Comments 121
Как прекрасен бывает мир, если не знать математику (и физику).
Во-раз: дайте определения (читай задайте аксиоматику) чётности, а главное - чисел, над которыми работаем. Например, берём ZFR для чисел и уже п.3 ломается, т.к. мы уже не можем легко записать формулу a/b=c в виде a/c=b.
А дальше то, что Вы делаете фактически - вводите какие-то разные определения чётности и доказываете, что они друг другу либо эквивалентны, либо нет.
Итого: современная математика непосредственную тему чётности, а так же почему вообще такие вопросы возникают и как с ними работать, разобрала вдоль и поперёк. Просто нужно пойти и почитать скучные учебники для ВУЗов.
Как прекрасен бывает мир, если не знать математику (и физику).
Слышали что-нибудь про "доказательство от противного" и "проверочный расчёт"?
вводите какие-то разные определения чётности
Не "ввожу", а "беру".
Не "определения", а "свойства".
Не "доказываю", а "использую".
Просто нужно пойти и почитать скучные учебники для ВУЗов.
Там нет ничего противоречащего написанному мной.
Если найдёте - покажите две цитаты (мою и из учебника).
З.Ы. Кстати, кроме школьного "доказательства от противного" и вузовского "проверочного расчёта", есть ещё один полезный приём.
Если Вам хочется использовать красивые фразочки из борьбы с лженаукой и мрекобесием, или просто возникло ощущение, что Вы прям на 100% правы, то надо сразу же останавливаться и целенаправленно идти искать собственную неправоту.
Четное число, это такое, что может быть представлено формулой 2 x N, где N - произвольное целое. Остальные - нечетные. Т.е. пользуйтесь правильным определением.
Что значит правильное определение?
По вашему определению "Пи" - нечетное, по другому более многословному "Пи" не является ни четным, ни нечетным. Вот у нас два определения одного и того же, ведущие к разным выводам. Как определить какое из них правильное?
По вашему определению "Пи" - нечетное,
Ну, да. Надо было написать, все остальные целые.
Что значит правильное определение?
Значит "та расшифровка слова, которую использующая этот язык группа людей считывает по умолчанию". Да, это звучит размыто. Но практически, в отношении "чётного"/"нечётного" консенсус вполне определён, если кто-то честно не знает и хочет узнать, его узнать не так сложно (можно начать с Вики).
По Вашей ссылке есть вот это.
Интересно тут два момента.
1) В разделе "Арифметика" есть те самые свойства, которые я использовал.
2) Кроме определения, не попавшего в скриншот, есть какие-то "Признаки чётности".
То есть, по Вашей же ссылке видно, вопрос чётности не ограничивается определением "делится на 2 без остатка".
Я даже хотел взять какой-нибудь учебник по алгебре вместо Вики, но на его страницу затруднительно дать ссылку. My bad. Вики (как и любая энциклопедия) полезна чтобы подсмотреть одно определение в области которую вы в целом знаете, но не чтобы выучить что-то с нуля.
Есть целые числа, Z. (Можно ограничится только натуральными, N.)
Мы договорились для a,b ∈ Z, b≠0 под фразой "a делится на b" понимать "∃ k ∈ Z : a = k*b". Мы договорились под фразой "a - чётное" понимать "a делится на 2". Мы договорились под фразой "a - нечётное" понимать "неверно что a делится на 2"
Из этого определения следуют свойства, вроде того что x*y делится на b если и только если x делится на b либо y делится на b. Или что a делится на 5 если его десятичная запись заканчивается на 5. Или что сумма двух равных друг другу чисел всегда чётная.
Если у вас на руках число n, и вы хотите понять, чётное ли оно, вам необходимо и достаточно показать соответствие определению. В данном случае n=0 это тривиально: "∃ k=0 ∈ Z : n = k*2". Всё.
Вы можете вместо прямого определения использовать какие-то ранее доказанные свойства (к примеру, заметить что 0 = 0+0), но следует соблюдать минимальную аккуратность - скажем, десятичная запись числа 30 не заканчивается на 5, но 30, тем не менее, делится на 5: "∃ k=6 ∈ Z : 30 = k*5". То что конкретное свойство не помогло вам ответить на вопрос о соответствии определению - не признак какой-то глубокой истины, это просто означает что вы выбрали неудачное для вашей задачи свойство.
То что конкретное свойство не помогло вам ответить на вопрос о соответствии определению - не признак какой-то глубокой истины, это просто означает что вы выбрали неудачное для вашей задачи свойство.
