How to become an author
My feedAll streams
Search
Write a publication
Pull to refresh

Comments 29

Когда дойдёте до дуальных чисел - не забудьте рассказать, почему коллега Фробениус их числами не считает)

Rating is hidden

Тоже увлекаюсь изобретением новых чисел, но - по-взрослому) Таких, о которых упоминания в википедии нет. Например - "Фибоначчионы", по аналогии с комплексными и дуальными, но с правилом ф^2=ф+1 (здесь ф это мнимая единица). Тогда (a+ф*b)*(c+ф*d)=(a*c+b*d)+ф*(b*c+a*d+b*d). А своё название они получили исходя из наблюдения, что, например, (3+5*ф)*(8+13*ф)=89+144*ф

Но практического применения я им не нашёл, поэтому дальше исследовать этот вопрос и тем более писать статью, неинтересно.

Другие, дробно-рациональные и расширенные дуальные числа - наоборот, решают конкретную проблему деления на ноль, возникающую в задаче барицентрической интерполяции. И там тоже наоборот - много интересного, в частности, связь с функцией синуса и гармонического числа - но для хабра это уже слишком круто, а в серьёзный математический журнал писать я пока не готов, и тем более на английском. Черновик показывал близким, не самым глупым людям - никто ничего не понял. Ну значит моё время ещё не пришло)

Rating is hidden

Рассмотрим и ваши "Фибоначчионы" тоже, но в матричном представлении.

Rating is hidden

Узнаю апологета матричных вычислений) Но конечно - только двумя руками за, особенно, если вы сможете извлечь таким образом больше, чем я смог извлечь чисто алгебраическими методами. В частности, функции экспоненты и логарифма. Для дробных значений, естественно.

Rating is hidden

Интересно, так далеко я, конечно, не лез. Матричный формализм делает эту задачу чисто технической, переводя акцент на задачу сходимости соответствующих формальных сумм. Впрочем, хоть я и физик, мне оказались ближе не матрицы, а подход геометрической алгебры Клиффорда, в которых трансцендентные функции определяются достаточно изящно и имеют зримый смысл. Однако "Фибоначчионы" классическими методами Клиффорда не описать, поскольку мнимые единицы не "единичны".

Rating is hidden

Так это ж самое интересное - обобщённые формулы, аналитические продолжения и неожиданные соотношения. Следующий очевидный шаг - это определить деление, что можно сделать через решение системы уравнений и получается

\frac{a+ \phi b}{c+ \phi d}=\frac{a (c+d)-b d}{c^2+c d-d^2}+ \phi \frac{b c-a d}{c^2+c d-d^2}

По этой формуле (которой в Википедии нет) можно двигаться по числам Фибоначчи (и кстати Люка тоже) уже и назад, а заодно и точно знать, когда результат будет целым.

Аналогичным образом можно и квадратный корень поискать, для одного из я нашёл формулу

\sqrt{a+\phi b}= \frac{\Phi ^2 \sqrt{a-\frac{b}{\Phi }}+\sqrt{a+b \Phi }}{\Phi (2 \Phi -1)}+\phi\frac{ \left(\sqrt{a+b \Phi }-\sqrt{a-\frac{b}{\Phi }}\right)}{2 \Phi -1}

где \Phi это золотое сечение. Возможно это связано с тем, что равенство \Phi^2=\Phi+1также имеет быть? Какая формула для второго корня? А их точно только не больше двух? Так много вопросов и так мало ответов, на поиски которых можно угробить остаток жизни.

Rating is hidden

Если Вы рассматриваете расширение над вещественными числами R, то многочлен Ф^2=Ф+1 имеет корни, а значит есть делители нуля и проблемы с делением.

Rating is hidden

Делители нуля есть, но проблем с делением я не вижу. Я не понимаю, почему -1+1=0 это норм, а -1*1=0 - это ужас-ужас. Более того - именно делителя нуля в дуальных числах позволили мне решить проблему с делением на ноль в барицентрической интерполяции.

Rating is hidden

Причем тут ужас? Просто формулы деления пригодны не для всех элементов. Есть необратимые элементы

Rating is hidden

Деление там было определено не для получения обратного элемента, а для движения в обратную сторону по числам Фибоначчи. Соответственно, и рассматривать имеет смысл не всё множество возможных сочетаний, а только подмножество соответствующих рекуррентному соотношению Люка.

