений в клетках после растяжения/сжатия.

    Точкой (центром) вращения часто является клетка луча – биссектрисы. Будем вращать короткую диагональ а, проходящую через клетку луча – биссектрисы, против часовой стрелки до совмещения ее с длинной диагональю b. О совмещении можно говорить не только в геометрическом смысле, но и (с учетом растяжения короткой диагонали) можно говорить и о совпадении значений чисел в клетках обеих диагоналей (см. табл. 1,2).

    Пример 3. Выполним поворот (центр в клетке (x1=18, xo = 9) со значением в ней N = 243) короткой диагонали с нечетным номером Дk27 = 33 против часовой стрелки на угол 90º. После поворота клетки короткой диагонали как бы раздвинулись на две клетки одна от другой, а их значение совпало со значениями в клетках длинной диагонали. Это совпадение значений раздвинутых клеток с клетками Д9 иллюстрируется таблицей 1 и рис.2.

    Таблица 1 – Совпадение (после поворота) значений в клетках длинной (Д9) и короткой (Дk27) диагоналей

    Действительно, все клетки короткой диагонали с номером Дk = 27 и значения чисел в них как бы переместились на длинную диагональ с номером Д9 = 9, кроме одной клетки
    (N(18,9) = 243), которая и является центром поворота. Эта клетка является общей для обеих диагоналей, и необходимости смещать ее не возникает. Ее координаты удовлетворяют условиям принадлежности обеим диагоналям Дk27 и Д9.

    Для всех остальных клеток координаты потребовалось изменить так, чтобы условие принадлежности новой диагонали было выполнено. Исключение составляет единственная клетка (14, 13) со значением N(14, 13) = 27 = Дk. Оказалось, что верхнюю часть клеток короткой диагонали с Дk = 27 не удается разместить в верхней части длинной диагонали.

    Выход состоит в том, что “лишние” клетки направляются вновь на короткую (но уже на другую) диагональ с номером Дk9 = Д9 = 9, совпадающим с номером длинной диагонали. Понятно, что условие принадлежности при этом тоже изменилось: х1+хо = 9 =3+6. Заметим, что шаг растяжения остался без изменений.

    Поворот может выполняться и для длинной диагонали со сжатием интервала между совпадающими клетками. Очевидно, что центральной клеткой этого поворота будет служить клетка биссектрисы, сам поворот выполняется на угол 90º, но уже по часовой стрелке, и поскольку клеток на короткой диагонали существенно меньше, то поворот сопровождается стягиванием “сжатием” клеток. Часть клеток, тех для которых на короткой диагонали нет соответствующих значений, просто “выкидывается”, удаляется.

    Процедура прореживания (сжатия) длинной диагонали состоит в простом удалении части клеток, определяемых коэффициентом сжатия.
    Это действие обратное по отношению к растяжению для короткой диагонали. У короткой диагонали все точки сохранялись и даже появлялись вставки – промежуточные точки. Значения чисел в этих новых клетках легко восстанавливается как элементов арифметической прогрессии (АП(b, 2b)), соответствующей длинной диагонали. Описанный поворот хорошо иллюстрируется таблицей 1.

    Таблица 2 – Совпадение значений клеток короткой и длинной (после поворота) диагоналей


    таблица внизу — продолжение верхней таблицы 2

    Пример 4. Выполнить поворот длинной диагонали с номером b = 9 на 90º по часовой стрелке в точке N(18, 9) = 243 биссектрисы до совмещения ее с короткой диагональю с номером Дk = 27. В таблице незаполненным позициям соответствуют удаленные клетки (сжатые) длинной диагонали.

    Дублирование клеток одной короткой диагонали
    Известно, что число клеток длинной диагонали бесконечно велико. Следовательно, при всем желании их невозможно разместить в ячейках короткой диагонали с конечным числом клеток. Выход в этой ситуации аналогичен предыдущему примеру. Переход на другую с тем же номером длинную диагональ, продолжающую после излома короткую.

    Сетка с дублируемыми значениями клеток в узлах наклонных линий *Короткие диагонали*.
    В Г 2∓-модели НРЧ, разделенной на две полуплоскости с разными законами образования числовых значений в клетках модели, можно наблюдать удивительное явление: в парах клеток одна – ниже (До) главной диагонали (х1i, хоi )-Г 2--модели, и
    другая – выше главной диагонали (х1i, хоi ) + Г 2+-модели, i — текущий номер пары дублированных клеток, получают равные значения.

    У многих коротких диагоналей Дk модели регулярно встречаются совпадающие числовые значения, причем клетки эти расположены в диагоналях не симметрично (координаты клеток в общем случае взаимно не заменяемые). Клетки (дубли) в короткой диагонали с меньшим номером являются порождающими для индуцируемых коротких диагоналей подмножества пар клеток, элементы (клетки) которых распределены регулярно вдоль наклонных (в общем случае не прямых линий).

    Все такие линии имеют разные наклоны в модели и образуют «расходящийся веер». Замечено, что если номер короткой диагонали – полный квадрат, то среди ее клеток имеются клетки-дубли и, как правило, более одной пары. Приведем три пары клеток с дублирующими значениями в клетках: одну на Дk9: N(7, 2)=N+(3, 6) = 45, и две пары на короткой диагонали
    Дk25: N(21, 4) = N+(5, 20) = 425 и N(19, 6) = N+(10, 15) = 325
    такие пары клеток имеют короткие диагонали с номером Дk = х1i + хоi =9, 25, а, например, диагональ Дk с номером 1600 имеет таких 20 пар.

