Теоремы существования и теоремы перечисления. Модели

Ограниченность научных, теоретических знаний тормозит научное и общественное развитие.
Взять закон распределения простых чисел (ЗРПЧ) или ту же основную теорему арифметики (ОТА). Да, они фундаментальны, но что ОТА утверждает?

Это всего лишь (как и ЗРПЧ) теорема существования, для любого числа N существует произведение степеней простых чисел, которое единственно и равно этому числу N. Как получить и увидеть отдельные делители N в теореме не говорится. Аналогично и с простыми числами. Сами числа (большие и очень большие) получать умеем только квазипростыми.

Но известно, что не менее фундаментальной является и проблема (теорема) перечисления. Начиная с древних греков (решето Эратосфена), делались и продолжаются попытки решить задачу перечисления – вторую часть или другую половину основной теоремы арифметики, и что? А пока весьма скромно, для больших чисел практически ничего! Надо просто видеть, понимать ситуацию и владеть процедурой быстрой факторизации чисел.

Более того, большинство и других основных теорем теории чисел – теоремы существования. Чтобы воспользоваться многими теоремами относительно простых или составных чисел N необходимо располагать разложением этого числа на делители. А этого-то мы и не умеем!
Где же ответ? Где ключевые направления для получения положительных решений?

Материал публикации представляется весьма обширным, поэтому для удобства ознакомления с ним разбивается на две части.

Продолжаем рассмотрение элементов натурального ряда чисел (НРЧ) и их свойств в рамках плоскостной Г ^2∓-модели НРЧ. Здесь будут изложены и на примерах показаны свойства диагоналей названной модели и их клеток. Свою задачу вижу в том, чтобы обратить внимание читателей на удивительные факты в модели НРЧ. Возможно, кого-то они заинтересуют и человек займется их изучением и исследованием. Уверяю Вас они того стоят. По сути, НРЧ для нас до сих пор неизведанный мир со своими законами и свойствами.

Автор продолжает разработку этой модели для решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), считая подход более перспективным, нежели модели совершенствуемых решет. Решета, по-видимому, исчерпали себя (как пишут Манин Ю. Н., Панчишкин А.А. стр. 104). Свидетельство тому — почти 10-летние перерывы с публикациями (в 2010 г и очередное в 2019 г) о новых результатах. Указанные недостатки подхода с решетами исследователям устранить не удается, а новых идей просто нет или они на начальном уровне (Коваленко Д.В., Сидоров Д.П.). Или (здесь).

_{Иллюстрация melmagazine.com (Source)}

В настоящее время для информационного обмена широко используются сети общего доступа с каналами, не защищенными от нарушителя. Как организуется защита можно прочитать здесь.

В сообщении отправителем защищается целостность, конфиденциальность, доступность сообщения для чего используются результаты теорий кодология, криптология, стеганология.

В предлагаемой работе продолжим рассмотрение только одного частного вопроса — анализа кодов сообщений.

_{Иллюстрация melmagazine.com (Source: melmagazine.com/wp-content/uploads/2019/11/DNA-1280x533.jpg)}

В настоящее время для информационного обмена широко используются сети общего доступа с каналами, не защищенными от нарушителя. Обмен сообщениями в таких связных и компьютерных сетях пользователи вынуждены защищать самостоятельно. Так как сами каналы передачи сообщений пользователь защитить не может, он защищает сообщение.

Что в сообщении защищается? Во-первых, синтаксис (целостность) с этой целью используется кодология (кодирование и анализ кодов), во-вторых, семантика (конфиденциальность) для чего используются криптология (криптография и криптографический анализ), в-третьих, косвенно нарушителю можно ограничить доступность сообщения путем скрытия факта его передачи для чего используется стеганология (стеганография и стеганоанализ).

Перечисленные возможности теоретически и практически обеспечены в разной мере, и хотя каждое направление развивается достаточно длительное время, они еще далеки от завершения. В предлагаемой работе коснемся только одного частного вопроса — анализа кодов сообщений.

