Я начну с объяснения, что такое тензоры и как ими пользоваться. Есть оригинальные идеи, которые вроде понятные очень и при этом нигде до сих пор такого не видел. Уже пробовал с помощью них объяснять другим - вроде хорошо работает.
Тут такой подход конструкторский
Есть отдельные элементы, числа
Есть 2 способа их агрегирования - столбцы и строки
Дальше можно собирать столбцы из строк, строки из столбцов, строки из строк, столбцы из столбцов, и так далее, как угодно
И всё это одновременно с алгебраическим смыслом, т.е. столбцы объекты из векторного пространства, строки - пространства функционалов.
Где-то 4-5 длинных статей нужно написать, чтобы дойти до уравнения Эйнштейна, с нуля. Тетрадный формализм и вывод символов Кристоффеля минимум 3 способами - это, наверное, будет вторая из них.
Тут реализуются две идеи
Очень простое объяснение ОТО
Перевод ОТО на язык геом.алгебры.
А насчет тетрад, это тоже, потому что подход геом.алгебры его аналог, только более простой и понятный для восприятия.
Я бы даже сказал, что тетрады - это гибрид между громоздким изложением ОТО через базисные векторы и подходом геометрической алгебры.
Если посмотреть вступительный в МФТИ, например, 60-х годов, то там с избытком было времени на задачи, но надо понимать физику, чтобы решить.
Сейчас ситуация противоположная, везде проверяется навык быстро решать без ошибок.
Тут вопрос в целом сложный. Преимущества проверки навыка быстро решать в том, что
это проверка более-менее объективная.
заставляет всех готовиться.
какой-то фильтр дает и по пониманию, потому что очень сложно научиться быстро решать, если не понимаешь материал.
А еще многие математики, как вижу, ценят способность автоматически проделывать вычисления, по формальным правилам, не задумываясь о смысле проводимых операций.
Следующий пост в популярно-провокационном стиле как раз на тему того, что такое математика, опубликую. Накопилось тут из-за общения с критиками.
К этой статье поставили 25 дизлайков, там народ из математических чатов (в основном преподаватели вышмата из питерских вузов). Очень сильно злятся на то, что я написал. Есть у них ненависть к наглядной геометрии и любовь к строгим формальным выкладкам. Но положительных отзывов пришло намного больше, да и лайков.
Ну тут стремление к "алгоритмам" связано с особенностями ОГЭ и ЕГЭ. В школах массово натаскивают к простым задачам по геометрии оттуда (в тестовых частях). Дети не хотят учить геометрию, поэтому их интересуют максимально простые способы решения, которые можно освоить без какого-либо понимания материала.
И у учителя стоит задача, как же таких детей научить писать тест. Оказывается, что тут лучше всего помогают как раз "алгоритмы".
Но бывают издержки таких методов. Например, в ЕГЭ раньше была задача, в тесте, в которой нужно было посчитать площадь фигуры на клетчатой бумаге. И как-то в одном году дали найти площадь треугольника, но он был нарисован на координатной плоскости (основание параллельно оси Ох) и были подписаны координаты точек на осях (проведены перпендикулярные линии). Из-за такой модификации задачи в том году резко упал процент ее решаемости, и больше обычного детей не получили аттестаты.
Тут есть проблема. Векторная алгебра не равно геометрия. Геометрия - это числовая модель + группа автоморфизмов.
Соответственно, если мы определяем квадрат длины вектора как сумму квадратов координат, то это равносильно теореме Пифагора, потому что в любом прямоугольном треугольнике длины катетов можно рассматривать как координаты гипотенузы.
Речь же идет о том, что если принимать во внимание группу автоморфизмов, то вообще не нужно постулировать формулу для скалярного произведения. Достаточно определить, что вектор, лежащий вдоль оси Ох, имеет длину, равную его координате (проще говоря, определить длину через длину единичного вектора). И далее теорема Пифагора отсюда получается автоматически.
На самом деле есть некоторый разрыв в школьном изложении. Как устроены длины и расстояния отчасти дают (задачи на координатной плоскости в 6-м классе, и на клетчатой доске, функции в 7-м с графиками и так далее), потом обрывают, затем снова дают уже в 9-м классе (векторы и координаты), но как-то выходит слишком резкий переход что ли. И уж точно не дают понимания, что теорема Пифагора тут ключевая.