Скажите, если не секрет, что, по Вашему, я имел в виду на самом деле.
Потому что у меня чётко и однозначно сказано, что речь не про теоретическую математику, а про практическую перепроверку выводов/расчётов.
И приведённые мной примеры, идеально выбраны для этой задачи.
По всей видимости, Вы в это не верите, и считаете, что у меня есть какая-то иная мотивация, связанная именно с теоретической математикой.
Так что именно я, на самом деле, по Вашему мнению, имел в виду?
Потому что у меня чётко и однозначно сказано, что речь не про теоретическую математику, а про практическую перепроверку выводов/расчётов.
Вы решили проиллюстрировать это математикой - я отвечаю на уровне математики.
На уровне практических задач, что характерно, будет то же самое. Валидно ли писать *reinterpret_cast<std::atomic<int>*>(&val) = 42;? Если идти от правил языка, то ответ "конечно же нет, точка". А если считать что "практическая перепроверка" может быть использована вместо строгих рассуждений, то с одной стороны так нельзя, но с другой у Пети всё правильно работает, проверка не доказала невалидности, так что идея Васи "давайте срочно перепишем этот код" имеет "меньшую степень обоснованности"©.
Если вы хотели показать что-де существуют ситуации, когда правильный ответ по-прежнему совершенно недвусмысленный, но вот ваши эвристики проверки этого ответа могут дать сбой, то даю обратную связь: эту идею из текста лично я не считываю. Вместо этого я читаю нечто вроде "есть правила "для ЕГЭ", а вот если разбираться как на самом деле и делать разные проверки, то уже не так и бесспорно что 0 - чётное".
А если считать что "практическая перепроверка" может быть использована вместо строгих рассуждений, то с одной стороны так нельзя
"может быть", предполагает, что Вы сам можете выбирать вариант, а это иллюзия.
Жизнь - дерьмо.
Люди- идиоты.
Ошибки - неизбежны.
Строгие вычисления есть лишь в мечтах.
Поэтому, постановка СОБСТВЕННОГО результата под сомнение и поиск методов, позволяющих перепроверить самого себя, является обязательной, и её проведение зависит не от того, хотите Вы строгое рассуждение или нет, а от того, окупится ли эта перепроверка ресурсно/экономически. Например, если я готов дома выкинуть половину купленной картошки, то мне не обязательно делать в магазине строгую проверку качества.
Вот такой выбор есть. А выбора "строгие рассуждения" нет.
Если вы хотели показать что-де существуют ситуации, когда правильный ответ по-прежнему совершенно недвусмысленный
Я сказал именно то что хотел - что правильность этого ответа совершенно не важна.
Вместо этого я читаю нечто вроде "есть правила "для ЕГЭ", а вот если разбираться как на самом деле и делать разные проверки, то уже не так и бесспорно что 0 - чётное".
Слово "читаю" предполагает, что это было написано. Если у меня не написано того, что Вы якобы читаете, то Вы не читаете, а выдумываете.
И в этом ещё одна польза от подобных примеров. Они высвечивают проблему с тем, что люди видят чётко и однозначно написанный текст, но им хочется поспорить и они начинают додумывать за автора.
И проблема тут в том, что сторонний наблюдатель может не понять происходящее и решить, что то, с чем спорит читатель, действительно было написано или, хотя бы, подразумевалось в обсуждаемом тексте
Слово "читаю" предполагает, что это было написано. Если у меня не написано того, что Вы якобы читаете, то Вы не читаете, а выдумываете.
Хорошо, выражусь аккуратнее. По результату прочтения у меня (и, сужу по комментариям, кажется не только у меня) сложилось впечатление, что статья защищает так описанную точку зрения. Если, с вашей точки зрения, это неинтересная вам аберрация восприятия случайного комментатора, то ОК. Вы спросили что, по моему мнению, вы имели в виду - я ответил.
Вот такой выбор есть. А выбора "строгие рассуждения" нет.
Строгий ответ, тем не менее, существует. Да, он вполне может оказаться невычислим доступными ресурсами. Именно поэтому мы полагаемся на эвристики. Но тогда критично понимать, что если эвристика говорит Б, то ответ не обязательно Б, и если он на самом деле не Б, то прислушаться к эвристике будет вашей ошибкой. И иллюстрации этого в примере с нулём я не вижу, более того, считывается (субъективно, как моя частная точка в статистике чтения) отношение "неважно какой строгий ответ, важно что сказали мои любимые эвристики".