    Ниже в таблице 3 приводятся данные о дублирующих клетках в коротких диагоналях Дk начального фрагмента модели. Заметим, что интерес, как правило, представляют только те пары клеток, которые не являются порожденными (индуцированными) парами, т. е. пары с наименьшими значениями или порождающие дубли пары.

    В таблицу 3 не включены дублирующие пары клеток (начальная и конечная клетки короткой диагонали), так как такие клетки имеют все короткие диагонали без исключения. Следовательно, рассматриваемые короткие диагонали содержат всегда две или более дублирующих пар.

    Таблица 3 — Дублированные пары значений в клетках Дk, номера которых квадраты.

    Поясним устройство таблицы 3.Таблица содержит две вертикальные части с одинаковым назначением состава колонок, разделенные пустой колонкой. Левая часть содержит данные о клетках и четных числовых значениях номеров коротких диагоналей Дk, правая – о нечетных номерах Дk.

    Все номера Дk в таблице 3 равны квадратам следующих подряд натуральных чисел. Обе вертикальные части таблицы разделены на нумерованные горизонтальные слои (sℓ), содержащие множества монотонно возрастающих значений номеров (i) пар клеток. Слой и номер слоя обозначены символом sℓ, а мощность множества клеток в слое обозначим числом |sℓ| = |{(,),(,),…, (,)}|, sℓ = 1(1)…, содержащим пары клеток четных и нечетных коротких диагоналей.

    Слой образован парой коротких диагоналей с четным и (большим) нечетным номерами. Номер слоя sℓ указывает сколько пар дублирующих клеток содержат короткие диагонали текущего слоя. Индекс i=1(1)…определяет текущий номер дублирующей пары клеток конкретной диагонали Дk слоя sℓ.

    Определение количества пар дублирующих клеток короткой диагонали при заданном номере Дk выполняется по формуле sℓ = Дk/2√Дk=√Дk/2. Целая часть этой дроби равна числу дублирующих пар клеток в Дk. Для четных номеров Дk (левая сторона таблицы) нижняя клетка последней в слое пары имеет равные координаты, т. е. х1i = хоi = Дk /2.

    Это означает, что клетка принадлежит главной диагонали (До) модели, а числовое значение в ней равно N(х1i, хоi) = 2(хоi) 2. Все клетки-дубли верхней полуплоскости располагаются на короткой диагонали равномерно, с постоянным шагом. Если задан четный номер Дk короткой диагонали, то значение sℓ = Дk /(2√Дk ) =√Дk /2 целое число, равное количеству пар клеток, если номер Дk – число нечетное, то значение sℓ =√Дk /2 округляется до целого в меньшую сторону.


    Рисунок 3 — Дублируемые значения клеток коротких диагоналей в Г 2∓-модели

    Из этого следует, что нижние клетки пар могут располагаться друг от друга на меньших расстояниях. Обращает на себя внимание следующий факт: для пары нижних клеток
    (х1i, хоi )-Г 2- коротких диагоналей с нечетными номерами (9,25,49,...) расстояние между столбцами клеток образует последовательность чисел 1,3,5,7,… в направлении к осям (см.здесь).

    При четном (4,16,36,...) номере Дk такие расстояния образуют последовательность 0,2,4,6,8,…. Отсчет начинается от пары с наибольшим номером i, клетки которой ближние к главной диагонали. Для Дk координаты первых верхних в слое клеток (х1i, хоi )+Г 2+, принадлежащих слою с меньшим номером, пропорциональны и соотносятся как 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6 и т. д., где первый член отношения равен единице.
    Для остальных клеток (х1i, хоi )+Г 2+ слоя пропорция изменяется, но сумма членов пропорции остается постоянной. Изменение происходит монотонно за счет перераспределения количества единиц в пропорции
    х1i = i√Дk, хо i = (√Дk – i )/ √Дk.

    Определение координат (х1i, хоi )-Г 2- — дублирующих пар клеток и числовых значений в клетках.
    Для каждой Дk є sℓ (четной и нечетной) в таблице 3 для множеств (sℓ) пар клеток слоя приводятся значения координаты. Клетки нижняя (х1i, хоi )-Г 2-, и верхняя (х1i, хоi )+Г 2+, содержат равные числовые значения, и сами эти значения N(х1i, хоi )-Г 2-, N(х1i, хоi )+Г 2+.

    Пары клеток в Дk нумеруются индексами i, начиная с первой от координатных осей модели. Пара клеток с i = 0 опущена. Для всех Дk любого слоя вторые координаты хоi всех нижних клеток
    (х1i, хоi )-Г 2- первых пар – это последовательные натуральные числа (1, 2, 3,…). В таблице 3 через эти числа проходит синяя линия.

    Для всех Дk любого слоя первые координаты хоi всех верхних клеток (х1i, хоi )+Г 2+ первых пар – это последовательные натуральные числа (2, 3, 4,…). В таблице 3 через эти числа проходит красная линия.

