How to become an author
Search
Write a publication
Pull to refresh

Comments 44

В принципе, в этой постановке задача решается в уме, поскольку синус малого угла равен углу.
31415/180 = 15707/9.

То есть в уме надо разделить 157075 на 9, что не вызывает сомнений, равно 174527 и совпадает с Вашим ответом до 7 знака.
Total votes 54: ↑54 and ↓0+54
Верно. Это то же самое разложение в ряд, только ряд короче.
Total votes 11: ↑10 and ↓1+9
Экскурс в античную тригонометрию. Текст до хабраката мне показался слишком скудным для такой интересной статьи.
Total votes 8: ↑8 and ↓0+8
Спасибо за обратную связь, добавил параграф до ката. Исходно хотел сделать условие задачи как можно короче, чтобы можно было понять, не вчитываясь.
This comment wasn’t rated yet0
За 355/113 спасибо, правда не знаю, что проще запомнить, учитывая то, что 3.14 точно уже у всех отскакивает от зубов.
Total votes 2: ↑1 and ↓10
Но вот 3,1415926 отскакивает далеко не у всех.
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
Это я знаю и помню прекрасно, пи многие знаки мне лишни напрасны = 3,14159265358
Помню класса с пятого
Total votes 6: ↑5 and ↓1+4
How I want a drink, alchoholic of course, after the heavy lectures involving quantuum mechanics = 3,14159265358979
Total votes 12: ↑12 and ↓0+12
В копилку (менее точный, зато с рифмой):

Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число, ужъ знаетъ
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
«Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть»
This comment wasn’t rated yet0
IMHO запомнить «3, 14, 159, 26, 53, 58» намного проще, чем сначала выучить стишок, а потом ещё и считать количество букв в словах.
Для меня, во всяком случае.
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
у меня до 6 знака (3.141592) отскакивает. У жены — почти до двадцатого :) Для тренировки она себе пи до какого-то там знака на пароль поставила :)
Total votes 2: ↑2 and ↓0+2
Чтобы нам не ошибиться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть

Вполне себе от зубов :)
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
Нас вот так учили запоминать эту дробь:
image
Total votes 7: ↑7 and ↓0+7
Потому что 113355. Легче запомнить.
Total votes 25: ↑24 and ↓1+23
Есть мнение, что
а) иногда синус аппаратно считают через таблицы (аля Брадиса) с поправками до 3-ей степени. Для машинной точности типа double таблицы получаются не такие уж и большие по размеру, зато очень быстро — пара умножений и сложений;
б) иногда синус считают аппаратно разложением в ряд, в котором коэффициенты посчитаны заранее. Тоже остаётся только сложение и умножение.
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
a) Верно, именно так, например, считается синус в библиотеке C когда нет поддержки плавающей точки. Но на калькуляторах так делают редко. Умножение на калькуляторе — дорогая операция, а в CORDIC используются только сложение и сдвиги.

б) Я раньше тоже так думал, но на практике ни разу не встречал. Подозреваю, что это весьма редкое явление.
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
берём первые члены ряда Фурье для синуса, упрощаем/сокращаем и получаем простую формулу для синуса любого угла
Total votes 2: ↑1 and ↓10
Вы наверное имели в виду ряд Тейлора. Это как раз и есть первое из описанных решений.

Ряд Фурье для синуса будет очень коротким (все коэффициенты, кроме одного, равны нулю).
Total votes 12: ↑12 and ↓0+12
конечно же Тейлора, не внимателен (ещё их называют рядами Маклорена)
Total votes 2: ↑1 and ↓10
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
А ряд Тейлора частный случай ряда Лорана
Total votes 5: ↑5 and ↓0+5
Член какой придётся в пору, чтоб заправить в зад Тейлору?
Оба члена хороши: и Лагранжа, и Коши!
Total votes 26: ↑11 and ↓15-4
UFO just landed and posted this here
По первой картинке я уж подумал, что вычисление синуса будет с использованием ряда Тейлора с помощью Arduino, который будет сам кнопочки нажимать…
Total votes 2: ↑2 and ↓0+2
Я в одной из библиотек видел такой алгоритм — сначала по формулам приведения сводим аргумент к отрезку [0,pi/4], потом применяем к нему синус или косинус (в зависимости от того, какая функция получилась), заданный в виде аппроксимирующего многочлена (8-й или 9-й степени, в зависимости от требуемой точности).
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
Хабр — торт. Простой математический пример в статье, и множество комментариев с методами, алгоритмами, и т.п.
Total votes 8: ↑8 and ↓0+8
> Отношение 355/113 — это единственное приближение числа π рациональной дробью, которое короче десятичного представления аналогичной точности.

Ну, не единственное. В десятичной системе счисления ничего уникального нет. Но «единственное такое, что одновременно короткое и с отличной точностью» — это да.
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
Если брать относительный выигрыш — то может быть, других и нет. Странно, что в этом тексте нет упоминания о разложении в цепную (непрерывную) дробь. Казалось бы, чем больше член разложения, который мы отбрасываем, тем больше должен быть выигрыш в цифрах. Если 355/113 (отбросили 292) даёт 1 знак выигрыша, то приближение первыми 453293 членами разложения (отброшен член 12996958) должно дать 5, а то и 6 знаков.
Ещё странно сравнение sqrt(2) и «e». У sqrt(2) цепная дробь ограничена, поэтому выигрыша больше, чем в 1 цифру, мы не получим никогда, но у «e» её члены неограниченно растут (хотя и довольно медленно — линейно), и, грубо говоря, удлинение записи в 10 раз всегда будет давать лишнюю цифру выигрыша.
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
В комментариях пишут то же самое, про convergents of continued fractions. Их можно посчитать через WolframAlpha, например, Last[Convergents[Pi, 6]] = 104348/33215. Но выигрыша нет — надо запоминать 11 цифр, чтобы получить π с точностью 10 цифр.