В советском варианте учебника Киселева (использовался в основном в 30-50-х годах), например, там этот мост проделан, от теорем Фалеса и подобия, идут дальше к геометрии цепных дробей, показывают иррациональность корня из двух, в теории пределов немного с геометрической точки зрения проходят. И там рассказывается о том, что теорема Пифагора про то, как устроены длины и расстояния в нашем мире.
Потом более поздние учебники стали убирать это всё, заход во что-то метрическое остался только с теоремой Фалеса, и в целом концепция глобально изменилась. У Киселева школьный курс геометрии выглядит как введение в основы математического анализа. Там очень много посвящено действительным и рациональным числам, цепным дробям, понятию площади и длины, есть основы теории пределов.
А современные учебники по геометрии вот этого всего не содержат, и там заточено всё на то, чтобы научить школьника решать типовые задачи на ЕГЭ. И существует очень четкая и явная тенденция убирать из геометрии всякие иллюстрации и геометрические доказательства, заменять "алгоритмами".
Концепций меньше, наглядности меньше, формул и "алгоритмов" - больше. Такая вот эпоха деградации. в которую мы живем.
А дети с каждым годом геометрию знают всё хуже, в среднем.
В основном есть только изложение самых основ. Например, книга Бескина "Гравитация и астрофизика", там изложены основы ОТО в формате для физматшкольников.
Да, и я о том же. Так наоборот, метод через движения был очень популярен в 19м веке, а в учебниках 20-го века убрали его. Но мне пишут, что в хороших школах его и сейчас рассказывают, просто в учебнике он отсутствует.
Я начну с объяснения, что такое тензоры и как ими пользоваться. Есть оригинальные идеи, которые вроде понятные очень и при этом нигде до сих пор такого не видел. Уже пробовал с помощью них объяснять другим - вроде хорошо работает.
Тут такой подход конструкторский
Есть отдельные элементы, числа
Есть 2 способа их агрегирования - столбцы и строки
Дальше можно собирать столбцы из строк, строки из столбцов, строки из строк, столбцы из столбцов, и так далее, как угодно
И всё это одновременно с алгебраическим смыслом, т.е. столбцы объекты из векторного пространства, строки - пространства функционалов.
Где-то 4-5 длинных статей нужно написать, чтобы дойти до уравнения Эйнштейна, с нуля. Тетрадный формализм и вывод символов Кристоффеля минимум 3 способами - это, наверное, будет вторая из них.
Тут реализуются две идеи
Очень простое объяснение ОТО
Перевод ОТО на язык геом.алгебры.
А насчет тетрад, это тоже, потому что подход геом.алгебры его аналог, только более простой и понятный для восприятия.
Я бы даже сказал, что тетрады - это гибрид между громоздким изложением ОТО через базисные векторы и подходом геометрической алгебры.
Если посмотреть вступительный в МФТИ, например, 60-х годов, то там с избытком было времени на задачи, но надо понимать физику, чтобы решить.
Сейчас ситуация противоположная, везде проверяется навык быстро решать без ошибок.
Тут вопрос в целом сложный. Преимущества проверки навыка быстро решать в том, что
это проверка более-менее объективная.
заставляет всех готовиться.
какой-то фильтр дает и по пониманию, потому что очень сложно научиться быстро решать, если не понимаешь материал.
А еще многие математики, как вижу, ценят способность автоматически проделывать вычисления, по формальным правилам, не задумываясь о смысле проводимых операций.
Следующий пост в популярно-провокационном стиле как раз на тему того, что такое математика, опубликую. Накопилось тут из-за общения с критиками.
К этой статье поставили 25 дизлайков, там народ из математических чатов (в основном преподаватели вышмата из питерских вузов). Очень сильно злятся на то, что я написал. Есть у них ненависть к наглядной геометрии и любовь к строгим формальным выкладкам. Но положительных отзывов пришло намного больше, да и лайков.
Ну тут стремление к "алгоритмам" связано с особенностями ОГЭ и ЕГЭ. В школах массово натаскивают к простым задачам по геометрии оттуда (в тестовых частях). Дети не хотят учить геометрию, поэтому их интересуют максимально простые способы решения, которые можно освоить без какого-либо понимания материала.
И у учителя стоит задача, как же таких детей научить писать тест. Оказывается, что тут лучше всего помогают как раз "алгоритмы".
