Sergey Pshenichnikov, Tatiana Sotnikova

ALGEBRA OF MUSICAL TEXT

Sergey Pshenichnikov, Tatiana Sotnikova

Trio Sapiens

Musical text can be represented using matrix units, like the description of verbal texts and other symbolic sequences. In the future, mathematical recognition, and creation of musical sense with substantive justification for intermediate calculations (as opposed to AI) may become possible.

Sound has four properties: pitch, duration, volume, and timbre. Timbre is not considered yet. The dictionary of the algebra of musical texts is built on the basis of musical notation for the piano.

The duration here, for the sake of brevity of the first presentation, is considered as «absolute». «Relative» is not considered, although intervals are very well studied, and their features will be needed to categorize composers.

The complexity of the musical text for the application of mathematics is explained by the desire to simplify the reading of musical notes by musicians and to minimize the use of lower and upper additional lines.

To apply text algebra to musical symbolic sequences there is no need to use a five-line staff. What is useful and familiar to musicians is «unbearably harmful» for the use of algebra. It seems advisable to use a one-line staff. In this case, the musical text becomes like the verbal text.

To solve the problem, you need to find a transformation of the canonical musical text into a «thread». And as always, for a new application of algebra, correct coordination of the subject area is necessary. In this case, each used musical notation and symbol of modern musical notation must be assigned its own serial number (natural number).

Instead of a sign, you can use the names of each note symbol - then it will be a verbal notation of musical texts written in one line «thread»).

Since the musical scale is completely represented by piano keys, the first section in height of the dictionary of musical texts consists of 88 numbered white and black keys (of which 52 are white). This eliminates the need for an octave division of the scale, octave transfer signs, keys, five alteration signs (key and random), diatonic and chromatic semitones.

All notes of the scale became fundamental in algebraic musical notation. There is an order of magnitude more of them of them than the main stages of Guido Aretinsky, but the alteration signs and names of octaves disappeared, the use of which made musical texts algebraically incompatible with verbal texts. Numbers from 1 to 88 in algebraic notation constitute a fragment of the pitch dictionary for the «thread» one-line staff.

Numbering (coordination) of notes is needed to become in the future indices of mathematical objects (matrix units), which will replace the signs of notes or their names. These matrix units are binary generalizations of integers (hyperbinary numbers). The operation of division with remainder is defined for them, as for integers. The operation will allow you to divide musical texts and their f

Sergey Pshenichnikov

Sign sequences (for example, verbal and musical texts) can be turned into mathematical objects. Words and numbers have become one entity, a representation of a matrix unit, which is a matrix generalization of integers and a hypercomplex number. A matrix unit is a matrix in which one element is equal to unit, and the rest are zeros.

If the words of the text are represented by such matrices, then concatenation (combination while maintaining order) of words and texts becomes an operation of adding matrices.

You can perform transformations with texts using algebraic operations, for example, dividing one text by another with a remainder. Mathematically recognize the sense of text and calculate the context of words. In this case, algebra helps to interpret all the intermediate stages of calculations.

A person sees and hears only what he understands (J.W. Goethe). Understands what he attaches sense to as significant for him. Sense is subjective and depends on the interests, motivations, and feelings of different people.

L. S. Vygotsky distinguished between the concepts of «sense» and «meaning»: «if the «meaning» of a word is an objective reflection of a system of connections and relationships, then « sense» is the introduction of subjective aspects of meaning according to a given moment and situation».

According to G. Frege, «meaning» are properties, relationships of objects, «sense» is only part of these properties. In this case, both “meanings” and «sense» are called one «sign», for example a word. Two people can choose from a list of meanings for one word two non-overlapping fragments (two senses) to interpret it.

Пшеничников С.Б., Сотникова Т.В.

Нотный текст можно  представить с помощью правильной координатизации матричными единицами подобно описанию вербальных текстов и других знаковых последовательностей. В дальнейшем может стать возможным математическое распознавание и создание музыкального смысла с предметным обоснованием промежуточных вычислений (в отличие от AI).

У звука имеется четыре свойства: высота, длительность, громкость и тембр. Тембр пока не рассматривается. Словарь алгебры музыкальных текстов строится на основе нотной раскладки для фортепиано и современной нотной нотации.

Длительность здесь для краткости первого изложения учитывается как «абсолютная». «Относительная» не рассматривается, хотя интервалы очень хорошо изучены и их признаки потребуются для категоризации композиторов.

Сложность музыкального текста для применения математики объясняется стремлением упростить чтение музыкантами нотных знаков на стане из пяти линий и минимизации использования нижних и верхних добавочных линий.

Для применения алгебры текста к музыкальным знаковым последовательностям нет необходимости использования нотоносца из пяти линий. То, что полезно и привычно для музыкантов, - для применения алгебры невыносимо вредно. Целесообразным представляется использование нотоносца-«нитка» - это нотный стан из одной линии.  В этом случае нотный текст становится похож на вербальный текст.

Для решения задачи требуется найти преобразование канонического нотного текста в «нитку». И как всегда для нового применения алгебры необходима правильная координатизация предметной области. В данной случае каждому используемому нотному знаку  и символу современной нотной нотации требуется поставить в соответствие свой порядковый номер (натуральное число).

Пшеничников С.Б.

Знаковые последовательности (например, вербальные и нотные тексты) можно превратить в математические объекты. Слова и числа стали одной сущностью, представлением матричной единицы, которая является матричным обобщением целых чисел и гиперкомплексным числом. Матричная единица — это матрица в которой один элемент равен единице, а остальные — нули.

Если слова текста представить такими матрицами, то конкатенация (объединение с сохранением порядка) слов и текстов становится операцией сложения матриц.

