Я плохо представляю, чем здесь теорема Кэли и перестановки помогают, хотя, наверное, протолкнуть можно
А я хорошо себе представляю, хотя, вероятно абстрактную теорию групп знаю хуже Вас (мои познания ограничиваются плюс минус материалом вводного семестрового курса + совсем немного знаком с теорией представлений и как группами диффуры решать), и собираюсь это протолкнуть в следующей статье, которую здесь размещу.
Конечно, в теории групп не всегда можно именно доказательство полное построить через перестановки, и они могут играть роль лишь интуиции и частичного доказательства, но здесь то это не так.
Для меня теория групп кликнула, хронологически,
А я собираюсь этим всё закончить, а не начать. Потому что если понять структурные теоремы, дальше теория групп в целом понятна. Цель этих статей и заключается в том, чтобы суметь дать максимально понятное изложение структурных теорем.
Более того, я сам начал понимать нормально эти теоремы, только связав их с теоремой Кэли. До этого как-то очень абстрактно воспринималось, не интуитивно.
Это универсальное свойство перестановок. Какому универсальному групповому свойству оно соответствует?
разложение на циклы в регулярном представлении отражает структуру действия элемента на группе как множестве.
Возьмём элемент h ∈ G. В регулярном представлении он становится перестановкой π_h на множестве G. У этой перестановки π_h есть какое-то разложение на независимые циклы в S_{|G|}.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Ваши претензии понятны в данном случае, насчет полной симметрической группы. Но здесь "перестановочное представление" позволяет гораздо проще думать о таких вещах и доказывать их.
Есть еще такая идея, сгенерировать чертеж новогодней елки для 3D-принтера, а потом напечатать на нем всю конструкцию. Назвать год "годом ИИ" и на елку повесить табличку "новогодняя елка с точки зрения Chat GPT".
Я хотел дать задачу в следующий номер печатного журнала "За науку", а потом опубликовать решение. Так что пока в интернете не публикую.
Могу сказать, что с помощью Gemini 3.0 удалось сгенерировать правильное решение этой задачу, после того как я ему объяснил все его ошибки. Причем самую большую сложность для Gemini почему-то представляет правильно посчитать и правильно использовать момент инерции гвоздя, с этим у него было очень много путаницы.
Так что LLM и с такими задачами помогают - просто нужен грамотный человек, который ищет в их решениях ошибки и дает обратную связь. Это гораздо быстрее, чем человеку написать решение самостоятельно.
Из статьи список ошибок нейросетей был составлен им же после генерации правильного решения и показа ему других решений от нейросеток.
В целом, если сравнивать нейронки между собой на решении этой задачи, все не могут справиться, но меньше всего ошибок делает как раз Gemini 3.0.
Да, идея в том, чтобы сделать такое изложение, в котором теорема Кэли является очевидной. А через связь с перестановками огромное количество других теорем доказываются значительно проще и куда нагляднее (без абстрактных доказательств от противного, которые плохо воспринимаются студентами интуитивно).
Исторически люди как раз группы придумали сильно позже, а перестановками заниматься начали намного раньше.
хотя, можно предположить, о перестановках какое-то представление имели.
У них теоремы есть, связанные с перестановками и циклическими группами.
Разбанили сегодня уже. Бан был за очень частое использование текстов от LLM в статьях.
Отмечу, что подобные обороты нейронки и люди используют для разного.
"это не ... , это про ..." - нейронка использует для убедительности, а человек для более ясного и понятного объяснения, контраста.
Еще нейронки часто одну и ту же мысль повторяют разными способами для убедительности, а люди повторение мысли разными способами с разных сторон используют для более подробного ее изложения и/или объяснения, а также с целью освещения этих разных сторон, так как эти стороны тоже часть того, что нужно рассказать.
Я там чуть поправил, так может яснее будет
А я хорошо себе представляю, хотя, вероятно абстрактную теорию групп знаю хуже Вас (мои познания ограничиваются плюс минус материалом вводного семестрового курса + совсем немного знаком с теорией представлений и как группами диффуры решать), и собираюсь это протолкнуть в следующей статье, которую здесь размещу.
Конечно, в теории групп не всегда можно именно доказательство полное построить через перестановки, и они могут играть роль лишь интуиции и частичного доказательства, но здесь то это не так.