    При известной одной координате хji любой пары, другая координата определяется как разность
    х(1-j)i = Дk – хji, j=0,1. Для четных Дk связь слоя sℓ и номера Дk определяется формулой
    sℓ = √Дk/2.
    Для верхних клеток (х1i, хоi )+Г 2+ пары координаты формируются простым правилом из определенных координат первой (нижней) клетки пары (хоi + i2, х1i – i2)+.

    Во втором слое короткие диагонали содержат по две пары дублирующих клеток. Для всех Дk любого слоя, начиная со второго sℓ = 2, вторые координаты хоi всех нижних клеток слоя
    (х1i, хоi )-Г 2- — вторых пар – это натуральные числа (2 2 = 4, 6, 8,…).

    При известной второй координате хоi любой пары, первая координата клетки определяется как разность х1i = Дk – хоi. Для верхних клеток пары правило образования координат сохраняется прежним (хоi + i2, х1i – i2)+.

    Для всех Дk любого слоя, начиная с третьего sℓ = 3, вторые координаты хоi всех нижних клеток
    (х1i, хоi )-є Г2- третьих пар – это натуральные числа (32 = 9, 12, 15,…). При известной второй координате хоi любой пары, первая координата клетки определяется как разность значений
    х1i = Дk – хоi, здесь Дk — номер короткой диагонали.

    Для верхних клеток пары правило образования координат клеток сохраняется прежним
    (хоi + i2, х1i – i2)+.
    Далее значения координат всех клеток всех пар во всех коротких диагоналях всех слоев определяются по аналогии с рассмотренным алгоритмом.

    Для нечетных номеров Дk коротких диагоналей 25, 49 в таблице помещены две и три пары с разными числовыми значениями N в их клетках, а для Дk = 81 – четыре пары.

    Процесс порождения индуцированных пар клеток достаточно прост. Координаты клеток порождающей пары увеличиваются путем умножения на коэффициент s = 2(1)…, что приводит к возникновению другой порожденной клетки.

    Числовое значение в новой клетке возрастает путем умножения на квадрат этого коэффициента.





    Список публикаций
    1. Стечкин Б. С., Матиясевич Ю. В. Сито Эратосфена // Труды международной школы С. Б. Стечкина по теории функций. — Екатеринбург, 1999. – с. 148.
    2. Трост Э. Простые числа. — М.: ГИФМЛ,. 1959. — 136 с.
    3. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. – М.: МИР, 1965. – 430 с.
    4. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. – М.: Вильямс, 2000. 3-е издание. – 280 с.
    5. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М.: Научное издательство ТВП, 2001. — 254 с.
    6. Коваленко Д. В., Сидоров Д. П. Факторизация больших чисел распределенными вычислениями // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естественные и технические науки), Саранск, 2001. — С. 230-232.
    7. Коваленко Д. В., Сидоров Д. П., Федосин С.А. Применение распределенных вычислительных систем для факторизации больших чисел // Тезисы международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 2002. – С. 53-56.
    8. Манин Ю. Н., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел.-М.: МЦНМО, 2013.-552 с.

    Комментарии 19

      +1
      >Когда уже вы сможете заявить о том, что уничтожили половину криптографии с открытым ключом?
      Возможно, это Ваше понимание чужих целей (личная проекция), но она ошибочна.
      Есть две задачи, получение решений которых мне интересны:
      1. установить операцию обратную умножению, реализуемую элементарными средствами и доступную не только восьмиклассникам с карандашом в руках, решаемую быстро;
      2. менее интересная, но важная для теории информационной безопасности (она возникла побочно).
      Относительно первой задачи, если будет желание и время погуглите запрос:«Закон распределения делителей числа в НРЧ» Этот закон установил я.
        +1
        Я погуглил как вы и сказали и нашел вашу же статью на хабре.

        Оставим в стороне факт, что Хабр это не математический рецензируемый журнал. Первый же коментарий в статье указывает на тривиальный контрпример к вашей теореме — не очень хороший показатель.

        Но забудем о тривиальном контрпримере для теоремы в том виде, в котором вы ее сформулировали. По сути все что ваша теорема говорит это что p^2 + q^2 + spq сравним по модулю pq с p^2 + q^2 + tpq для любых целых p, q, s и t. Только вы зачем-то ограничили p и q до простых чисел, а s и t до 2 и -2 (и дополнительно поделили на 2, что превратило корректное утвреждение в некорректное).

        Нет границ тому, что может называться самостоятельным законом, а что тривильным следствием из свойств модульной арифметики, так что вы вольны называть это законом, который вы установили. Но субъективно вы переоцениваете полезность и значимость своих находок. Попробуйте отправить свои статьи в рецензируемый журнал и посмотрите на рецензии.
          0
          >ограничили p и q до простых чисел
          Это не я ограничил. Это основная теорема арифметики (ОТА), которая есть теорема существования и только. Не менее фундаментальной является теорема перечисления. То о чем Вы читали как раз и есть вторая часть ОТА, т.е. теорема перечисления. Теперь с этим результатом стало ясно, где в НРЧ лежат делители N и как их достать целенаправленно, а не наобум в решете.
          Другим важным своим результатом считаю открытие нового свойства чисел (можно погуглить «Новый инвариант числа» об ф-инварианте), которое не зависит от разрядности N.