С текстами можно совершать преобразования с помощью алгебраических операций, например делить с остатком один текст на другой. Математически распознавать смысл текста и вычислять контекст слов. При этом алгебра помогает интерпретировать все промежуточные этапы вычислений.

Человек видит и слышит только то, что понимает (И. В. Гёте). Понимает то, чему придает смысл как значимости для него. Смысл субъективен и зависит от интересов, мотиваций и чувств.

Л. С. Выготский различал понятия «смысл» и «значение»: «если „значение“ слова является объективным отражением системы связей и отношений, то „смысл“ — это привнесение субъективных аспектов значения соответственно данному моменту и ситуации».

По Г. Фреге «значения» — это свойства, отношения объектов, «смысл» — это только часть этих свойств. При этом и «значения» и «смысл» именуются одним «знаком», например словом. Два человека могут из списка значений выбрать для одного слова два непересекающихся фрагмента (два смысла) для его толкования.

The article is an abstract of my book [1] based on previously presented publications [2], [3], [4], [5]

The published material is in the Appendix of my book [1]

Modern civilization finds itself at a crossroads in which to choose the meaning of life. Because of the development of technology, the majority of the world's population may be "superfluous" - not in demand in the production of values. There is another option, where each person is a supreme value, an absolute individual and can be indispensably useful in the technology of the collective mind.

In the eighties of the last century, the task of creating a scientific field of "collective intelligence" was set. Collective intelligence is defined as the ability of the collective to find solutions to problems more effectively than each participant individually. The right collective mind must be...

Предлагаемый материал является приложением в книге [1].

Современная цивилизация оказалась на перекрестке, на котором нужно выбрать смысл жизни. Из-за развития технологий большинство населения планеты может оказаться «лишним» - не востребованным в производстве ценностей. Есть и  другой вариант, когда каждый человек является высшей ценностью, абсолютной индивидуальностью и может быть незаменимо полезен в технологиях коллективного разума.

В восьмидесятых годах прошлого века задача создания научного направления «коллективный разум» была поставлена. Коллективный разум определяется ...

Статья является рефератом Книги [1], основанной на представленных ранее публикациях [2], [3], [4] и [5].

In [1,2,3] texts (sign sequences with repetitions) were transformed (coordinated) into algebraic systems using matrix units as word images. Coordinatization is a necessary condition of algebraization of any subject area. Function (arrow) (7) in [1]) is a matrix coordinatization of text. One can perform algebraic operations with words and fragments of matrix texts as with integers, but taking into account the noncommutativity of multiplication of words as matrices. Structurization of texts is reduced to the calculation of ideals and categories of texts in matrix form.

В [1, 2, 3] тексты (знаковые последовательности с повторами) с помощью матричных единиц, как образов слов, превращались (координатизировались) в алгебраические системы. Координатизация — необходимое условие алгебраизации любой предметной области...

The mathematical model of signed sequences with repetitions (texts) is a multiset. The multiset was defined by D. Knuth in 1969 and later studied in detail by A. B. Petrovsky [1]. The universal property of a multiset is the existence of identical elements. The limiting case of a multiset with unit multiplicities of elements is a set. A set with unit multiplicities corresponding to a multiset is called its generating set or domain. A set with zero multiplicity is an empty set.

Математической моделью знаковых последовательностей с повторами (текстов) является мультимножество. Мультимножество было определено Д. Кнутом в 1969 году и позже подробно изучено А.Б. Петровским [1]. Универсальное свойство мультимножества – существование одинаковых элементов. Предельным случаем мультимножества при единичных кратностях элементов является множество. Множество с единичными кратностями, соответствующее мультимножеству, называется его порождающим множеством или доменом. Множество с нулевой кратностью – это пустое множество.

The previous work from ref [1] describes the method of transforming a sign sequence into algebra through an example of a linguistic text. Two other examples of algebraic structuring of texts of a different nature are given to illustrate the method.

В предыдущей статье было разработано представление знаковых последовательностей полиномами матричных единиц на примере языкового текста. Текст превращается в алгебраический объект. С текстом можно совершать все алгебраические операции, необходимые для структуризации -- вычисления заголовков, словарей, аннотаций, смысловой разметки. В данной статье приведены два примера алгебраической структуризации текстов иной природы. Азбука Морзе выбрана из-за предельной краткости словаря, а математические формулы как пример обратной задачи.

Algebra and language (writing) are two different learning tools. When they are combined, we can expect new methods of machine understanding to emerge. To determine the meaning (to understand) is to calculate how the part relates to the whole. Modern search algorithms already perform the task of meaning recognition, and Google’s tensor processors perform matrix multiplications (convolutions) necessary in an algebraic approach. At the same time, semantic analysis mainly uses statistical methods. Using statistics in algebra, for instance, when looking for signs of numbers divisibility, would simply be strange. Algebraic apparatus is also useful for interpreting the calculations results when recognizing the meaning of a text.

Как пишут тексты в Большой Академии в Лагадо

Алгебра и язык (письменность) являются двумя разными инструментами познания. Если их объединить, то можно рассчитывать на появление новых методов машинного понимания. Определить смысл (понять) – это вычислить как часть соотносится с целым. Современные поисковые алгоритмы уже имеют задачей распознавание смысла, а тензорные процессоры Google выполняют матричные умножения (свертки), необходимые для алгебраического подхода. При этом в семантическом анализе используются в основном статистические методы. В алгебре выглядело бы странным использование статистики при поиске, например, признаков делимости чисел. Использование алгебраического аппарата полезно также для интерпретации результатов вычислений при распознавании смысла текста.