"Идея о "бесплатном переносе свойств пределов последовательностей" "
Нигде не ломается. Более того, во многих учебниках вообще-то давно так делают, свойства пределов функции просто сразу "бесплатно" доказывают через определение по Гейне, не тратя на них время. Вот например
В курсе матанализа экспонента вводится через показательную функцию, а показательная функция как раз через предел последовательности. Поэтому для вычисления предела самой экспоненты в точке x = 2 уже не нужно определение предела, так как непрерывность экспоненты уже доказана.
А именно, на основании неравенства Бернулли доказывают, что
Где x(n) — это любая сходящаяся к рациональному х последовательность.
Отсюда следует, что
Дальше обычно используют определение по Коши, чтобы ввести показательную функцию в иррациональных точках через значение предела, потому что на множестве всех рациональных уже определили и притом показали, что на нем она непрерывная.
Получается, в таком подходе сначала используют определение по Гейне, чтобы доказать непрерывность, а потом используют эквивалентность Коши и Гейне, чтобы по определению Коши доопределить в иррациональных точках.
Но тут как раз гораздо проще пользоваться только определением по Гейне, вообще никак не упоминая определение предела функции по Коши.
Например, в учебнике Кудрявцева так и делается
Что самое интересное, получается, что как раз в данном случае без определения по Гейне обойтись никак не получается хотя бы в части доказательства, а вот без определения Коши вполне получается.
Тут, правда, у Кудрявцева используется критерий Коши для последовательностей (что конечно совсем не то же самое, что определение предела функции по Коши), но можно легко обойтись совсем без него, опираясь на монотонность показательной функции.
Но хотя тут в принципе и критерия Коши можно избежать, я бы всё же выделил, что это разные уровни сложности:
Критерий Коши сходимости последовательности и определение предела последовательности через эпсилоны.
Определение предела функции по Коши.
Теорию пределов последовательностей можно полностью построить без Коши и уже на основе этого потом разобраться с критерием Коши.
А вот определение предела функции по Коши - это уже дополнительный скачок сложности.
Перечисленное совершенно не является проблемами статьи, потому что утверждения о пределах последовательностей можно считать доказанными до рассуждений о пределах функций. Суть примера использования определения по Гейне именно в том и заключается, что свойства пределов последовательностей можно "бесплатно" переносить на функции. Доказывать при этом свойства пределов последовательностей ну как-то совсем бессмысленно, так как просто это не имеет никакого отношения к делу.
Если x_n сходится к 3 то да, по определению (x_n - 3) сходится к 0. Тут никакой проблемы нет, кроме той, что у вас в сообщении опечатка.
Смысл формируется в результате разбора и использования теории. Задачи можно решать и без размышлений о том, как там теория используется, в таких случаях решение задач смысл не формирует, и в большинстве случаев так и происходит - навык нарабатывается, смысла за ним нет.
Если брать людей с инженерным образованием, даже с красным дипломом, там в основном не осталось у них никакого смысла после математических курсов, только некоторые навыки.
Т.е., проще говоря, они несколько лет изучали много математических курсов, решали очень много задач (как на этих курсах, так и на технических предметах, где математика применяется), но даже основы первого семестра не поняли, и это типичная ситуация.
Курс Ландау был нужен, чтобы наиболее одаренных в СССР студентов быстро научить решать актуальные научные задачи, отфильтровав менее одаренных (они не справятся просто).
Собственно, сам Ландау этого не скрывал, что цель его курса - отбор самых лучших, "испытание на прочность", а не обучение.
Более того, он же поставил еще второй фильтрационный барьер, в виде того самого теорминимума Ландау.
А для обучения теорфизу гораздо лучше использовать, например, американские учебные курсы и учебники.
Механику по Ландау считается вообще невозможно изучать, поэтому нигде и не изучают. Рекомендуется как дополнительное чтение после семестрового курса аналитической механики.
Более-менее можно изучать по Ландау первично только теорпол и кванты, и так изучают, но это довольно плохой выбор.
Формулу для действия можно получить как подбором через уравнение Эйлера-Лагранжа, так и напрямую через механику Гамильтона (там есть явная формула через гамильтониан).
Но в ландавшице этого нет. Для начального курса теорфиза, возможно, принцип наименьшего действия вообще лучше не использовать, чтобы не запутывать людей.
Приведу пример такой яркий. Уравнение Шредингера - это на самом деле частный случай уравнения Гамильтона-Якоби. И в его выводе есть много физического смысла, и там целая история есть поучительная, откуда оно взялось.
В Ландавшице вместо этого вот это
Откуда взялась сама Пси, понять конечно невозможно, и, разумеется, это всё чистый подгон под ответ вместо вывода.
Для первоначального изучения теорфиза курс Ландау категорически не подходит.
Подход Ландау чисто инженерный - как можно быстрее дать готовый аппарат для решения актуальных задач (а это как раз вариационных подход, теорема Нетер и тому подобное) , не заморачиваясь с пониманием основ, смысла.
Есть экспериментальные данные, на основе них выводятся уравнения.
