Футбольный мяч и фуллерены

    Одним из красивейших математических результатов можно смело считать теорему Эйлера, которая впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

    Теорема Эйлера. Пусть ${\rm B}$ – число вершин выпуклого многогранника, ${\rm P}$ – число его ребер и $\Gamma$ – число граней. Тогда верно равенство

    $ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2. $


    Число $\chi = {\rm B} - {\rm P} + \Gamma$ называется эйлеровой характеристикой многогранника. Легко вычислить эйлерову характеристику для некоторых знакомых нам многогранников.

    Многогранник ${\rm B}$ ${\rm P}$ $\Gamma$ $\chi$
    Тетраэдр 4 6 4 2
    Куб 8 12 6 2
    Октаэдр 6 12 8 2

    Доказательство теоремы Эйлера может быть найдено здесь.

    Давайте воспользуемся теоремой Эйлера для установления некоторых интересных фактов. Посмотрите на изображение футбольного мяча.


    Вопрос: сколько нужно взять пятиугольников, чтобы сшить мяч? Пусть $x$ – количество шестиугольников, а $y$ – количество пятиугольников. Давайте применим теорему Эйлера к нашему футбольному мячу:

    $ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2, $


    где ${\rm B} = \frac{6x + 5y}{3}$, ${\rm P} = \frac{6x+5y}{2}$, а $\Gamma = x+y$. Формулы для количества вершин, ребер и граней легко получаются из наблюдения, что каждая вершина попадает на три грани, а по каждому ребру пересекаются только две грани. Подставив значения в формулу, вы получите ответ: $y=12$. Переменная $x$ исключается из уравнения, т.е. количество шестиугольников может быть каким угодно. На следующей картинке изображен мяч, сшитый из одних только пятиугольников. Сколько их?



    Этот многогранник называется додекаэдром и является одним из пяти правильных многогранников.



    Давайте рассмотрим другой сюжет. Фуллерены — молекулярные соединения, принадлежащие классу аллотропных форм углерода и представляющие собой выпуклые замкнутые многогранники, составленные из чётного числа трёхкоординированных атомов углерода. Своим названием фуллерены обязаны инженеру и архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру, чьи геодезические конструкции построены по этому принципу. Первоначально данный класс соединений был ограничен лишь структурами, включающими только пятиугольные и шестиугольные грани.



    И наконец, давайте посмотрим на следующую картинку.




    Ничего особенного — всего лишь купол, собранный из шестиугольников. А теперь еще раз помедитируйте над формулой Эйлера и вперед искать пятиугольники.




    Этот и многие другие математические сюжеты смотрите в замечательных лекциях Алексея Савватеева или в его книге «Математика для гуманитариев».

    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 21

      0
      Это для тех, кому лень заглянуть в Википедию?
        +2
        Ну конечно.
          0
          Это для тех кто не верит написанному в Википедии, и не считает ссылку на Википедию пруфом.
            0
            А с чего бы этим людям верить пересказу того же самого на Гиктаймсе? Тем более — более сжатому?
          +1

          Спасибо за прекрасную иллюстрацию к большиству математических статей:


          Давайте применим теорему Эйлера к нашему футбольному мячу: В — Р + Г = 2
          где В = (6х+5у) / 2

          aka: Ля-ля, тут математика это весело, давайте рассчитаем что-то для мячика. И сразу "Бдыщь", тут домножаем, тут делим на 3, это же так легко


          легко получаются из наблюдения, что каждая вершина попадает на три грани, а по каждому ребру пересекаются только две грани.

          То есть вот сразу так, действительно, легкая логика. Только таких логик ещё миллион. Может быть В = 3 * (5/х + 6/у), а? Тут тоже такая же легкая адекватная логика. То бишь вообще не объяснено почему "количество шестиугольников надо умножить на шесть, а количество пятиугольников на пять и поделить на то сколько каждая вершина попадает на грани" это правильно, а "количество сторон разделить на количество многоугольников, сложить и разделить на точки соприкосновения." это неправильно.


          tl;dr Такая математика совсем не познавательная =(

            +3
            не объяснено почему «количество шестиугольников надо умножить на шесть, а количество пятиугольников на пять и поделить на то сколько каждая вершина попадает на грани» это правильно

            Потому что в N-угольнике ровно N углов? (Кэп спешит на помощь.)
            Потому что в общее количество всех углов всех многоугольников каждая вершина многогранника входит 3 раза? (Кэп никуда не уходил.)
              +1
              Спасибо Кэп. Никак не мог подобрать правильных слов.
              0
              Профессор читает лекцию по математике. Выписывает на доске длиннющую, совершенно необозримую формулу и заявив: «Отсюда с очевидностью следует...» выписывает еще более громоздкую формулу. На минуту задумывается, потом, извинившись, выходит из аудитории. Примерно через полчаса возвращается и, небрежно бросив на кафедру кипу исписанной бумаги, заявляет:
              — Да, это действительно очевидно, — и продолжает лекцию.
              0

              А кто спроектировал эти конструкции и почему фуллерены так называют?