В очередной работе из цикла статей о натуральном ряде чисел (НРЧ) используются понятия и обозначения Г^2± – модели НРЧ в форме дискретной (из клеток с координатами (х1, хо)) бесконечной плоскости (см.здесь), в которой составное четное или нечетное натуральное число (СННЧ) в каждой клетке модели описывается соотношением N =x1 ² ± xо ². Рассматривается очередное важное для решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ) свойство Натурального ряда чисел — кратность клеток модели модулю шифра RSA.

Модели натурального ряда чисел (НРЧ), рассматриваемые автором в ряде его публикаций, предназначаются для выполнения исследований и установления важных различных свойств НРЧ в целом и отдельного числа в частности. Установленные свойства далее используются при разработке алгоритмов решения конкретных задач, которые назывались здесь и здесь. Основная задача — факторизация большого числа (ЗФБЧ).

В работе сохраняется и используется базовая плоскостная модель НРЧ, обозначаемая символом Г^2± и называемая гиперболо-круговой моделью, что определяется основными соотношениями модели при вычислениях значений в клетках модели (x₁, x₀) выше диагонали Д₀ по формуле окружности N = x²₁+x²₀ и ниже диагонали Д₀ по формуле N = x²₁-x²₀ гиперболы.

В отличие от предшествующих работ рассматривается другая схема организации клеток Г^2±-модели в верхней полуплоскости Г^{2 +}. Далее рассмотрение ограничим в основном этой верхней полуплоскостью Г^{2 +}. Поверх первичной решетки с клетками размера 1×1 в модели изображается (рис. 1) множество бесконечных параллельных линий (лучей), связываемых отрезками прямых, подобно множеству «горизонтально расположенных переносных лестниц». Как и ранее, факторизации в моих исследованиях подлежат составные нечетные натуральные числа (СННЧ).

В комментариях к опубликованным ранее работам автора было высказано много замечаний и пожеланий. Я благодарю всех читателей — хабровчан и прочих за внимание к работам и тем более за комментарии. Многих читателей не устраивал стиль изложения, подача материала, нечеткость определений и др. Главное, что автор желал бы поправить — это обеспечить доступность понимания идей публикаций, математического инструментария и техники его применения. Работа в интересующем автора направлении — дело и для него новое, но чем дальше «в лес», тем больше и непонятного, и сложного, и, конечно, интересного.

   

В этой работе сохраняется базовая Г^2± – модель, но принимается другая организация ее клеток (другой рисунок). Поверх первичной решетки с клетками размера 1×1 изображается более крупная сетка – сетка ромбов, а также рассматривается сетка центров ромбов (СЦР). Последняя сетка не изображается, чтобы не перегружать линиями рисунок с ромбами. Мы не будем повторять определения и понятия, которые подробно излагались в предшествующих работах, но дадим указывающие на эти работы ссылки.

   

Задача криптографического анализа шифра (атака на шифр) предполагает построение и исследование модели криптографической системы (алгоритма шифра и его элементов), а также ситуации, в рамках которой осуществляется криптоанализ. Для шифра RSA такой моделью его элемента должны быть модели нечетного числа, которые криптоаналитик стремится факторизовать.

Эта статья является первой из цикла, в котором будут показаны различные модели натурального ряда чисел (НРЧ), отдельного числа и некоторые другие, а также подходы для решения задачи факторизации, основанные на этих моделях.

     Ранее на Хабре была опубликована работа автора об инварианте числа (здесь). Еще ранее в работе [1] приводятся сведения об оригинальной концепции моделирования натурального ряда чисел и отдельного числа с целью установления свойств, слабо зависящих или вообще не зависящих от разрядности чисел. Ранее не приводились теоремы для доказательства истинности положений, которые используются автором в работах. Анализ комментариев к работам показал насколько недоверчиво читательская аудитория относится к подобным работам и утверждениям.