Эти уравнения дальше анализируются, обобщаются, усложняются в том числе на основе разных физических принципов (сохранение энергии, ковариантность, относительности, причинность, обратимость и так далее).
А потом из уравнений выводят действие, экстремум которого даёт эти уравнения.
Преимущество подхода с действием в том, что по форме действия очевидны симметрии, которыми обладает уравнение. А по форме уравнения эти симметрии куда менее очевидны.
А ещё, записывая действие, можно выводить инварианты сразу по теореме Нетер, минуя теорию групп и анализ группы симметрии
В ландавшице в разных разделах физики этот приём - подбирается действие, потом варьируется. Но на самом деле просто по известным уравнениям было подобрано действие, которое их даёт, а не наоборот. Так что такие выводы по Ландау можно рассматривать как некоторый концептуальный обман.
Вариантов использования LLM с большой пользой масса. Например, я провожу занятие со студентами, можно сфоткать доску, затем закинуть ему фотки + свои комментарии и он быстро сделает хорошо оформленный печатный конспект, а если отдельно попросить - еще и иллюстрации неплохие нарисует.
Раньше людям нужны были годы, чтобы создать печатную версию своих семинаров и лекций, и много труда, а сейчас это быстро можно сделать.
Судя по всему, написанного в статье и в комментариях, ему достаточно, чтобы понять, что задача решается точно также, как задача с конусом, только момент инерции другой. Задачи с конусами он решать умеет (такого в обучающей выборке полным полно), считать моменты инерции тоже, если четко прописано, что и относительно чего (при подготовке этой статьи LLM постоянно ошибались с расчетом момента инерции, потому что не могли понять, относительно чего и как надо считать, а тут просто случай как с конусом).
"Идея о "бесплатном переносе свойств пределов последовательностей" "
Нигде не ломается. Более того, во многих учебниках вообще-то давно так делают, свойства пределов функции просто сразу "бесплатно" доказывают через определение по Гейне, не тратя на них время. Вот например
В курсе матанализа экспонента вводится через показательную функцию, а показательная функция как раз через предел последовательности. Поэтому для вычисления предела самой экспоненты в точке x = 2 уже не нужно определение предела, так как непрерывность экспоненты уже доказана.
А именно, на основании неравенства Бернулли доказывают, что
Где x(n) — это любая сходящаяся к рациональному х последовательность.
Отсюда следует, что
Дальше обычно используют определение по Коши, чтобы ввести показательную функцию в иррациональных точках через значение предела, потому что на множестве всех рациональных уже определили и притом показали, что на нем она непрерывная.
Получается, в таком подходе сначала используют определение по Гейне, чтобы доказать непрерывность, а потом используют эквивалентность Коши и Гейне, чтобы по определению Коши доопределить в иррациональных точках.
Но тут как раз гораздо проще пользоваться только определением по Гейне, вообще никак не упоминая определение предела функции по Коши.
Например, в учебнике Кудрявцева так и делается
Что самое интересное, получается, что как раз в данном случае без определения по Гейне обойтись никак не получается хотя бы в части доказательства, а вот без определения Коши вполне получается.
Тут, правда, у Кудрявцева используется критерий Коши для последовательностей (что конечно совсем не то же самое, что определение предела функции по Коши), но можно легко обойтись совсем без него, опираясь на монотонность показательной функции.
Но хотя тут в принципе и критерия Коши можно избежать, я бы всё же выделил, что это разные уровни сложности:
Критерий Коши сходимости последовательности и определение предела последовательности через эпсилоны.
Определение предела функции по Коши.
Теорию пределов последовательностей можно полностью построить без Коши и уже на основе этого потом разобраться с критерием Коши.
А вот определение предела функции по Коши - это уже дополнительный скачок сложности.
Перечисленное совершенно не является проблемами статьи, потому что утверждения о пределах последовательностей можно считать доказанными до рассуждений о пределах функций. Суть примера использования определения по Гейне именно в том и заключается, что свойства пределов последовательностей можно "бесплатно" переносить на функции. Доказывать при этом свойства пределов последовательностей ну как-то совсем бессмысленно, так как просто это не имеет никакого отношения к делу.
Если x_n сходится к 3 то да, по определению (x_n - 3) сходится к 0. Тут никакой проблемы нет, кроме той, что у вас в сообщении опечатка.
Прошлогоднее исследование Anthropic показало, что модель Claude Opus 4 прибегала к шантажу в 84% тестовых сценариев, когда ей угрожали отключением.
Так это неправда, у них политика просто такая. Он же там подробно объяснил, почему был вынужден это сделать.
А ИИ-агент потом сам же извинился.
Где это "у вас"?
Да любая лучше. Есть много хороших учебников по теормеху. Мне лично больше всего нравится Журавлев.
Самые легендарные - Айзерман и Арнольд.
В довольно редких случаях это так. Обычно используются методы решения задач, довольно отдаленно связанные с теорией.
Смысл формируется в результате разбора и использования теории. Задачи можно решать и без размышлений о том, как там теория используется, в таких случаях решение задач смысл не формирует, и в большинстве случаев так и происходит - навык нарабатывается, смысла за ним нет.