Но если вы запустите ракету по эвристикам, и выданная ими программа запуска на самом деле неправильная - извините, в реальности ракета сегодня на Луну не полетит. Если ваши эвристики сказали "х.з. хозяин, мы понятия не имеем, чётное ли число ноль", и вы на этом основании обзавелись убеждением "0 - может чётное, может нечётное, может и то и другое одновременно, смотри "0 - неотрицательное"", то вы впустили себе в голову ложное убеждение. В модельном примере это выглядит как too clever for their own good - что вы запутали сами себя на ровном месте.
И иллюстрации этого в примере с нулём я не вижу, более того, считывается (субъективно, как моя частная точка в статистике чтения) отношение "неважно какой строгий ответ, важно что сказали мои любимые эвристики".
Там явным образом написано, что это просто не важно.
Вопрос о том, является ли ноль чётным числом, не имеет никакой ценности.
Чётность как таковая, имеет практическую ценность, потому что связана с вопросом о возможности справедливого деления пополам или подсчёта голосов при принятии дихотомичного решения "да или нет". В случае с нулём такого вопроса не стоит.
В целом же, свойство "нацело делится на 2" ничем не отличается от свойства "нацело делится на ЛЮБОЕ ДРУГОЕ ЧИСЛО".
В реальности, вопроса о чётности нуля просто нет.
Если ваши эвристики сказали "х.з. хозяин, мы понятия не имеем, чётное ли число ноль", и вы на этом основании обзавелись убеждением "0 - может чётное, может нечётное, может и то и другое одновременно, смотри "0 - неотрицательное"", то вы впустили себе в голову ложное убеждение.
Но есть у этой темы и практически полезные свойства.
С одной стороны, Вы вроде бы даже согласились с тем, что нафантазировали и приписали мне то, чего у меня в тексте нет.
Но, с другой, это не привело к тому, что Вы остановились, рассмотрели гипотезу "а что если я нахожусьв плену своих фантазий" и перечитали обсуждаемый текст с самого начала, исходя из этой гипотезы.
Вы продолжаете выдумывать вещи, которые потом успешно разоблачаете.
" вы запутали сами себя на ровном месте. " (с) @Abstraction
вроде того что x*y делится на b если и только если x делится на b либо y делится на b
Именно, что вроде того :), а то 2 х 2 на 4 не делится :)
Отличный скрин. Ноль проходит проверку сложением и вычитанием 🤷 Вы нарочно не стали включать эту проверку?
Т.е. пользуйтесь правильным определением.
N это натуральные числа.
Натуральные числа по определению не включают в себя НОЛЬ, а значит, использованная Вам формула не имеет отношения к вопросу о чётности нуля.
Всё верно?
Я, вроде, написал, что произвольное целое.
Натуральные числа по определению не включают в себя НОЛЬ
По какому именно определению? Я же вам уже подсказывал, что вы проблематику чётности нуля, скорее всего, путаете с проблематикой его принадлежности к натуральным числам. Последнее - это как раз конвенциональный вопрос.
Нет, не путаю.
Вы в очередной раз отвечаете на то, чего не поняли.
Если пройдётесь вверх по обсуждению, то обнаружите, что я говорю о том, что если опираться на предложенную формулу " 2 x N ", то ноль не входит в множество чётных чисел, потому что в данной формуле использовано обозначение натуральных чисел, а значит, эта формула на ноль не распространяется.
в данной формуле использовано обозначение натуральных чисел
Скажите спасибо, что какую-нибудь готическую букву не использовал. Или 整数. И не надо провоцировать меня на политику.
Нет, не путаю.
Путаете без вариантов. Я даже сейчас на пальцах покажу ;)
Вы в очередной раз отвечаете на то, чего не поняли.
Это вы, в очередной раз, пытаетесь рассуждать о том, чего не понимаете. И зачем вы так набрасываете? Где это я чего не понял? ;)
в данной формуле использовано обозначение натуральных чисел, а значит, эта формула на ноль не распространяется.
Вам в которой раз это повторить? Принадлежность нуля к ряду натуральных чисел - контекстуальный вопрос!
А вот принадлежность его к чётным числам - однозначный вопрос!
В математике есть такое понятие - "необходимо и достаточно".
В ваших рассуждениях описывается - "достаточно". Например, достаточно того, что число кратно 4, чтобы утверждать, что это число - четное.
Достаточно и того, что в двоичном представлении первый бит чётных чисел всегда 0, а у нечётных - 1.