А я собираюсь этим всё закончить, а не начать. Потому что если понять структурные теоремы, дальше теория групп в целом понятна. Цель этих статей и заключается в том, чтобы суметь дать максимально понятное изложение структурных теорем.
Более того, я сам начал понимать нормально эти теоремы, только связав их с теоремой Кэли. До этого как-то очень абстрактно воспринималось, не интуитивно.
разложение на циклы в регулярном представлении отражает структуру действия элемента на группе как множестве.
Возьмём элемент h ∈ G. В регулярном представлении он становится перестановкой π_h на множестве G. У этой перестановки π_h есть какое-то разложение на независимые циклы в S_{|G|}.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Ваши претензии понятны в данном случае, насчет полной симметрической группы. Но здесь "перестановочное представление" позволяет гораздо проще думать о таких вещах и доказывать их.
Возможно, стоит как-то иначе пример описать.
Я так понимаю, тут лишние детали присутствуют, которые сбили с толку.
При нажатии на g1 все лунки переместились. При нажатии на g2 — ничего не изменилось.
Сами по себе они не скачут, только при нажатии кнопок.
Но тогда кончик гвоздя же всё равно будет перемещаться.
Или написать "длину нити можно считать пренебрежимо малой"?
Засунул в спойлер. Так удобнее же?
В следующий раз так буду делать.
А какая формулировка будет удачной? Ведь у болтов и шурупов конец двигается, а тут нужно что-то типа шарнира, т.к. острие вбито же.
Да, нейронка нарисовала.
Лучше всего так и решать
Есть еще такая идея, сгенерировать чертеж новогодней елки для 3D-принтера, а потом напечатать на нем всю конструкцию. Назвать год "годом ИИ" и на елку повесить табличку "новогодняя елка с точки зрения Chat GPT".
Похоже да, не в ту сторону. Я сам не заметил.
Я хотел дать задачу в следующий номер печатного журнала "За науку", а потом опубликовать решение. Так что пока в интернете не публикую.
Могу сказать, что с помощью Gemini 3.0 удалось сгенерировать правильное решение этой задачу, после того как я ему объяснил все его ошибки. Причем самую большую сложность для Gemini почему-то представляет правильно посчитать и правильно использовать момент инерции гвоздя, с этим у него было очень много путаницы.
Так что LLM и с такими задачами помогают - просто нужен грамотный человек, который ищет в их решениях ошибки и дает обратную связь. Это гораздо быстрее, чем человеку написать решение самостоятельно.
Из статьи список ошибок нейросетей был составлен им же после генерации правильного решения и показа ему других решений от нейросеток.
В целом, если сравнивать нейронки между собой на решении этой задачи, все не могут справиться, но меньше всего ошибок делает как раз Gemini 3.0.
Конус по-разному решают, иногда правильно, иногда нет. Но в целом конус для нейронок проблемой не является, такое в их обучающей выборке есть.
Ну кому понятно, а кому и нет. Многие люди с огромным трудом воспринимают даже самые азы теории групп.
Да, идея в том, чтобы сделать такое изложение, в котором теорема Кэли является очевидной. А через связь с перестановками огромное количество других теорем доказываются значительно проще и куда нагляднее (без абстрактных доказательств от противного, которые плохо воспринимаются студентами интуитивно).
Исторически люди как раз группы придумали сильно позже, а перестановками заниматься начали намного раньше.
У них теоремы есть, связанные с перестановками и циклическими группами.
Разбанили сегодня уже. Бан был за очень частое использование текстов от LLM в статьях.
Отмечу, что подобные обороты нейронки и люди используют для разного.
"это не ... , это про ..." - нейронка использует для убедительности, а человек для более ясного и понятного объяснения, контраста.
Еще нейронки часто одну и ту же мысль повторяют разными способами для убедительности, а люди повторение мысли разными способами с разных сторон используют для более подробного ее изложения и/или объяснения, а также с целью освещения этих разных сторон, так как эти стороны тоже часть того, что нужно рассказать.
Тут просто немного до 50 лайков не хватает, три раза подряд вывесил. Чуть-чуть помогло.
Лайки нужны для подключения монетизации блога (программа поддержки авторов)
Там написано в описании к фиче
Потому что что электрическое, что магнитное - это исключительно вопрос выбора инерциальной системы отсчета. Это просто одна и та же сущность.
В одной системе отсчета заряд лежит на столе и его поле электрическое, в другой - стол двигается и часть электрического переходит в магнитное.