          >Я погуглил как вы и сказали и нашел вашу же статью на хабре.
          Правильно, другие авторы об этом не пишут, но Вы могли увидеть рядом обширные списки о распределениях самых разных мат. объектов, где все результаты могут быть получены только при известных делителях N, находить которые авторы не умеют.
          Статья моя имеется не только на хабре, ее скопировали другие сайты, и на нее имеются ссылки (понимающих людей не остановила ее отрицательная оценка на хабре).
            0
            Это не я ограничил. Это основная теорема арифметики (ОТА), которая есть теорема существования и только.

            Как я оже описал выше, p^2 + q^2 + spq сравним по модулю pq с p^2 + q^2 + tpq для любых целых p, q, s и t. Вы это оспариваете?

            Вы почему-то взяли это тривиальное утверждение справедливое для всех целых чисел и сократили его только до простых. Вы можете сколько угодно упираться, но это ограничение.

            Более того вы теперь еще и основную теорему арифметики приплетаете к делу там, где прекрасно можно обойтись без нее. Мне кажется, что вы переоцениваете значимость своих результатов потому, что вы искуственно добавлете к ним сложности и ограничения там где без них и так хорошо (например, огрничиваете до простых чисел там, где любые целые числа подойдут, или приплетаете основную теорему арифметики там где она не нужна).

            Правильно, другие авторы об этом не пишут, но Вы могли увидеть рядом обширные списки о распределениях самых разных мат. объектов, где все результаты могут быть получены только при известных делителях N, находить которые авторы не умеют.


            Простите, а зачем вы других авторов приплетаете? Что там другие авторы пишут или не пишут не делает ваши утверждения корректными или некоректными, значительными или незначительными.

            Кроме того, вы не можете утверждать, что другие авторы такого не умеют. Особенно, если вы не удосужились отправить вашу статью в рецензируемый математический журнал, где другие авторы работающие над предметом смогли бы ее прочитать.

            Статья моя имеется не только на хабре, ее скопировали другие сайты, и на нее имеются ссылки (понимающих людей не остановила ее отрицательная оценка на хабре).


            Прошла ли ваша статься ревью в рецензируемый математический журнал и была ли она принята к публикации?
        0
        >ограничили p и q до простых чисел
        Это не я ограничил. Это основная теорема арифметики (ОТА), которая есть теорема существования и только. Не менее фундаментальной является теорема перечисления. То о чем Вы читали как раз и есть вторая часть ОТА, т.е. теорема перечисления. Теперь с этим результатом стало ясно, где в НРЧ лежат делители N и как их достать целенаправленно, а не наобум в решете.
        Другим важным своим результатом считаю открытие нового свойства чисел (можно погуглить «Новый инвариант числа» об ф-инварианте), которое не зависит от разрядности N.
          0
          >Я погуглил как вы и сказали и нашел вашу же статью на хабре.
          Правильно, другие авторы об этом не пишут, но Вы могли увидеть рядом обширные списки о распределениях самых разных мат. объектов, где все результаты могут быть получены только при известных делителях N, находить которые авторы не умеют.
          Статья моя имеется не только на хабре, ее скопировали другие сайты, и на нее имеются ссылки (понимающих людей не остановила ее отрицательная оценка на хабре).
            0
            Прошу прощения, но что-то я не вижу ценности в ваших исследованиях. Прочёл несколько ваших опусов, вы пишите, что изобретённые методы (открытые закономерности) позволяют факторизовать числа вне зависимости от их длины. При этом приводите примеры для чисел длиной меньше 14 бит, которые вообще-то способны факторизвать восьмиклассники при помощи ручки и бумажки (а иные и в уме). Без какого-нибудь стоящего примера хоть в пару сотен двоичных разрядов все ваши выкладки не представляются чем-то значимым. Да и открытия ваши какие-то некрутые: то, что нечётное число можно представить разностью двух квадратов не новость ещё со времен Ферма. С тех пор заметных успехов добились именно изобретатели различных решёт (о которых вы отзываетесь с пренебрежением или с нисхождением), а вы похоже не добились ничего (по крайней мере не приводите ни одного значимого результата). А все эти ваши диагонали, контуры/полуконтуры это просто какая-то нумерология, а не наука.

            Пожалуйста, поясните чего вы добились и какие ещё стоят перед вами проблемы. Когда уже вы сможете заявить о том, что уничтожили половину криптографии с открытым ключом? Или решение заявленной задачи не является для вас целью, а главное это движение к решению (даже необязательно в правильном направлении)?
              0
              >Когда уже вы сможете заявить о том, что уничтожили половину криптографии с открытым ключом?

              Возможно, это Ваше понимание чужих целей (личная проекция), но она ошибочна.
              Есть две задачи, получение решений которых мне интересны:
              1. установить операцию обратную умножению, реализуемую элементарными средствами и доступную не только восьмиклассникам с карандашом в руках, решаемую быстро;
              2. менее интересная, но важная для теории информационной безопасности (она возникла побочно).
              Относительно первой задачи, если будет желание и время погуглите запрос:«Закон распределения делителей числа в НРЧ» Этот закон установил я.
                +1
                При этом приводите примеры для чисел длиной меньше 14 бит, которые вообще-то способны факторизвать восьмиклассники при помощи ручки и бумажки (а иные и в уме). Без какого-нибудь стоящего примера хоть в пару сотен двоичных разрядов все ваши выкладки не представляются чем-то значимым.