Но бывают издержки таких методов. Например, в ЕГЭ раньше была задача, в тесте, в которой нужно было посчитать площадь фигуры на клетчатой бумаге. И как-то в одном году дали найти площадь треугольника, но он был нарисован на координатной плоскости (основание параллельно оси Ох) и были подписаны координаты точек на осях (проведены перпендикулярные линии). Из-за такой модификации задачи в том году резко упал процент ее решаемости, и больше обычного детей не получили аттестаты.
Я там еще одну анимацию прикрепил, где в спуске не меняется площадь.
А доказательства расписаны.
Перерисовал и добавил еще один в статью.
Вообще на будущее можно подумать эту штуку через отражения нарисовать.
Наглядность в том, что мы просто перемещаем. Можно из бумаги вырезать.
Сейчас всё исправлю, спасибо что заметили.
Углы нормально, разным цветом. А буквы да, перепутал. Сейчас исправлю.
Посмотрел вашу статью. Могу написать статью с разбором того, что там написано.
Вот такую сделал и добавил
Тут есть проблема. Векторная алгебра не равно геометрия. Геометрия - это числовая модель + группа автоморфизмов.
Соответственно, если мы определяем квадрат длины вектора как сумму квадратов координат, то это равносильно теореме Пифагора, потому что в любом прямоугольном треугольнике длины катетов можно рассматривать как координаты гипотенузы.
Речь же идет о том, что если принимать во внимание группу автоморфизмов, то вообще не нужно постулировать формулу для скалярного произведения. Достаточно определить, что вектор, лежащий вдоль оси Ох, имеет длину, равную его координате (проще говоря, определить длину через длину единичного вектора). И далее теорема Пифагора отсюда получается автоматически.
Я тут придумал уже, как одним рисунком сделать. Нарисую сегодня позже и вставлю.
Нет, формулы площади треугольника и площади параллелограмма не требуют ничего, кроме формулы площади прямоугольника.
Предельные переходы в доказательстве формул нужны для криволинейных фигур. Например, при доказательстве формулы площади круга.
Опыт с водой как раз физически реализует идею первого доказательства из статьи.
Можно из бумаги еще повырезать, например.
На самом деле есть некоторый разрыв в школьном изложении. Как устроены длины и расстояния отчасти дают (задачи на координатной плоскости в 6-м классе, и на клетчатой доске, функции в 7-м с графиками и так далее), потом обрывают, затем снова дают уже в 9-м классе (векторы и координаты), но как-то выходит слишком резкий переход что ли. И уж точно не дают понимания, что теорема Пифагора тут ключевая.
В советском варианте учебника Киселева (использовался в основном в 30-50-х годах), например, там этот мост проделан, от теорем Фалеса и подобия, идут дальше к геометрии цепных дробей, показывают иррациональность корня из двух, в теории пределов немного с геометрической точки зрения проходят. И там рассказывается о том, что теорема Пифагора про то, как устроены длины и расстояния в нашем мире.
Потом более поздние учебники стали убирать это всё, заход во что-то метрическое остался только с теоремой Фалеса, и в целом концепция глобально изменилась. У Киселева школьный курс геометрии выглядит как введение в основы математического анализа. Там очень много посвящено действительным и рациональным числам, цепным дробям, понятию площади и длины, есть основы теории пределов.
А современные учебники по геометрии вот этого всего не содержат, и там заточено всё на то, чтобы научить школьника решать типовые задачи на ЕГЭ. И существует очень четкая и явная тенденция убирать из геометрии всякие иллюстрации и геометрические доказательства, заменять "алгоритмами".
Концепций меньше, наглядности меньше, формул и "алгоритмов" - больше. Такая вот эпоха деградации. в которую мы живем.
А дети с каждым годом геометрию знают всё хуже, в среднем.
В основном есть только изложение самых основ. Например, книга Бескина "Гравитация и астрофизика", там изложены основы ОТО в формате для физматшкольников.
Наверное, стоит сделать что-то типа этого рисунка и вставить в статью.
Ну тут смотря как доказывать. Я имел в виду, что сдвиг происходит на длину второго катета. Вот на рисунке, что имею в виду.
Да, и я о том же. Так наоборот, метод через движения был очень популярен в 19м веке, а в учебниках 20-го века убрали его. Но мне пишут, что в хороших школах его и сейчас рассказывают, просто в учебнике он отсутствует.
А как проще написать предлагаете?
Думаю скорее корректно говорить, что у большинства людей проблемы с абстрактным мышлением и поэтому геометрический подход им понятнее.