     Проблема факторизации составных натуральных чисел (сннч) многие столетия удерживает внимание специалистов в различных теоретических (научных) и прикладных областях таких как числовые системы, вычислительная математика и техника, теория чисел, информационная безопасность, криптография, и др., и вынуждает их прикладывать немалые усилия к ее положительному и успешному решению. Тем не менее, проблема и сегодня далека от ее закрытия, завершения. Автор предлагает к рассмотрению и стремится дать читателю понятие о существующих подходах к решению проблемы, ставших уже своеобразной классикой, привести критику и выразить одобрение замечательным находкам.
     В работе излагается один из известных подходов к решению задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), использующий математику эллиптических кривых (ЭК). Об этой математике, а точнее о технике вычислений приведу цитату авторов из [ 1 ] «Техника, используемая в настоящее время при изучении ЭК, является одной из самых изощренных во всей математике. Мы надеемся, что элементарный подход настоящей работы побудит читателя к дальнейшему изучению этой живой и пленительной ветви теории чисел. Есть много того, что следует изучить, и много работы, которую еще надо проделать. „

Два специальных разбиения натурального числа N могут быть использованы при построении алгоритма факторизации. В предшествующих постах об этом шла речь и автору были заданы вопросы.В работах о факторизации оговаривалось, что при рассматриваемом подходе появляется принципиальная возможность решать задачу факторизации больших чисел (ЗФБЧ) за малое время при наличии программы, генерирующей специальные разбиения. В этой работе автор раскрывает более подробно специфику специальности разбиений. Поскольку участники сообщества Хабра в своем большинстве являются программистами, то предлагаю тому, кто проявит интерес к ЗФБЧ, решаемой за приемлемое время (не годами, не месяцам, и даже не десятками часов), попробовать свои силы и приложить умения к разработке программы генератора спцразбиений. Разбивать как следует из текста ниже необходимо ф-инвариант числа N, свойство, не зависящее от разрядности числа, либо само число N. В комментариях приводится таблица всех разбиений числа 13, среди которых только 4 являются специальными, к факторизации приводит любое из трех первых специальных разбиений.

     ЧАСТЬ II .
     Краткие пояснения к ЧАСТИ II работы. Пример проектирования и последующего анализа функционирования спутниковой системы «ИРИДИУМ» гражданской сотовой связи через ИСЗ, покрывающей 100% поверхности планеты Земля, дает повод задуматься об ошибках и просчетах владельцев и проектировщиков.

     ЧАСТЬ I . Предварительные сведения о системе и модели.

      Проектирование и расчет баллистических характеристик спутниковых систем различного целевого назначения, моделирование процессов движения и функционирования предполагают предварительную оценку возможностей достижения планируемых целевых эффектов такими системами. Целевое назначение сводится в настоящее время к информационному обслуживанию в самом широком смысле целевых объектов (ЦО) бортовой аппаратурой искусственного спутника Земли (ИСЗ). Там где имеют место потоки информации, всегда возникают проблемы, связанные с ее защитой и обеспечением информационной безопасности, со всеми вытекающими отсюда следствиями.

     Проблема факторизации чисел возникла не вчера, она насчитывает тысячелетия. Можно лишь гадать почему в 1900 г на Математическом конгрессе Д. Гильберт не включил ее в список своих 23 проблем, а позднее она не попала в список нерешенных математических задач С. Улама. Особое внимание и интерес математиков к проблеме обозначился лишь в последние десятилетия. Возможно, стимулом стало открытие нового направления — двухключевой криптологии, появление шифров с открытым ключом. Можно предположить, что сегодняшний интерес к проблеме факторизации чисел продиктован некоторой неопределенностью относительно теоретического обоснования стойкости к раскрытию весьма популярного сегодня двухключевого шифра (личного ключа) RSA, который в принципе может быть взломан и без знания закрытого ключа. Бесключевое дешифрование. Просто в теории алгебраических колец до сих пор не найдены необходимые для этого результаты. Но есть не менее важный аспект этой проблемы — отсутствие операции обратной к умножению чисел. Простое быстрое и доступное мультипликативное разложение составных чисел может стать такой арифметической операцией, и пополнит арсенал вычислительных средств математики.