                0
                Фуллерены названы по имени архитектора Фуллера. Меня больше интересовала цифра 12.
                  0
                  12 — число.
                    0
                    Зависит от алфавита.
                +1
                … т.е. количество шестиугольников может быть каким угодно...

                Любопытный читатель из Аренсбурга интересуется — а как будет выглядеть футбольный мяч, сшитый из двенадцати пятиугольников и одного шестиугольника?
                  +1
                  Я ведь как в том анекдоте — всего лишь стратег, а не тактик. Но теория однозначно утверждает, что взяв 12 правильных 5-угольников и 1 правильный 6-угольник с равной длиной ребра, вы склеите гомеоморф сферы (как завернул), т.е. мяч. При наличии цветного картона, ножниц, линейки, а также циркуля, умения извлекать корни из комплексных чисел и пары часов свободного времени свет увидит интересующую вас конструкцию. Другой вопрос: захотите ли вы им играть в футбол.
                    +2
                    Выполнение условий теоремы Эйлера ведь не является достаточным условием существования многогранника? Существование чисел В, Г, Р из условия не гарантирует существования многогранника с таким числом вершин, граней, ребёр (В = 3, Г = 2, Р = 2).
                    То есть, теория утверждает, что с числом пятиугольников, не равным 12, Вы гомеоморф сферы из пятиугольников и шестиугольников не сделаете. Обратное, вообще говоря, не утверждается — нужно пробовать. Или есть какая-то ещё теория, которой Вы пользуетесь?
                    P.S. зачем Вам корни из комплексных чисел?
                      0
                      Я утверждаю, что с числом 5-угольников не равным 12 не сошьешь футбольный мяч из 5 и 6-угольников. Футбольный мяч — выпуклый многогранник с В, Р и Г, указанными в статье (т.е. мы фиксируем сшивку: в каждой вершине сходятся три ребра и каждые две грани имеют одно смежное ребро). Пирамида Хеопса, например, нам не подходит, т.к. в вершине сходятся четыре ребра. Другие вещи следует аккуратно считать отдельно. Правильные N-угольники удобно реализовывать как корни N-ой степени из комплексного числа z.
                        0
                        теория однозначно утверждает, что взяв 12 правильных 5-угольников и 1 правильный 6-угольник с равной длиной ребра, вы склеите гомеоморф сферы

                        Вы заставляете меня цитировать :)


                        А правильный пятиугольник и шестиугольник, насколько я помню школьную программу, рисуются без знания об i :) Вот только как сделать их с совпадающей длиной стороны я не знаю.

                    +1
                    Возьмите додекаэдр. Возьмите любую его вершину. Из неё выходит 3 ребра. Разрежьте все это мероприятие вдоль этих трех ребер и «распахните». Пятиугольников останется 12. Пустота будет соответствовать шестиугольнику.
                    Не сказать, что выпуклому, а тем более правильному, однако шестиугольнику.
                      0
                      Вы похоже правы. Нет под рукой додекаэдра. Думаю, в этот разрез очень удачно (выпукло) впишется 6-угольник.
                        0
                        Выпукло не получится. Как вы понимаете, разрезав додекаэдр вдоль трёх ребер, вы получите отверстие в форме шестиугольника, которое будет образовано тремя пятиугольниками, то есть каждые два ребра нашего шестиугольника будут совпадать с двумя рёбрами каждого из трёх пятиугольников. Вот как бы вы не старались, но приложить выпуклый шестиугольник к выпуклому пятиугольнику так, чтобы два ребра совпали, ну никак не получится.
                          0
                          Да, вдогонку — я не утверждаю, что это невозможно, просто там чуть хитрее всё — грубо говоря, надо к шестиугольнику вначале приклеить шесть пятиугольников, а затем оставшиеся шесть.
                          Единственно, в чём у меня возникают сильные сомнения, так это в том, что многогранники останутся правильными. Теорема Эйлера применима к выпуклым многогранникам, но не утвержает, что они должны быть правильными.

                    Only users with full accounts can post comments. Log in, please.