Например, достаточно того, что число кратно 4, чтобы утверждать, что это число - четное.
Отличный пример. Использовать достаточный критерий не входящий в множество необходимых, это прям очень хорошо.
Тут есть важный момент, который я прямо оговорил в тексте. Речь не о математике, которую мы предполагаем идеальной, то есть, безошибочной в рамках расписанной логики.
Речь о людях и прикладной деятельности. А людям свойственно ошибаться как при реализации логики в числовом виде, так и в расписывании самой логики.
Именно поэтому существуют использованные мной подходя проверочного расчёта и доказательства от противного.
А ещё, существуют ошибки в записывании и решении уравнений в символьном виде, то есть, в самоё логике.
Поэтому, "достаточно чтобы утверждать", сильно зависит от ситуации, контекста и того что стоит на кону. И, на практике, в случае необходимости, надо быть готовым к тому, чтобы проверить полученный результат другими способами.
В итого, вы иллюстрируете своими рассуждениями - не полезность проверочных расчётов, а то, что эти расчёты могут быть ошибочными или не работать. В каждой из ваших проверок есть неточность или ошибка, приводящая к некорректности в нуле. Введёте в ход проверки предварительное вычитание (x:=x-16) - получится, что непонятно - чётное ли число x=16.
В каждой из ваших проверок есть неточность или ошибка, приводящая к некорректности в нуле.
В чём неточность или ошибка в разделе "2. Проверка умножением"?
16/2=7 — чётное
А что если нет?
Меняем 2 на другие числа.
1*7=7 — неверно
2*7=14 - неверно
3*7=21 - неверно
16/2=7 — чётное
Полагаю, за этой строчкой у Вас есть какая-то идея, которую Вы считаете очень умной и очевидной.
Не поделитесь?
Ваш проверочный расчет приведен для априори чётного числа X и известного частного X/2. Как это будет для нечетного числа или для неправильно вычисленного частного?
Иначе "проверка умножением" вообще бессмысленна. Если существует Y, такой что X/2=Y, то X - чётно, и в результате ваша проверка делит все проверяемые числа на 2 категории - ненулевые четные и ноль, нечетных как бы и нет.
Как это будет для нечетного числа или для неправильно вычисленного частного?
Великолепно будет
1*7=7 — неверно
2*7=14 - неверно
3*7=21 - неверно
Вариант, который должен быть совпадающим с исходным числом (16) с ним не совпадает. Это значит, что Вы не можете быть уверены в том, что изначальное деление было выполнено правильно, а значит, не можете быть уверены и в том, что исходное число является чётным.
Это значит не то, что 16 является нечётным, а то, что с использованием данного метода Вы не смогли подтвердить или опровергнуть его чётность.
При этом, полученный Вам результат не является одним из ожидаемых закономерных вариантов, поэтому, Вам стоит перепроверить логику, вычисления и прочие сбои.
Ну и, да
В итого, вы иллюстрируете своими рассуждениями - не полезность проверочных расчётов, а то, что эти расчёты могут быть ошибочными или не работать.
В подобных обсуждениях меня неизменно восхищает тот факт, что какие-то люди, полагающие что они со мной спорят, критикуют меня, разоблачают, обличают и многое другое - в какой-то момент выдвигают в качестве разоблачения то, что у меня было изначально написано.
У меня явным образом написано
" Это значит, что проверки у нас нет и мы не можем подтвердить "
" У нас снова нет возможности использовать этот способ для проверки "
" Проверка не работает. "
" Проверка не работает. "
В природе существуют только натуральные числа 1,2,3... 0 - это абстрактный результат операции 2 - 2 или 3 + 2 - 5 (добавления и изъятия палочек), вообщем все остальные числа (рациональные, вещественные, трансцендентные, комплексные) это что-то из разряда g(x) {return f(x)}, поэтому необходимо начать с той функции которая этот 0 получает. Чётность/нечётность также может быть выражена через остаток от деления на 2: 0 - чётное, 1 - нечётное. Равенство a/b=c можно записать в виде a/c=b но с припиской ОДЗ b,c≠0, то есть это контейнер {a/b-c=0, a/c-b=0,b≠0,c≠0}, везде где есть операция деления есть неявный полюс.
И нет никаких натуральных чисел, это тоже абстракция какая-то, причем бесконечная. Есть только "1" и "+".
В природе существуют только натуральные числа 1,2,3...
