Можно ли доказать существование SVD без собственных значений, определителей, производных и даже без теорем математического анализа о непрерывных функциях?

Оказывается, такое удивительное элементарное доказательство существует!

Мне не удалось найти его где-либо в литературе, даже используя средства ИИ для поиска, так что будем считать, что первым его придумал я 2 ноября 2026-го года.

Отдельная благодарность Ивану Оселедцу, который дал на своей лекции элементарное доказательство SVD для матриц 2 на 2, на основе которого я и построил общий случай.

Для понимания происходящего далее достаточно знать основы теории пределов последовательностей, аксиому полноты вещественных чисел, матрицы и действия с ними, векторы и основы теории евклидова конечно-мерного пространства R^n.

Модель почти идеально выучила ответ, а градиент правильного класса уже стал машинным нулём. При дистилляции возможна обратная ситуация: ученик повторяет учителя, но вычисление всё ещё выдаёт сигнал ошибки. Разбираю исправления DeepMind на школьной алгебре, проверенных примерах NumPy и четырёх графиках: где теряются маленькие числа, как это влияет на обучение и что стоит проверить в своей среде.

В статье есть практические рекомендации, как понять, нужно ли это учесть в ваших программах и нейросетях, и если нужно — как исправить в своем коде ошибку из стандартных библиотек.

Самое удивительное тут то, что, казалось бы, подобная тема должна быть исследована вдоль и поперек еще на заре развития машинного обучения, а в реальности важнейший научный препринт от DeepMind об этом вышел 22 октября, то есть меньше недели назад.

Кроме того, рекомендую включать этот материал в базовые учебные курсы.

В статье Building agents: When to fold subagents into your main agent loop, опубликованной 22 октября 2026 года, Diane Sarkis из Anthropic описала случаи, в которых замера множества ИИ-агентов на одного агента с навыками и инструментами приводила к значительному повышению качества работы, снижению стоимости и времени выполнения запросов. Это выглядит так, как будто создать множество узкоспециализированных ИИ-агентов — во многих случаях не очень хорошая идея.

Бывало ли такое с Вами?

ИИ исправно работает, токены расходуются, а момент завершения отодвигается, потому что очередное тестирование проекта от ИИ находит новые проблемы.

Но попытка все эти проблемы исправить приводит внезапно не к идеальному состоянию, а к ухудшению результата. Вместо разумно построенного проекта вырастает машина Голдберга.

Почему с ИИ стало легче писать код, но порой труднее закончить работу? И как понять, что ИИ уже создает больше новых проблем, чем решает старых?

Здесь вы узнаете, как работа с современным ИИ может воспроизводить известную апорию Зенона, в которой Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Помогает ли способ оценки шумных измерений принимать полезные изменения кода при одинаковых ролях, задачах и лимитах?

Разбираю фильтр Калмана на простой учебной модели: как он соединяет прогноз и отзыв критика, чем отличается от регулятора и что происходит при коррелированных ошибках, выбросах и задержках.

Затем проверяю четыре правила принятия правок в реальном цикле «автор — критик». Пилот завершён: 720 ответов модели, из них 144 для калибровки и 576 для оценки на шести задачах оптимизации Python-кода.

В симуляции фильтр улучшил оценку состояния и уменьшил величину правок. В реальном пилоте все четыре режима достигли критерия успеха, а дополнительного преимущества Калмана обнаружить не удалось.

К статье приложены ноутбук, исходники, результаты, графики и описание ограничений, а также готовый пакет для собственного эксперимента с агентами через OpenAI API — с инструкцией, калибровкой, паузой и возобновлением.

Предлагаю всем желающим заняться исследованием, на каких реальных задачах рой ИИ-агентов, использующий фильтр Калмана, лучше или хуже обычного роя ИИ-агентов.

Как мы создавали интерактивные HTML-лекции по линейной алгебре и улучшали их через Gauntlet Loop. Разбираем разные версии, циклы исправлений и ошибки, которые обнаружились при повторных проверках: от скрытого условия задачи до преждевременно показанного ответа.

В статье — готовые промпты, сравнения «до/после», также прикреплены ссылками на гугл-диск две лекции и архив материалов для воспроизведения всего процесса.

Кроме того, предложенная здесь технология и описание типичных ошибок могут помочь и вам создавать более совершенные презентации для лекций с помощью ИИ.

Три месяца отладки, десятки книг и переход от Claude к локальным моделям.

Рассказываю, как собрал открытый конвейер перевода и вёрстки книг: MinerU распознаёт страницы, Hy-MT2 переводит текст, а Python-скрипты собирают LaTeX и PDF.

Показываю запуск без управляющего ИИ-агента, схемы работы и как осуществлять верстку целых книг с автоматическим переводом абсолютно бесплатно и без ограничений!

Anthropic сообщила о девятипетлевом расчёте Claude — поднявшем ранее опубликованный результат для этой амплитуды с восьми до девяти петель.