В любом случае много цифр запоминать смысла нет, так что это уже искусство для искусства.
This comment wasn’t rated yet0
Ждём продолжения — как посчитать это же на камушках и римскими цифрами 8)).
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
Интересно, почему в вычислении синуса «по цифрам» не делалось округления при сдвиге:
вместо
int tx = c - (((s >> k) ^ d) - d);

было бы лучше (при k>0, конечно),
int tx = c - (((((s >> (k - 1)) + 1) >> 1) ^ d) - d);

Да и таблица арктангенсов в конце могла бы быть точнее. Выбросить 2/3 её, к сожалению, нельзя — поправочный коэффициент перестанет быть предсказуемым — но заменить вторую половину на обычное умножение (которое наверняка реализовано очень эффективно) было бы и быстрее, и точнее.
Впрочем, военным виднее. Они высоко летают.
This comment wasn’t rated yet0
почему в вычислении синуса «по цифрам» не делалось округления при сдвиге

Думаю, что для простоты. Попробовал предложенный вариант, получил тот же результат.

заменить вторую половину на обычное умножение

Умножение на калькуляторе — дорогая операция. В частности именно поэтому не используются приближения многочленами или рядами.
This comment wasn’t rated yet0
На физике нас учили, что
sin a ≈ a, если a -> 0

Пригодилось множество раз.
Total votes 2: ↑2 and ↓0+2
Ибо, первый замечательный предел
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
А аппроксимация полиномами Чебышева не подойдет?
This comment wasn’t rated yet0
Умножение на калькуляторе — дорогая операция, реализуется программно. А сложение и сдвиг — дешёвые, реализованы аппаратно. Поэтому и не используются приближения многочленами или рядами.
This comment wasn’t rated yet0
Умножение реализуется через сложение и сдвиги, так что ваше утверждение не очевидно. Функция умножения в любом калькуляторе уже реализована, скорость вычисления в пределах миллисекунд — удовлетворительно, т.к. операции всё равно вводятся вручную. Не вижу смысла отказываться от рядов, если алгоритм будет проще — аппаратная реализация будет в итоге проще и дешевле.
Total votes 1: ↑0 and ↓1-1
Посмотрите на картинку в начале статьи. Этот калькулятор питается от маленькой солнечной батареи, и даже солнца ему не надо — достаточно настольной лампы. Тактовая частота меряется не в гигагерцах и даже не в мегагерцах, а в килогерцах. Для него одно умножение занимает миллисекунды, а чтобы многочлен посчитать уже секунды уйдут, неприемлемо.

Разработчики калькуляторов это ещё в семидесятые годы прикинули и вышло, что CORDIC лучше. Разумеется, на более привычном процессоре помощнее всё может оказаться наоборот.
Total votes 2: ↑2 and ↓0+2
В бейсике «Спектрум» и во многих других бейсиках того времени для вычисления синусов использовалось именно разложение в ряд Чебышева. Думаю, дело в том, что в литературе по численным методам 80-х годов (всякие книги типа МакКракен и Дорн и т.д.) разложение в ряд Чебышева было самым продвинутым методом аппроксимации, которые рассматривались. Программисты подобного софта по большей части просто не знали, какие еще бывают методы.

CORDIC более перспективен для аппаратной реализации, т.к. не требуется умножение. На самом деле умножение — очень затратная операция по времени либо аппаратным ресурсам. Если разрабатывать микросхему, вычисляющую синус — то лучше отказаться от умножителя и реализовать CORDIC, чем использовать умножитель и аппроксимацию, основанную на умножении. То же касается ассемблерного кода для процессоров, не имеющих аппаратного умножителя.

Если есть умножитель, то несколько лучше, чем разложение в ряд Чебышева, применить аппроксимацию минимакс-полиномом. Коэффициенты такого полинома вычислить сложнее, чем Чебышева, но стоит только освоить алгоритм Ремеза — как трудности исчезнут. Аппроксимация же рядом Тейлора (Маклорена) — это очень неэффективный подход.

Если имеется много памяти — то лучше всего хранить в ней таблицу значений синуса и применять линейную интерполяцию для промежуточных углов. Линейная интерполяция по сути сводится к одному умножению.

При вычислении синусов еще важно то, в какой последовательности надо их вычислять. Скажем, если нужно вычислить синусы многих углов, равноотстоящих друг от друга — то есть рекуррентные соотношения. y[i] = -y[i-2] + 2*b*y[i-1], константа b задает шаг. Одно умножение и два сложения — и это при том, что данная формула дает точные ответы. Конечно, при ее использовании будет накапливаться ошибка округления, поэтому представление чисел должно иметь много бит, и самые младшие из них будут постепенно зашумляться. Есть и другие рекуррентные формулы, вычисляющие одновременно синус и косинус многих углов, где влияние ошибок округления уменьшено.
Total votes 3: ↑3 and ↓0+3
Sign up to leave a comment.

Articles

Show the best of all time
Unlock dark mode

Your account

Sections

Information

Services

Support
© 2006–2024, Habr