                Пример факторизации числа на основании моих выкладок:
                habr.com/ru/post/472030/#comment_21287268
                  0
                  Вы это серьёзно? Вы выдаёте ЭТО (comment_21287268) за пример факторизации? Вы всерьёз утверждаете, что взяли большое число (338 знаков это действительно большое число!) и РАЗЛОЖИЛИ его на такие интересные множители? Первые 83 десятичных знака одинаковы! Вы очень везучий человек!

                  Извините, но я вам не верю. Тут не может быть другого мнения — вы взяли два числа (зачем-то столь «палевные») и перемножили их, а потом стали заявлять, что получили решение. Нет, вы подогнали решение под ответ (точнее «привели» пример под очевидный запрос о состоятельности вашего метода). К сожалению даже этот метод тривиален, и был придуман задолго до вас. Называется «методом техасского стрелка».

                  Проверка перемножением дала совпадение результатов. Не думаю, что наличие примера изменит отношение читателей Хабра к моим работам (будут минусовать и дальше).


                  А что ещё могла дать «проверка перемножением»?

                  Как я уже писал, я читал несколько ваших статей и не нашёл в них никакого «Закона распределения делителей». Есть такие предложения:

                  Законом распределения делителей di, i = 1(1)..., составного числа N называется соотношение, определяющее множество позиций НРЧ, в которых размещаются делители и кратные им значения, зависящие от заданного N. Все делители и кратные им — это значения в граничных точках интервалов, симметричных относительно точек х < N, x2 >N, x2(mod N) = r(x), в которых КВВ r(x) являются полными квадратами, т.е. di = х±√r(x), i = 1(1)…


                  Даже если не придираться к смыслу этих слов, это всё-таки не закон («закон» это синоним слова «теорема»), в лучшем случае это ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вы зачем-то даёте определение того, что вы подразумеваете в будущем считать законом. Зачем? И где сам закон? Я честно гуглил, нет его. Приведите ссылку, пожалуйста.

                  Я согласен с вами, что рано или поздно RSA-шифрование уйдёт со сцены, но пока вы не приблизились к этому ни на шаг. Вы НЕ нашли никакой «операции обратной умножению» (которой по определению является деление, а не факторизация; зачем искать то, что никто не терял?), вы НЕ нашли ничего нетривиального (теоремы, которые вы приводите в своих статьях это какие-то банальности, которые в учебниках первокурсников помечены как задачи для самостоятельного решения), а все ваши «ф-инварианты» и «аттракторы» это, как я уже писал, какая-то нумерология, попытка скрыть за околонаучными словами отсутствие смысла.

                  То, что я пишу может выглядеть грубо, обидно. Но такие мысли возникают у любого читателя. Вы не даёте шанса скептикам увидеть что-то хоть сколь-нибудь значимое в ваших исследованиях. Я не минусовал ни одной вашей статьи, наоборот, я пытаюсь найти у вас хоть что-то содержательное. Но такими примерами вы можете только отвернуть от своего изобретения.

                  Я бы посоветовал вам привести разложения на множители каких-то известных чисел. Например, посмотрите в той же википедии RSA-числа: до сих пор нет разложения RSA-270 (которое короче «разложенного» вами 338-значного числа на 68 десятичных разрядов). Или любимые всеми числа Мерсенна — приведите разложение M-1277, и вам плевать будет на оценки на хабре, вашими идеями заинтересуются во всем математическом мире, любой рецензируемый журнал примет к публикации ваши статьи.

                  Пока же, увы, ваши работы вызывают только сожаление.
                    0
                    >Вы зачем-то даёте определение того, что вы подразумеваете в будущем считать >законом. Зачем? И где сам закон? Я честно гуглил, нет его. Приведите ссылку, >пожалуйста.
                    Странно, одни гуглят и находят, а у Вас не получилось. Может быть предвзятость мешает. Этот комментатор kmu1990 нашел и сообщил об этом
                    kmu1990
                    «22 июня 2020 в 02:08
                    +1
                    Я погуглил как вы и сказали и нашел вашу же статью на хабре.»
                      0
                      По поводу примера. Зря Вы горячитесь. (О причинах такой горячности задумайтесь). Мне подгонка примеров не нужна. Вы вообще воспринимаете
                      авторов как-то странно. Как будто-то они Вам что-то должны, а когда ожидания не оправдываются Вы впадаете…
                      Считаю, что читатель должен быть благодарен за публикацию, если она его заинтересовала (как Вас, за это Спасибо), а ругань она мало что изменит.
                      С 2014 года на Хабре я «наслушался» много чего, к счастью встречаются и вполне вменяемые читатели, которые понимают текст, оценивают его полезность и копируют на своих сайтах.
                      Дам один совет. Разложите N и сообщите время, если умеете это делать.
                      Я это умею и ответом, и затратой времени владею.
                      Вот еще число 437 десятичных цифр. Раскладывается за доли секунды. Работает генератор простых чисел, которому задается их длина, а что он нагенерирует знает только он. Он получил два числа, перемножил — получил N. Это значение я передаю в другую быстродействующую программу для факторизации. Ответ получаю сразу после отпускания кнопки загрузки. Возможнно, что-то не так, но поверьте это не обман, это работает и очень быстро (сверх быстро).
                      Дольше отыскиваются простые числа, чем факторизуется их произведение. Для в этом эксперименте самое важное — быстродействие. Я не думаю, что кто-то сегодня может получить разложение предложенного мной N с таким же быстродействием