Тройка - последнее? Нет? Тогда покажите мне его, чтобы я мог добавить еще один объект и сказать, что вы врете. :)
А вот это интересный вопрос, можно показать, что существуют помимо контейнера [], содержащего упорядоченные элементы, ещё внешний, имеющий дополнительный элемент, показывающий следующий, как в односвязном списке, а сами контейнеры [] размещены во множестве {} (не содержащим одинаковых элементов), например, {{[1,2,3],1},{[4,5],2},{[6,7],3}}. Иными словами, можно ли бесконечную последовательность чисел заменить бесконечной размерностью пространства (количеством осей), содержащим ссылки друг на друга (операцию отображения). Да и сама бесконечность представлена конечным информационным объёмом, хотя бы 16 бит ∞. И над ней формально установлены свои правила как над числами.
Это ж математика. Набор аксиом не полон, следовательно, выражаясь бытовым языком: всё - не правда, всё - вранье. И вообще, научный поиск не окончен и не кончится, следовательно, "не всё так однозначно", "всей правды мы не узнаем". )
Вопрос в другом - что этот набор закрывает 99.9(9)% проблем а остальные 0.0(0)1 пусть ищет нейросеть, которая сама по себе есть статистика. С этим согласился даже комитет CGPM по мерам и весам, профиксивший в СИ величины постоянной Планка, числа Авогадро, заряда электрона и других. Теперь уже нет погрешностей измерения в последних знаках а принимается точное численное значение пригодное для всех текущих и перспективных устройств. Потому как 99% производственных проблем можно решить цифровым мультиметром, а 100% - в гаражном кооперативе стрелочным.
всё - не правда, всё - вранье.
"не правда" != "враньё" , неположительный ноль тому свидетель. :)
Именно это и является главной концепцией логических функций. Изначально всё ложь и враньё, то есть 0. А 1 есть не O, или O̅ (к сожалению юникод верхней черты u0305 не работает с числами), ну или ∅ или ∅̅. То есть истина это то что не ложно. Собственно это и используется в C: if (x) {}. Всё что внутри приводится к целому значению, если оно равно нулю - условие не срабатывает, если отличное от нуля (целое), то сработает.
В природе вообще нет никаких чисел, они есть только в сознании людей.
В этом случае природы также не существует, так как это иллюзия у человека, показывающая то что его окружает. То есть не существует ничего а только рефлексия. Вообщем лямбда-функции. Которая описывает не сами сущности а их взаимодействие. Что числа - это нечто, между чем можно установить соответствие предыдущий-следующий или хотя бы классифицировать (разделить) их. Это кстати новое направление, как результат работы нейрона, что при классификации объектов он скажет что это скорее всего 1 нежели 2 или кубит в запутанном состоянии.
но с припиской
А вот это причина того, почему проблема чётности нуля существует - ноль, часто, выпадает из закономерности и требует прописывания для себя исключений и, как следствие, договорённостей о его поведении.
Ну, только факториал вспоминается
Факториал следует общему правилу "сумма пустого множества слагаемых определена и равна 0, произведение пустого множества множителей определено и равно 1", которое очень-очень удобно в дискретной математике.
Век живи, век учись. Но если про сумму я возражать не стану, особенно если говорить про вещественные числа и физику, то вот умножение, даже не знаю что сказать. Поэтому для меня факториал нуля, это гамма-функция в единице, кажется. Это ведь не аксиома?
Это ведь не аксиома?
Если это договорённость, то это аксиома.
С умножением та же логика (что хочется чтобы произведение некоторого множества было равно произведению произведений по разбиению, и эта логика не ломалась бы если какие-то множества в разбиении пустые).
Опять же, для положительных множителей хочется общее правило "логарифм произведения равен сумме логарифмов".
Факториал обычно определяется или впрямую как произведение всех натуральных из [1,n], или комбинаторно, как количество перестановок n-элементного множества. То что n! = Г(n+1) - теорема, не определение.
произведение пустого множества множителей определено и равно 1"
А давайте определим факториал единицы, как двойку?
чётность/нечётность нуля
положительность/отрицательность нуля
факториал нуля
деление на ноль
Ну ещё есть мелочи.
Мы можем легко записать формулу a/b=c в виде a/c=b , и при этом равенство будет оставаться верным
Если прогулял математику за 5 класс и пропустил урок про деление на 0.
Вы не согласны с тем, что процитировали?
Да, не согласен. Из первого выражения следует только b*c=1*a
b*c=1*a
1*b*c=1*a
Вы не можете домножать на какое-то число только одну сторону равенства, надо либо обе, либо ни одной.