Разбираясь в новости, я восстановил с ИИ вычисления из своего диплома о графене и обнаружил ошибку, оставшуюся после защиты. Здесь показываю процессную декомпозицию как один из способов контролировать научный код от ИИ: входы, выходы, контракты, независимые проверки, проверки проверок и намеренные дефекты для контроля качества.

Материал изложен постепенно, от простого к сложному, от основ к научным результатам. От уравнения Шрёдингера и одной петли постепенно доходим до bootstrap и символов.

В статье 95 иллюстраций, включая анимации, полный Python-код, семь воспроизводимых опытов вычислений с помощью Python и квантовый пикторализм, как одна из возможных концепций в качестве основы научного кода будущего для квантовой теории.

В прошлом году я написал пост про известную шифровальную машину нацистов Как работает машина Enigma M3 (для флота) / Хабр .

Enigma широко использовалась в немецких вооружённых силах, включая армию и флот.

Но куда менее известной является машина Lorenz SZ 42, хотя она была не менее важна.

Из этой статьи вы сможете узнать, как шифровали сверхсекретную связь высшего немецкого командования, как ошибка оператора в 1941 году помогла раскрыть устройство Lorenz и почему в 1944-м для чтения таких сообщений появился электронный Colossus.

Сразу скажу, что написать эту статью было куда сложнее, чем статью про Enigma, так как материалов про это сильно меньше, особенно научно-популярных и особенно на русском языке. Но это того стоило! Получилась еще одна увлекательная глава из истории техники, криптографии и Второй мировой войны.

Кроме того, в процессе работы над материалом было найдено довольно много первоисточников, которые неплохо сохранить внутри такой статьи. В самом низу есть cайты, архивы, интерактивные модели и первоисточники, в статье много кода на Python.

В комментариях к статье про теорему Миттаг-Леффлера я пообещал разобрать гипотезу Римана понятно и подробно. Неожиданно оказалось, что пока я писал текст, ИИ произвел в этой области исследований новый прорыв и поэтому содержание статьи пришлось расширить.

10 августа 2026-го года Anthropic выложила препринт на тридцать пять страниц. В графе «автор» они указали Claude. Утверждение о достигнутом результате выглядит невероятно: ИИ доказал, что не менее двух третей нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой.

В последние десятки лет прогресс в этой задаче измерялся в сотых долях одного процента и каждый такой сдвиг считался достижением: настолько хватало мощи человеческого гения.

В этой статье я расскажу о том, что это всё значит и почему это очень круто.

Ниже также — обещанный вывод связи между нулями дзеты и простыми числами, потом что именно доказано, как (идея действительно умещается на страницу и она красивая), как её нашли — там настоящий детектив, — и чего всё это не значит. Последнее важнее всего, потому что новостные заголовки на эту тему врут как минимум наполовину.

Посмотрев интервью Маска и выступления, обнаружил в нем одно интересное математическое противоречие, которое делает достижение сингулярности практически невозможным при условии, что люди будут вести себя хоть сколько-то рационально. Чтобы возникла экономико-технологическая сингулярность, люди должны инвестировать в нее. Но эти инвестиции не рациональны, и поэтому она не должна возникнуть.

Предлагаю ознакомиться с сутью этого парадокса.

Возьмите функцию на комплексной плоскости, у которой производная существует всюду, кроме отдельных изолированных точек.

Что необходимо о ней знать, чтобы восстановить её целиком?

Ответ поразительный: достаточно списка точек, где функция не дифференцируема, и «силы» каждой поломки. Формулу написал шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер, и она — одна из самых красивых в комплексном анализе.

В статье далее — электростатика на комплексной плоскости, спины у классических мультиполей, контрчлены как в квантовой теории поля, вывод в две строчки, самая дорогая ошибка Пуанкаре и разбор легенды о том, почему не бывает Нобелевской премии по математике. И картинки на matplotlib, разумеется, — с кодом.

Статья для тех, кто хочет по-настоящему понять суть основ комплексного анализа!

Как создавался этот документ.

Это учебное пособие по функциональным уравнениям я не писал руками. Я провёл со студентами ВШЭ онлайн-занятие факультатива по олимпиадной высшей математике — разобрал пять задач международной студенческой олимпиаде IMC. А дальше ИИ собрал из видеозаписи занятия вот этот разбор: восстановил выкладки по тому, что осталось на доске, сверил каждое условие со сборником задач IMC, написал решения «по шагам» и нарисовал к ним иллюстрации. Ему хватило на это всего почти ровно 100 минут.

Затем ИИ взял pdf и превратил в markdown. Дальше скопировал — вставил. Только что вручную пришлось 16 рисунков вставлять.

Получился любопытный эксперимент: подробное пособие было создано автоматически из живого проведения факультатива, без участия человека в его написании. Грубых ошибок я не нашёл, но «ошибок нет» в олимпиадных доказательствах — слишком смелое заявление, поэтому приглашаю проверить. О том, как именно это устроено — в конце статьи; там нарисована схема мультиагентного пайплайна, с помощью которое создавалось пособие.

Предлагаю в комментариях обсудить результаты этого эксперимента и последствия. Правок в документ не вносилось, кроме добавления небольшого числа дополнительных пробелов и переносов строк для улучшения визуального восприятия текста.