                      N=
                      1212410499009677023645476314960258058992351112345172973371468223164952358766163584616745278720
                      11636924497562925302808453429142214349122818616057572516600366274212211003166727994259866706386
                      15621116456060898008859777894512952326112379251541739590952810834132726381856153317950115028750
                      84766364940446620230071813376320165818076614876114332670701168905668673163240944838779348465516
                      53230100889301992016327007146157037533097745501651
                      <1423 >
                        0
                        По поводу примера. Зря Вы горячитесь. (О причинах такой горячности задумайтесь). Мне подгонка примеров не нужна. Вы вообще воспринимаете
                        авторов как-то странно. Как будто-то они Вам что-то должны, а когда ожидания не оправдываются Вы впадаете…
                        Считаю, что читатель должен быть благодарен за публикацию, если она его заинтересовала (как Вас, за это Спасибо), а ругань она мало что изменит.


                        Задумался о причинах такой горячности, зачем «впадаю», попытался вспомнить хоть один пример ругани в ваш адрес. На мой взгляд все ваши обвинения беспочвенны, скорее я могу вас обвинить в агрессии в мой адрес (по принципу «сам дурак»); но не буду. Я же пытаюсь вести себя предельно сдержанно и уважительно. Ну а горячность вы путаете с интересом (не только к вашим статьям, но скорее к теме вообще). Я так понял (из ваших же слов), что вы преподователь. Неужели любые вопросы ваших студентов вы также вопринимаете в штыки? А как вы реагируете на вопросы коллег, оппонентов на каких-нибудь конференциях?

                        Но хватит перехода на личности, перейдём к делу. Я готов поверить, что ваша программа раскладывает число N на множители за доли секунды. Всё-таки лучше верить исследователю до тех пор, пока не доказано, что он злонамерено пытается обмануть; может быть он сам ошибается и ему просто нужно помочь найти ошибки; может он исправит эти ошибки (подобно Эндрю Уайлсу), и его открытие прогремит.

                        У меня есть пара вопросов/замечаний по существу:
                        1. Что за ГПСЧ вы используете? Самописный или какой-то общепризнаный (что-то из известной сборки, например, OpenSSL)? Если он самописный, то как вы проверяли этот генератор? Какие тесты он проходит? Почему иногда генерит столь «неслучайные» p и q?
                        2. Вы понимаете, что обладание информацией о том, что первые разряды делителей одинаковы существенно снижает криптостойкость RSA (вплоть до тех же долей секунд) и именно такие примеры в реальной жизни НЕ встречаются?
                        3. Ваши программа/метод универсальны? Они умеют раскладывать любые числа? Почему вы не хотите продемонстриовать это? Вы же утверждаете, что это займёт доли секунды; вы на ответ мне потратили больше времени. Я привел вам пару примеров, которые убедят любого скептика (RSA-числа, числа Мерсенна). Наоборот, те примеры, которые приводите вы не убедят никого (я не зря пошутил, про «техасского стрелка»), вы действуете контрпродуктивно.
                        4. Зачем вы привели ещё одно непонятное число? Я нигде не утверждал, что раскладываю числа быстрее вас. Было бы уместнее если бы вы попросили какое-то число у меня и быстро разложили его. Это был бы «epic win»!
                        5. Что же всё-таки за «Закон распределения делителей»? Вы же узнали те слова, которые я привёл в прошлом комменте? Они ваши, из той самой статьи, на которую ссылается «комментатор kmu1990». В этой статье нет закона. Вряд ли мне «мешает предвзятость» его найти, его действительно нет. Не могли бы вы всё-таки сформулировать его?
                          0
                          О ЗРД. Делители и их кратные при заданном составном N распределяются в НРЧ не случайно, а подчиняясь закону, т.е. их положение можно предсказывать.
                          Качественная картина: в НРЧ задано большое составное N (модуль RSA шифра), его делители и кратные делителей предшествуют N; между разными кратными разных делителей лежат несколько строк, образующих замкнутый интервал (делителей мы не знаем). В каждой точке фрагмента НРЧ (т.е. модели) вычисляется квадратичный вычет. Некоторые вычеты могут оказаться квадратами. Справа и слева от любого такого квадрата на удалении корня квадратного будут располагаться кратные разных делителей N. Дальше Евклидовский НОД.
                          Количественно, например, N=1961, в точке хо = 958,(должно быть хо^2 >N) вычисляем квадратичный вычет rл по модулю N;
                          rл = хо^2(mod1961)=917764(1961)=16.
                          Получили квадрат 4^2. Справа и слева от хо лежат числа 958-4 =954 и
                          958+4 =962. Они должны быть кратными разных делителей, следовательно, d1 =НОД(N, 954)=54 и d2 =НОД(N, 962)=37; d1d2 =1961
                          Обо всем этом изложено в моей статье 2014 года.
                            +1
                            Это и есть ЗАКОН, о котором вы гордо заявляете в каждой статье? Не удивитильно, что я его не замечал, для меня это всегда было очевидной вещью. Я полагал, что это начало каких-то будущих рассуждений, а не собственно основное открытие.