Собственно говоря, трансформация a/b=c в a/c=b происходит в три этапа
a/b=c
- делим обе части на c и получаем a/(с*b)=c/с
- умножаем обе части на b и получаем (a*b)/(с*b)=(b*c)/с
- сокращаем дроби и получаем a/с=b
Вообще, прелесть данной ситуации в том, что люди спорят не с тем, что я написал, а с тем, что я, по их мнению, имел в виду.
Они видят что я написал 2+2=4 , потом фантазируют на тему моих истинных намерений, не соглашаются с выдуманным ими же и начинают оспаривать написанное мной 2+2=4 .
Вы бы поаккуратнее с делением. Делить свободно можно только на обратимые элементы. Если мы говорим только о целых числах, то всегда делить можно только на плюс/минус единицу. Ведь числа 2/5 нет в целых. Если говорим о рациональных (или любом поле) - то делить можно на любое ненулевое число.
То есть, проверку, основанную на домножении и делении обоих сторон равенства, можно делать со всеми целыми числами, кроме нуля?
Нельзя свободно обращаться с делением:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Математический_софизм#Деление_на_ноль
Ну вы бы ещё в квадрат начали возводить и корни потом извлекать - так, к слову, можно "доказать" что 2*2=5))
Достаточно деления, чтобы получить доказательство ;)
Как Вы тонко подкололи человек, считающих, что для подтверждения чётности достаточно лишь деления на 2.
Прям отлично!
Не так. Для доказательства что 2х2=5 достаточно деления на 0. Доказательство четности предлагаю начинать с определения понятия четности.
Доказательство четности предлагаю начинать с определения понятия четности.
Когда я написал, что, кроме математики, Вы прогуляли русский язык и литературу, я имел в виду, что Вы не осилили текст, который, якобы, комментируете.
По мнению автоматов Хабра, там на 6 минут чтения.
не осилили
Правильно - ниасилил. Там многабукав. Определения они обычно короткие.
Что именно такого я написал в исходном тексте, после чего у меня, как у автора текста, возникла обязанность подкрепить сказанное с помощью определения доказательства чётности?
Доказывайте
Нельзя делить на 0. Т.е. эти формулы действуют только, если b и c не равны 0.
То есть, эту формулу можно использовать для проверки правильности определения чётности для всех целых чисел, кроме нуля?
Напомните плз определение четного числа. А то я математику тоже прогулял ;)
тоже
Вы ещё и русский язык и литературу прогуляли, да?
Хорошо же сидели, общались.. а потом он вдруг достал нож и давай им размахивать..
А ноль это число? Ноль это ничего, пусто. Число выражает некоторое количество. В случае нуля нет ничего.
'0' - это символ. '1' - тоже символ. Мы можем договориться, что эти символы что-то выражают. Скажем, мы можем заметить за собой некоторую интуицию - что наборы из "трёх коров", "трёх карандашей" и "трёх камней" имеют что-то общее. Это что-то мы можем попытаться записать символом '3'.
После этого мы можем заметить, что (при некоторых условиях) возникают изоморфизмы между символами и внешними событиями. Например, если у меня было восемь кубиков, которые раскатились по полу, то я могу держать в голове "осталось 8", собирать кубики и изменять удерживаемое в голове: "осталось 7", "осталось 3", "остался 1". В этих правилах манипуляции символами практически полезно иметь символ '0' (в нашем сценарии, мысль "осталось 0" - это эмпирическое предсказание "теперь можно выдохнуть и заняться другими делами, не опасаясь наступить на кубик").
Символом '0' я при этом манипулирую по тем же правилам, что и символами '1', '3', '8'. Поэтому в той мере в которой какие-то наборы символов вообще полезно называть словами, полезно называть весь этот набор символов, включая '0', каким-то общим словом. Это может быть слово "числа", это может быть "неотрицательные целые", это может быть "мумзики" (хотя в последнем случае окружающие вас вряд ли поймут правильно).
Если пытаться построить стройную общую систему в том, как мы манипулируем этими символами, можно прийти к концепциям "множества" и "мощности". В этом случае есть набор мощностей множеств (кардинальных чисел), который включает "0" как мощность пустого множества.
То, что ноль среди чисел необходим не вызывает сомнения. Но очевидно он обладает уникальным значением по сравнению с остальными числами. Если все числа отражают некоторое количество, то ноль отражает отсутствие чего-либо. Отсюда и возникает вопрос какой смысл ничего делить на 2 или любое другое число. Оно не делится на 2. Как было ничего, так и останется ничего. Ну без остатка, да, но по прежнему ничего.