В предыдущей части была рассмотрена предыстория комплексных чисел: от их первого открытия до понимания и умения их широко использовать в науке прошли сотни лет. Комплексные числа впервые возникли как артефакт вычислений в работе Кардано 1545-го года и вплоть до конца XVIII века их статус оставался нестабильным, шли научные дискуссии об уместности их употребления и интерпретации.

Современные изложения теории комплексных чисел выглядят «магически» и непонятно для многих людей именно потому, что, как правило, разрыв между непониманием XVIII века и теориями XIX века не покрыт. Сначала предлагается изучить основы теории комплексных чисел в том виде, в которой они были сформулированы в середине XVIII века, а потом сразу делается скачок к теориям, созданным в середине XIX века.

Ключевой шаг понимания мнимых единиц, сделанный человечеством в начале XIX века присутствует только в виде готовой векторной интерпретации комплексных чисел, которая дается пояснения, откуда и зачем она взялась, и что же она объясняет. Интерпретация есть, а смысла за ней нет. Концептуальные проблемы, связанные с комплексными числами, не только не решаются с помощью нее, но и даже не ставятся.

Изложение теории комплексных чисел и даже теории функций комплексного переменного, принятое в современных учебниках, логически противоречиво и содержит много парадоксов, которые современные студенты и их преподаватели обычно даже не замечают, а математики прошлого видели в них неразрешимые проблемы.

В этой статье мы разберемся, наконец, с геометрическим смыслом комплексных чисел, который разрешает все эти парадоксы, а в следующей — с самими парадоксами Эйлера: как их не могли решить великие математики и как их легко решила геометрия.

Главный вход в этот переход сделали не где попало, а из подвала КПМ. Добраться туда можно на лифте в КПМ, нажав на минус первый этаж. Кроме того, подземный переход соединен с подземным переходом между ГК и ЛК, соединяя также НК, АК, корпуса "Арктика" и "Цифра". Корпус Физтех.БИО изначально был тоже с ним соединен, но из-за утечки биологических материалов временно подземный путь туда перекрыт.

В проекте Matplotlib (популярная библиотека для графики, часто используется для визуализации чего-либо в Python) волонтёр-разработчик Scott Shambaugh отклонил предложенные изменения кода от автономного ИИ-агента MJ Rathbun.

И тут началось!

В этой статье я бросаю вызов общепринятому представлению о больших языковых моделях как о «тупых исполнителях», которые ничего не понимают, галлюционируют, но позволяют получить результат быстрее (нередко за счет качества).

Подобные мифы активно распространяются в сети, а также на курсах, на которых обучают «правильно» писать промпты.

Я на Хабре уже написал несколько статей, разоблачающих отсутствие мышления у LLM, но здесь я опишу способность больших языковых моделей решать задачи, людям недоступные. Из этой статьи вы узнаете, как на самом деле надо использовать нейронки, чтобы получать максимальную пользу от них.

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни».

Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе.

У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты.

Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений.

С помощью комплексных чисел работает  Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, описываются законы квантовой механики и даже обычные механические колебания.

В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой.

Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

В августе этого года я начал выкладывать свои релизы по научным статьям, которые делаю для МФТИ, на Хабр. Эти релизы представляют из себя особый жанр статей: это подробные пересказы содержания научных статей и исследований российских ученых, содержание которых они сами одобрили и в большинстве случаев отредактировали.

Я пишу в среднем по 10 релизов в месяц, начиная с июля 2024-го года.

Вплоть до конца марта 2025-го года релизы делались полностью вручную, а затем опыт, навыки и понимание структуры были использованы, чтобы создать подробный промпт для облегчения этой работы. Этот промпт совсем не дает готового релиза (нужно проверять по содержанию статьи, редактировать, исправлять, подбирать иллюстрации и делать тому подобное), но очень полезен для быстрого чтения научных статей (многие ученые были мне очень благодарны за этот промпт) и помогает в моей работе

https://colab.research.google.com/drive/1IhrozZA9RyxZNimoP3usQfOIHxi0FV0S?usp=sharing

Вот он же в ворде

https://docs.google.com/document/d/1vjMs0msmleQqDXr_0TYyAgB2uelUHXHSmPYTX8I4Ulo/edit?usp=sharing

Здесь сделаю обзор своих последних релизов, которые не успел выложить на Хабр (и по одному больше не буду выкладывать).

Почему теория групп порой кажется сложной и непонятной. Представьте себе, что вы открываете учебник по математике. На первой же странице видите: «Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём »

В этот момент у вас сразу же появляются вопросы:

Откуда взялось это множество и зачем оно нужно?

Какая операция и что это вообще всё значит?

Почему я должен верить в эти аксиомы?

Большинство курсов по теории групп построены по принципу «сначала формализм, потом (может быть) понимание». Студентов заставляют зубрить символьные доказательства «от противного», которые безупречны логически, но ничего не дают интуиции

В этой статье мы перевернем всё с ног на голову.