Если брать людей с инженерным образованием, даже с красным дипломом, там в основном не осталось у них никакого смысла после математических курсов, только некоторые навыки.
Т.е., проще говоря, они несколько лет изучали много математических курсов, решали очень много задач (как на этих курсах, так и на технических предметах, где математика применяется), но даже основы первого семестра не поняли, и это типичная ситуация.
Курс Ландау был нужен, чтобы наиболее одаренных в СССР студентов быстро научить решать актуальные научные задачи, отфильтровав менее одаренных (они не справятся просто).
Собственно, сам Ландау этого не скрывал, что цель его курса - отбор самых лучших, "испытание на прочность", а не обучение.
Более того, он же поставил еще второй фильтрационный барьер, в виде того самого теорминимума Ландау.
А для обучения теорфизу гораздо лучше использовать, например, американские учебные курсы и учебники.
Механику по Ландау считается вообще невозможно изучать, поэтому нигде и не изучают. Рекомендуется как дополнительное чтение после семестрового курса аналитической механики.
Более-менее можно изучать по Ландау первично только теорпол и кванты, и так изучают, но это довольно плохой выбор.
Формулу для действия можно получить как подбором через уравнение Эйлера-Лагранжа, так и напрямую через механику Гамильтона (там есть явная формула через гамильтониан).
Но в ландавшице этого нет. Для начального курса теорфиза, возможно, принцип наименьшего действия вообще лучше не использовать, чтобы не запутывать людей.
Приведу пример такой яркий. Уравнение Шредингера - это на самом деле частный случай уравнения Гамильтона-Якоби. И в его выводе есть много физического смысла, и там целая история есть поучительная, откуда оно взялось.
В Ландавшице вместо этого вот это
Откуда взялась сама Пси, понять конечно невозможно, и, разумеется, это всё чистый подгон под ответ вместо вывода.
Для первоначального изучения теорфиза курс Ландау категорически не подходит.
Подход Ландау чисто инженерный - как можно быстрее дать готовый аппарат для решения актуальных задач (а это как раз вариационных подход, теорема Нетер и тому подобное) , не заморачиваясь с пониманием основ, смысла.
То есть смотрите как происходит.
Есть экспериментальные данные, на основе них выводятся уравнения.
Эти уравнения дальше анализируются, обобщаются, усложняются в том числе на основе разных физических принципов (сохранение энергии, ковариантность, относительности, причинность, обратимость и так далее).
А потом из уравнений выводят действие, экстремум которого даёт эти уравнения.
Преимущество подхода с действием в том, что по форме действия очевидны симметрии, которыми обладает уравнение. А по форме уравнения эти симметрии куда менее очевидны.
А ещё, записывая действие, можно выводить инварианты сразу по теореме Нетер, минуя теорию групп и анализ группы симметрии
В ландавшице в разных разделах физики этот приём - подбирается действие, потом варьируется. Но на самом деле просто по известным уравнениям было подобрано действие, которое их даёт, а не наоборот. Так что такие выводы по Ландау можно рассматривать как некоторый концептуальный обман.
Нет, принцип наименьшего действия не угадан, он выведен.
Сводить всю физику к вариационному принципу неверно.
На вопрос откуда принцип наименьшего действия, ответ состоит из двух частей.
Во-первых, это связь между диффурами и экстремальными задачами.
Во-вторых, есть большая история вариационных принципов в разных разделах физики, и там везде они несут физический смысл.
Вариантов использования LLM с большой пользой масса. Например, я провожу занятие со студентами, можно сфоткать доску, затем закинуть ему фотки + свои комментарии и он быстро сделает хорошо оформленный печатный конспект, а если отдельно попросить - еще и иллюстрации неплохие нарисует.
Раньше людям нужны были годы, чтобы создать печатную версию своих семинаров и лекций, и много труда, а сейчас это быстро можно сделать.
Судя по всему, написанного в статье и в комментариях, ему достаточно, чтобы понять, что задача решается точно также, как задача с конусом, только момент инерции другой. Задачи с конусами он решать умеет (такого в обучающей выборке полным полно), считать моменты инерции тоже, если четко прописано, что и относительно чего (при подготовке этой статьи LLM постоянно ошибались с расчетом момента инерции, потому что не могли понять, относительно чего и как надо считать, а тут просто случай как с конусом).
Я специально не выкладывал правильного решения, чтобы LLM не научились ее решать.
Видимо, ему оказалось достаточно разбора ошибок.
По вашей ссылке правильное решение и ответ.
Нет, в феврале. Я делаю паузу сейчас, полно других дел появилось.
Вторую часть вчера дописал и отложил на 7 февраля, она в 2 раза больше первой вышла и концептуально сложнее.
К остальному вернусь в начале февраля.
Цикл про комплексные числа — в каком-то смысле продолжение. Это дополнение к математическому анализу, я буду там ссылаться на этот цикл тоже.
Вторую часть теории групп собираюсь скоро дописать.