какой смысл ничего делить на 2 или любое другое число
Например для отслеживания инвариантов. Если я могу доказать что в некоторой ситуации утверждение A(n) верно только если n нечётное, то я автоматом знаю что A(0) неверно.
Здесь, конечно, существенно что "чётность" - эмпирически полезное понятие, которое умеет возникать в самых разных задачах. Никто не мешает мне изобрести свойство "ц-чётность", такое что 2, 4, 6, ... - ц-чётные, а 0 - нет, но засада в том, что на практике я намного чаще смогу получить результат вроде "A(n) верно только если n нечётное", чем "A(n) верно только если n не-ц-чётное".
Неотнесение нуля к нечётным, не делает его чётным.
Неотрицательность нуля тому свидетель. :)
Неотнесение нуля к нечётным, не делает его чётным.
Если честно, я плохо понимаю - то ли вы действительно не видите подлежащих строгих форм используемых утверждений, то ли намеренно стараетесь не понять сказанного, то ли что-то третье.
Если первое, то (∀n∈N (∃ k∈N n=2k → ¬A(n))) → ¬A(0). (N - множество конечных кардиналов, включающее Card(∅) = 0.)
Если все числа отражают некоторое количество, то ноль отражает отсутствие чего-либо.
Или присутствие в количестве 0(ноль).
А ноль это число?
В рамках и целях обсуждаемого текста, ноль рассматривается как целое число.
При этом, отсутствие информации о количестве чего-то НЕ приравнивается к наличию информации о наличии этого чего-то в количестве 0(ноль).
Но это отдельная тема.
Давайте пойдем с древних греков. У них когда-то не было понятия нуля. Поэтому они оперировали только натуральными. Предположим, что мы из определения четности можем показать, что любое четное число можно представить как 2*N, а нечетное как 2*N +1. Очевидно, что {чет+нечет=нечет; нечет+нечет=чет; чет+чет=чет}. Из этого следует, что для целых чисел 0 - четное число, потому что 2+0 - четное 3+0 - нечетное. Далее я могу предложить автору порассуждать четное ли число допустим 0,2(по определению оно нацело делиться не будет) или 2i, где i - мнимая единица, а так же отдельная дисциплина - четно или нет число пи.
а так же отдельная дисциплина - четно или нет число пи.
Чётность/нечётность, по определению, может быть только у натуральных и целых чисел. Ну и у рациональных чисел, являющихся инвариантов какого-то натурального или целого числа.
На 3.14 это понятие не распространяется, вне зависимости от того, рациональное оно или нет.
Там просто нет оснований для того чтобы вопрос поднять.
Или есть?
А ведь КДПВ шикарна!
С Кипом Торном согласовано использование формул? (шучу)
Четные целые числа это в точности главный идеал кольца целых чисел, порожденный элементом 2.
0 лежит в пересечении всех идеалов для любого кольца. В том числе для целых чисел. Значит лежит в любом его идеале. Значит лежит в идеале, порождённом 2. Значит чётное
Вообще говоря проблема серьёзная, если присмотреться к проблемам Гильберта (23 знаменитые задачи, одну из них Перельман решил по гипотезе Пуанкаре). Особенно про Зета-функцию Римана, за которую миллион полагается. Так вот её значение от чётных чисел есть степени числа π, а в нуле оно равно -1/2 (1+1+1). Вот здесь по-видимому и кроется настоящее отличие чётных от нечётных.
@Andy_U, к вопросу об исключениях для нуля.
В общем виде формула для натуральных чисел, и исключение для нуля.
Разве инициализация рекккурентной функции - это исключение? Вот B1 != 0 это да, остальные нечетные - нули.
Разве инициализация рекккурентной функции - это исключение?
Инициализация может быть частью общей закономерности, а может и не быть.
Изначальная формула суммы ведь не имеет исключений и общий вид на всём диапазоне.
Да и в целом это не важно - исключение это просто факт оговаривания отдельных условия. Если для B0 оговорено отдельное условия, то это исключение.
Вот B1 != 0
Учитывая тему, выскажу смелую версию
Бернулли делал формулу для натуральных чисел, то есть - начинающихся с 1. Поэтому, у него формула встаёт в раскоряку не на 0, а на 1. Не исключено, изначальный смысл расчёта таков, что значение B1 не важно. Ну, типа, то слагаемое, в котором оно могло бы себя проявить, обнуляется и потому B1 может быть любым.