                            Вы вообще знакомы с современными результатами теории чисел? То, что вы излагаете мне известно с года 2008-го, когда я узнал об алгоритме Шора (если отбросить все, что там связано с квантовыми компьютерами, то в итоге будем иметь, что алгоритм ищет решение сравнения x^2 === y^2 (mod N), т. е. то же, что и вы); мне это известно с 2008 года, а человечетсву по крайней мере с начала XX (уже двадцать лет как прошлого) века после работ Мориса Крайчика. Вы возможно не знаете, но на «вашей» идее УЖЕ придуман не один алгоритм (Диксон, Ленстра, Поллард), причем несколько раньше 2014 года. Увы, но отныне заявлять, что вы открыли некий закон, будет с вашей стороны несколько неэтично.

                            К сожалению «закон» НЕ позволяет факторизовать большие числа. Для разложения на множители числа в 1024 бита при помощи «вашего» закона не хватит времени существования Вселенной. Но это ещё полбеды. Для вашего метода требуется составить матрицу из (n-1)/2 x 8 чисел (это ваши слова) и в ней искать полные квадраты. Всего известного вещества Вселенной НЕ хватит, чтобы физически хранить такой объём данных. Я понимаю, что всю таблицу нет смысла хранить, более того нет смысла её вообще строить, достаточно на каждом шаге проверять не получилось ли число x^2 mod N полным квадратом. Но вы таких очевидных вещей просто не замечаете. Правда с моим замчанием все ваши "(полу)контуры" просто не нужны. По памяти оптимизировать алгоритм можно, по скорости нет.

                            Хорошо, что вы отвечаете на все комменты, плохо, что только на часть вопросов (увы даже эта «забывчивость» не позволяет вам не попасть впросак).
                            Тогда я сам отвечу:

                            1. ГПСЧ самописный, очень странный. Есть у меня подозрение, что это не полностью ваша вина. Возникло оно после 5 минут гуления по словам
                            «Ваулин Арис Ефимович». Одним из первых же вариантов идёт ссылка на Клуб выпускников Можайки (на mozhayka.org):

                            Несколдько слов о Ваулине у нас его звали ВАЕ и эти три буквы внушали во всех просто вселенский ужас.

                            Помню, на практических занятиях ему надо было запрограммировать какие-то жуткие математические расчёты, которые он сам расчитал, да ещё и так, чтобы результат совпадал с его. Результаты он сравнивал по своей бумажке. Но мы были не дураки подсмотрели у него ответы и написали программу которая после некоторой задержки просто выводила на экран правильный результат. ВАЕ был без ума от счастья.


                            Думаю, просто все ваши исследования ведутся на таких же неработающих программах. Дальше ваши бывшие курсанты описывают вас как очень крутого спеца в криптографии и инфобезопасности. И у меня происходит «разрыв шаблона»: как в одно и то же время человек может быть гениальным безопасником и покупаться на такой очевиднейший обман?!

                            Кроме того вы крайне невнимательны к тому, что должно переубедить скептика (который очевидно будет придираться к любым вашим оплошностям). Даже в ответе мне вы допустили обидный ляп:

                            d1 =НОД(N, 954)=54 и d2 =НОД(N, 962)=37; d1d2 =1961


                            d1d2 == 1998 != 1961. В общем я понял, что вы хотели сказать, но это как-то неряшливо и вам же выйдет боком.

                            2. и 4. Честно говоря тут вы меня удивили. После того, как я вам указал, что делители вашего 338-значного числа подозрительно неслучайны, вы приводите новый пример с ТЕМ ЖЕ САМЫМ недостатком. После чего с ехидцей заявляете, что

                            Я не думаю, что кто-то сегодня может получить разложение предложенного мной N с таким же быстродействием.


                            К несчатью (для вас) «комментатор Pavgran» думает иначе (коммент ниже) и получается, что кто-то всё-таки может. И даже быстрее чем вы. Я просто не мог подумать, что вы сделаете такую глупую ошибку, даже не стал проверять.

                            3. Ваша программа НЕ универасльна, вы НЕ можете даже приблизиться к современным результатам факторизации. О том, чтобы разложить какие-то числа из указанных мной нет смысла даже говорить.

                            5. «Закон» на сегодняшний является общеизвестным, но никому не придёт в голову связывать его с вашим именем.

                            Похвально, что интересуетесь теорией чисел, жаль только, что не знаете её азов, и вам приходится переизобретать очевидные для других вещи. Мне остаётся только посоветовать вам сделать перерыв в ваших исследованиях и, наконец, ознакомиться с современным положением дел.
                            0
                            ЗРД — универсальный. Вы его просто не рассмотрели. Вот он di = х±√r(x), i = 1(1)…
                            di — делитель, х — центральная точка симметричного относительно нее интервала (он должен быть замкнутым и содержать нечетное число строк модели), границы интервала автоматически будут кратными разным делителям, их удаленность=√r(x)
                            r(x) — квадратичный вычет в центральной точке, i — номер делителя.
                            Если х ±√r(x) — числа простые, то они и есть делители, если — не простые (кратные делителям), то используется Алгоритм Евклида.
                            Из моих утверждений вовсе не следует то, о чем Вы пишите(тривиальности, банальности, и т.п.) Вы не можете назвать мне источник, автор которого при заданном N, может указать в НРЧ, где лежат делители N или их кратные, а я могу.
                            Авторы, ученые, академики за века (или даже тысячелетия) не удосужились ответить на этот «тривиальный»,«банальный» доступный для решения первокурсникам вопрос, да и Вы сами не знаете как это делается. А когда Вам показывают, у Вас какие -то сожаления возникают. Как это можно понимать?
                            Вы пишите о ГПСЧ, мне не очень это понятно, зачем?
                            Введение стохастичности требует в моделях участия и использования законов распределения СЧ, а это, я думаю, будет не менее сложным, чем факторизация. Простые числа — это совсем не случайные объекты. Модель НРЧ Улама тому яркое свидетельство.
                              0
                              ЗРД — универсальный. Вы его просто не рассмотрели.


