Pull to refresh
69
275.8
Игорь Воронцов @master_program

Преподаватель МФТИ и ВШЭ, физик, Data Scientist

Send message

Я придумал излагать через идею "а давайте попробуем ввести обратимое умножение, квадрат которого дает длину вектора". Вторая идея - это зеркала.

Обычно везде, где видел, излагают куда абстрактнее, и сходу непонятно. что это.

Если перпендикулярный, то получатся отражения Хаусхолдера известные. Они потом вводятся все же, через минус (а на практике используют мнимую единицу).

Суть то в том. что зеркало к вектору и под углом можно поставить.

"Было бы интересно увидеть, как перемножаются в общем случае эти 8-компонентные векторы. Есть ли какая-то красивая формула "

На это есть ответ. Никакой красивой формулы нет.

"8-мерное множество (не факт, что линейное пространство, но если так, то будет вообще замечательно). "

Оно не просто линейное пространство, я в статье доказал, что там все базисные элементы обратимые и причем это обращение элементарно устроено.

Но если брать не базисные элементы, а смешанные, то там есть делители нуля и тому подобные вещи.

Легко убедиться, что изоморфности кватернионам нет. e1^2 = 1, а мнимая единица в квадрате дает -1. Зачем вообще вы вспоминаете кватернионы тут в этом контексте?

Из базовых правил видно, что оно линейное. Более того, все геометрические преобразования, которые описывают все мультивекторы в 3D - это линейные преобразования пространства.

Нет тут никакого e0.

"Чему же они равны (покомпонентно) ?"

Это очень простой вопрос. Вот ответ:

e1 = e1

e2 = e2

e1*e2 = e12

В самом начале статьи. Вы в комментариях почему-то упорно пытаетесь очень простые и наглядные вещи выражать через абстрактные и сложные. А суть ведь в том, что геометрическая алгебра - это очень просто, намного проще абстракций линейной алгебры.

Умножение двух любых разных базисных векторов антисимметрично, умножение на себя дает квадрат длины, эта операция определена так, что она обратимая и линейная. При этом все действия имеют очень наглядный геометрический смысл и тут расписано это с картинками. Всё!

Не нужно никаких многомерных пространств, матриц, тензоров и прочих куда более сложных вещей. Всё, что вы тут упоминаете - намного более сложный материал для восприятия, чем тот, что я тут популярно объяснил.

Это как пойти в школу и 7-классникам школьную алгебру через квантовую механику объяснять - вот что вы предлагаете.

Если я так буду писать, то почти никто ничего не поймет, жанр статьи тут - популярная. Написано так, чтобы детям было понятно

"Так что же объект действия? Похоже, что другой вектор. Тогда получается, мы действуем над действиями? Хмм... "

А что вас тут смущает? Именно это и описано. Но действовать можно не только на векторы.

Сразу же как объект действия используется другой вектор.

У меня дано универсальное правило умножения векторов, из которого далее следует, как построить умножение любых объектов и в любой размерности пространства. А эрмитовы матрицы задают правила умножения бивекторов, причем только в 3D (в большей размерности так уже не работает).

Так цель как раз в том, чтобы популярно и понятно изложить, а не строго и формально.

Последовательность и логика введения объектов тут как раз в центре всего.

"И тут он вводит вектара как операторы, но их произведение - это уже скаляр, совсем другого вида оператор. На этом читать перестал.  "

Произведение вектора на вектор - это сумма скаляра и бивектора. Это тоже оператор.

Как раз я тут подробно и анализирую, что из себя он представляет.

Их произведение - это композиция двух операторов как раз.

А матричное представление алгебры Клиффорда в 3D - это все комплексные матрицы 2 на 2, не только эрмитовые.

Эрмитовые являются представлением ее четной подалгебры.

Тут еще спрашивают "что объект этого действия". А ведь важно то, что объектом этого действия является любой другой объект геом.алгебры, а также само пространство целиком.

То, что вы назвали "векторно-скалярным произведением", чаще называют "смешанным произведением". В геометрической алгебре оно получается элементарно: нужно взять внешнее произведение от всех трех векторов.

Полный базис - это 8 матриц. Матрицы Паули, единичная матрица, и все они, умноженные на мнимую единицу.

Кватернионы - это четная подалгебра, как раз именно в геометрической алгебре они получаются очень просто и естественно.

Да, но и она имеет просто непосредственный смысл. Каждый мультивектор - это оператор геометрического преобразования пространства, умножение их - композиция, а композиция операторов вообще-то ассоциативна.

1
23 ...

Information

Rating
9-th
Location
Москва, Москва и Московская обл., Россия
Date of birth
Registered
Activity

Specialization

Data Scientist
Intern