     Примем сокращения: натуральный ряд чисел (НРЧ); задача факторизации больших чисел (ЗФБЧ).
     Манипулирование с натуральными числами возможно как непосредственно со значениями, так и с характеристиками – свойствами чисел. Удобство такого манипулирования во многом определяется моделью числа. Желательно разнообразие моделей иметь ограниченным, а структурное построение простым. Описания свойств моделей натуральных чисел (впрочем, и любых других чисел) желательно иметь в количественном выражении, в формализованном виде. Зависимость значений показателей свойств от разрядности чисел необходимо устранить, либо выбирать свойства свободные от таких зависимостей. Любая классификация в своей основе имеет свойства – это элемент формализации. Основной вопрос в работе – факторизация чисел – в связи с чем ниже сформулируем вариант теоремы факторизации натурального числа.
     В теореме говорится о том, что трудности факторизации возникают не для всех чисел, следовательно, сложной процедуре факторизации необходимо подвергать не все числа НРЧ, а только их некоторую (меньшую) часть. В тексте теоремы не говорится, как эту меньшую часть формализовать и сделать удобной для последующей обработки. Но в работе как раз и пойдет речь о формировании удобного для обработки представления чисел такого меньшего множества.

     Одной из актуальных проблем информационной безопасности является конфиденциальность сообщений, которая обеспечивается в RSA-подобных шифрах применением криптографической защиты сообщений. Подобная защита успешно реализуется при знании закона распределения делителей составного числа (модуля кольца вычетов) в натуральном ряде чисел (НРЧ) и наличии криптографической системы (КГС), в рамках которой и циркулируют сообщения.

     Наряду с политическими, социально-экономическими, организационными, военными, правовыми, специальными и информационными проблемами, решение которых предусматривается на государственном, федеральном уровне, в информационной сфере существуют проблемы математического характера, о которых в работе и пойдет речь. В работе приводятся и конкретизируются некоторые важные понятия и основные положения информационной безопасности и защиты информации. Основными нормативными документами в этой сфере являются Конституция РФ — основной закон, ФЗ О безопасности, Военная доктрина и Доктрина информационной безопасности, а также руководящие документы Федеральной службы по техническому и экспортному контролю (РД ФСТЭК)

     Каждое натуральное число обладает очень многими известными и, по-видимому, еще в большем числе неизвестными свойствами. Четные — нечетные, простые — составные, конечные — бесконечные и др. свойства способствуют введению классификации чисел, некоторого порядка в их множестве. Традиционный подход предполагает, что не располагая самим числом (его значением) невозможно определить и его свойства. Но это не совсем так. Ряд полезных свойств для некоторых чисел можно определять не зная их значений, но имея данные об их положении в натуральном ряде чисел (НРЧ). Простыми числами, кроме 2, могут быть только нечетные с флексией ≠ 5, а их положение НРЧ определяется нечетной позицией. Сами эти позиции не все равнозначны. Про некоторые большие нечетные N(x1, x2) числа (разумеется в нечетных позициях в НРЧ) можно, не пользуясь традиционными (вероятностными) и детерминированным (весьма трудоемким) алгоритмами, однозначно утверждать, они не могут быть простыми.

     Существующие подходы к решению задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), интенсивно используемые в мире математики последние 20-30 лет свидетельствуют, что для них эта задача достаточно сложная, она упорно сопротивляется внешнему натиску специалистов и позиций не сдает. Вместе с тем, не могу упомянуть работ, авторы которых предложили бы глубокий анализ проблемы, состояния вопроса или выступили бы с критикой используемого подхода. Основной принцип в подходе — просеивание множества чисел (принцип решета) доминирует в этой области, но думается это не единственный путь и возможно не лучший. Большие надежды исследователями ЗФБЧ возлагаются на вычислительные средства новых типов, на новых физических принципах (квантовые, молекулярные и др.), но о смене подхода речь не идет. Тем не менее, некоторые выводы уже сегодня как бы напрашиваются сами собой. В атаках на RSA-подобные шифры ЗФБЧ является основной задачей.