                              Именно это я и написал в comment_21781458. Вы как-то избирательно замечаете одни мои высказывания и в упор не видите других. Я действительно не рассмотрел, что вы «переоткрыли» то, что Крайчик придумал почти сто лет назад.

                              Из моих утверждений вовсе не следует то, о чем Вы пишите(тривиальности, банальности, и т.п.)


                              Я нигде не писал, что из ваших утверждений следуют «тривиальности, банальности, и т.п.». Я написал, что сами ваши утверждения и есть банальности. Ваш «ЗРД» это просто расписанное на сотни страниц утверждение, что из того, что

                              x^2 === y^2 (mod N), x != y,

                              следует, что

                              (x - y)(x + y) === 0 (mod N) => (N, x - y) != 1 и (N, x - y) != N.

                              Между прочим неравенство (N, x + y) != N вовсе не гарантируется, хотя и практически всегда выполняется. Так что вторая часть «ЗРД» ещё и ложна. Зачем вы создавали всю вашу «теорию» («теория» в кавычках, потому что сегодня принято, чтобы теория имела некоторую предсказательную силу, чего у вас нет; у вас скорее какой-то сборник наблюдений с ненужными определениями)?

                              Вы не можете назвать мне источник, автор которого при заданном N, может указать в НРЧ, где лежат делители N или их кратные, а я могу.


                              Нет, и вы не можете. Кроме «специальных» случаев, которые вы приводили мне в пример, и которые сыграли скорее против вас. В указанном комменте я высказал предположение почему ваши программы работают в «домашних» условиях и полностью несостоятельны на реальных примерах (в третий раз повторю то, что вы упорно не замечаете: вы не можете факторизовать M-1277 и rsa-числа) — ВАС ОБМАНЫВАЮТ ВАШИ СТУДЕНТЫ. Неужели у вас никогда не возникало мысли о необъяснимой похожести находимых вами делителей? Хотя после слов

                              Вы пишите о ГПСЧ, мне не очень это понятно, зачем?


                              я уже и не знаю что думать. Это какой-то сюр! Как?!!! Как вам пришло в голову, что нужно брать неслучайные простые числа? Конечно «введение стохастичности» делает поиск закономерностей сложнее. Но в том и дело, что любое утверждение может претендовать на то, чтобы называться законом только если оно верно для всех вариантов. Без этого все ваши «исследования» имеют даже не нулевую ценность, а отрицательную. Вы сами себя обманываете. Причём когда вы выносите свои достижения на публику, вас уличают сразу же. Неужели не стыдно было когда вам дали ссылку на сервис, на котором ваши «нерешаемые» примеры были решены быстрее, чем в вашей программе?

                              А когда Вам показывают, у Вас какие -то сожаления возникают. Как это можно понимать?


                              Понимайте буквально. Из ваших заявлений можно предположить, что вы знаете метод нахождения дискретного квадратного корня. Читаю я ваши статьи, пытаюсь за нагромождением слов найти, этот волшебный метод. А вместо этого получаю… Ничего не получаю. Нет у вас ничего, что можно поведать миру. Когда я написал «сожаления» это было весьма политкорректно, на языке куда более грубые слова вертелись.

                              Не нужно больше оправданий и увещеваний. Приведите реальный результат или прекращайте заниматься ерундой.
                            +1
                            Пожалуйста.
                            По ссылке — инструмент разложения на множители, использующий WebAssembly.
                            Раскладывает ваше число за 0.1 секунды, сразу после отпускания кнопки «Factor».
                            Использует общеизвестные метод квадратичного решета и метод эллиптических кривых.
                            Результат разложения
                            121 241049 900967 702364 547631 496025 805899 235111 234517 297337 146822 316495 235876 616358 461674 527872 011636 924497 562925 302808 453429 142214 349122 818616 057572 516600 366274 212211 003166 727994 259866 706386 156211 164560 608980 088597 778945 129523 261123 792515 417395 909528 108341 327263 818561 533179 501150 287508 476636 494044 662023 007181 337632 016581 807661 487611 433267 070116 890566 867316 324094 483877 934846 551653 230100 889301 992016 327007 146157 037533 097745 501651 =
                            11010 951362 210610 653340 531695 680978 537253 573832 466721 540755 129920 598632 708162 341812 112676 386546 123929 261373 102107 778116 365812 718595 176904 357730 626934 890548 662144 814272 302138 029201 382092 873434 079428 497949 747137 334911 ×
                            11010 951362 210610 653340 531695 680978 537253 573832 466721 540755 129920 598632 708162 341812 112676 386546 123929 261373 308910 479856 522097 310652 382585 965473 524887 805788 239641 958586 357190 657469 162428 027337 296974 760058 561894 727341)

                            Первые 107 десятичных знаков множителей одинаковые. Видимо, ваш генератор случайных чисел генерирует не настолько уж и случайные числа.
                              0
                              Спасибо!

                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                    Самое читаемое