Rating is hidden

Фибоначчионы - это же кольцо вычетов из многочленов P[x]/(x^2 - x - 1), нет?

Rating is hidden

Если речь идёт о числах, то ими могут быть расширения Q или Z решениями этого квадратного уравнения.

Rating is hidden

Если над R, то получаем алгебру изоморфную декартовому произведению R×R (сложение и умножение по-компонентное)

Rating is hidden

Над R не интересно, в нём уже есть золотое сечение.

Rating is hidden

Нет скорее арифметики Пеано.

В арифметике Пеано тоже довольно трудно определить вычитание.

Rating is hidden

И даже более точно, это дух Алонзо Чёрча и его нумералов в чистом лямбда-счислении.

Rating is hidden

Натуральные числа вводятся через палочки (аксиомы пеано).

Rating is hidden

Ну я-то это знаю, а в статье этого не хватает. Построение натуральных чисел намного интереснее, чем построение целых из натуральных.

Rating is hidden

Натуральные числа в "построении" не нуждаются. Нетривиально было придумать аксиомы, но натуральные числа очевидны буквально детсадовцу, они буквально соответствуют кучкам с палочками.

Rating is hidden

А индукция насколько очевидна детсадовцу?

Rating is hidden

Вы кажется путаете математическую интуицию и строгий вывод. Индукция - самый очевидный прием мышления, основан на повторении предыдущего опыта.

Сама математика формально (на базе теории множеств) была переписана только в 19 веке, до этого алгебру, тригонометрию и начала анализа вывели "на пальцах", используя актуальную бесконечность и другие нестрогие штуки.

Актуальная бесконечность - как раз вполне понятное детсадовцу понятие, например чит на "бесконечные патроны" в игре. Имеется в виду именно актуальная бесконечность, потому что если зарядить автомат "потеницально бесконечной" обоймой, то вставка патрона займет бесконечное время, и он стрелять не будет (шутка про аксиому выбора умышленная).

Rating is hidden

Этот чит именно что прорпотенциальную бесконечность, иначе автомат мог бы выстрелить за раз бесконечное число патронов, что детсадовец даже представить не сможет.

Ну а отрицательные числа в аксиоматике пеано вводятся так же просто как и натуральные, без введения куда более сложных конструкций в виде пар и их классов эквивалентности.

Rating is hidden

Статье очень не хватает описания применённого трюка на уровне идеи (не уверен, что готов "предложить" - т.е. сформулировать его, но статья явно станет лучше).

Если не понимать что происходит - то читать крайне тяжело, т.к. изложение постоянно перепрыгивает с "чисел и равенств" к "классам и эквивалентности" (да даже понимая что происходит проверить формальную корректность крайне муторно).

В целом довольно похоже на построение множеств чисел в арифметике пеано та вычислительном базисе частично-рекурсивных ф-ий, где однажды определив вычитание мы не вводим ф-ию "минус", а просто тащим уменьшаемое и разность в виде пары.

П.С.

А приведённая ниже часть - несомненно кокетство. Эту теорию, даже на приличных инженерных-компьютерных факультетах (например моей группе в НИУ ВШЭ) не давали. Подозреваю давали только математика.

⚠ Предупреждение! Первые две статьи достаточно техничные. Они нужны для полноты изложения и носят дидактический характер, полезный для того, чтобы приобщить маткружковцев к духу математики. Однако особых открытий они в себе не таят.

Rating is hidden

Вы правы, технические детали загромоздили общий смысл подхода, который состоит в повышении "качества" числовых систем от полугруппы к кольцу, от кольца к полю с помощью простого расширения примитивных систем. Я изложу эту мысль более точно в следующем материале, поскольку дальше планирую перейти от числовых систем к геометрическим алгебрам Клиффорда, очень красивым и полезным.

Rating is hidden

Посмотрел ваши статьи.
С интересом подписался.

Rating is hidden

Ещё камешки и палочки можно записать как 7 x+ 3 y или 3 y+7 x, неважно. Если хотим добавить ещё пару камешков, то 7 x+ 3 y +2 x=9 x+3 y. Чтобы узнать количество предметов, нужно положить x=y=1. Чтобы узнать общий вес, нужно вместо 1 задать вес для каждого типа предмета. Но это же и так все знают)

Rating is hidden
Sign up to leave a comment.

Articles

Your account

Sections

Information

Services

Support
© 2006–2025, Habr