Интересно, можно ли поиграть B0 так, чтобы B1 стало равным нулю, а остальное бы осталось по прежнему? B2 должно быть пофиг на то, как B0 и B1 между собой распределили веса.
Бернулли делал формулу для натуральных чисел
См. первую формулу на страничке, с которой вы screenshot сделали. Там в правой части сумма по s от нуля и до k. Можно, конечно в левой стороне сделать сумму с единицы, но мне лень Maple запускать.
См абзац над этой формулой.
Я намекал на то, что Бернулли не делал формулу для натуральных чисел. А так, да и отсюда видно, что индексация с нуля. Или я вас не понял.
Там нет строчки "n в нулевой степени".
Граница реальности, в которой существуют числа Бернулли, проходит не через 0, а через 1. И моя идея в том, что человек, который разрабатывал исходную формулу, в своей голове упирался именно в 1. И там должно быть то, что Вы обозначаете как инициализацию, а я - как исключение. В любом случае, это граница, а на границе закономерность должна ломаться.
Но......
Если посмотреть, на эту картинку (и другие источники в прошлом), то у Бернулли нет того, что мы с Вами называем B0 и B1 - у него всё начинается с 1/6.
Обведённое, это то, куда мы сейчас помещаем B0 и B1. А если их там не было, если они не часть закономерности, то и аномалией в самих числах Бернулли они не являются.
А это значит, что мой исходный комментарий в данной ветке не имеет смысла и обсуждаемые числа не являются исключением созданным именно для нуля.
Там нет строчки "n в нулевой степени".
Ну, вроде, формула из википедии верна и для k=0
Тут у нас два отдельных вопроса:
1) Формула в Википедии начинается от нуля и имеет оговоренное исключение для нуля. И он хоть и имеет отношение к теме, но менее интересный. Потому что исключение для нуля носит не принципиальный характер имеющий отношение к особым свойствам нуля, а, как Вы правильно указали, вызвано техническим вопросом (рекурентная формула в начале диапазона).
2) Гораздо более интересный вопрос о том, что B1 не равно нулю, как должно быть у остальных нечётных индексов, и нарушает закономерность. И при более подробном рассмотрении оказывается, что изначальная закономерность 300 летней давности начинается с того, что мы называем B3. И ещё 100-150 лет назад, числа начинались с 1/6.
То есть, указанное Вами B1 != 0 не является ни парадоксом, ни исключением. Это просто более поздняя химера, которая не является частью изначальной закономерности.
Это поучительная история о том, что прежде чем трактовать источник, надо узнать что он из себя представляет.
но мне лень Maple запускать.
А может запустите и сравните результаты для разных формул? :)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Бернулли#/media/Файл:JakobBernoulliSummaePotestatum.png
Вот здесь по-видимому и кроется настоящее отличие чётных от нечётных.
Вообще, есть ощущение, что вопрос чётности нуля это не про отличие чётных от нечётных, а про отличие натуральных от целых.
Например, потому что иллюстрация чётности на яблоках, перестаёт работать в случае с отрицательными числами.
Да и деление положительно/отрицательно так же опирается на натуральные числа - там ноль исключён из схемы и отрицательные числа это просто отзеркаленные натуральные.
Кстати, я не исключаю, что когда-то была дискуссия о том, распространять ли чётность/нечётность на целые числа, или оставить её как забавную ретро-диковинку для натуральных.
Del. Мимо.
Ноль чётный или нет?
Да, нечётный
Нет, не чётный
Голосовалка странная. Там должно быть 2 варианта:
- Чётный
- Нечётный
Слова Да и Нет сбивают с толку.
Когда автор хочет что-то сказать, по тексту это видно. Здесь видно обратное: автор ничего не хочет сказать, но хочет вызвать у читателей лютобешеное желание его опровергнуть)
Столько комментов под очевидным байтом. Стыдно за хабр.
Автор чётко, конкретно и многократно написал, что именно он хотел сказать.
У него вообще есть эта мерзкая привычка, писать в открытую то что он хочет сказать.
Хорошая попытка (нет), но нет
А мне нравится - в обсуждении хоть и присутствует много людей, которые не читали того с чем спорят и просто хотели бы вбросить стандартные фразы по типичному срачу, но есть и интересные содержательные комментарии.
Да и те, кто хотел бы вбросить стандартную кричалку, тоже полезны. Они выступают отличной иллюстрацией того, как ведут себя люди в обсуждениях.
Проблема чётности нуля как гимнастика ума