Доказательство с векторами можно без векторов переделать, используя только обозначения на клетчатой бумаге (координатной сетке). Если школьникам давать, то так проще будет, видимо.
Да, есть очень наглядные изложения ОТО, которые отсутствуют в википедии и современных учебниках. Причем многие современные специалисты, в том числе в области ОТО, этих изложений не понимают, сам проверял. "Срыв покровов" по этому поводу позже будет здесь выложен.
А еще переписывание через геом.алгебру, там еще сильнее всё упрощается в ОТО.
Да, и моя статья про матанализ о том же. Есть такой эффект, что формулируешь то же самое, но другим способом - люди уже не могут узнать сформулированное. Потому что они изучали формально и абстрактно, а не что это значит.
Абстрактное мышление может развиваться. Тут скорее дело в том, чтобы не создавать лишних барьеров в самом начале, из-за которых часть обучающихся быстро отваливается и затем они не могут освоить материал дальше.
Это вполне нормально, если доказать войства движений.
Причём постулировать для доказательства этих свойств достаточно лишь свойства осевой симметрии - на самом деле они эквивалентны пятому постулату Евклида. Это называется теорема Клеро.
Прочие движения (поворот и параллельный перенос) можно определить через композицию двух осевых симметрии относительно 2 разных осей.
Ему также эквивалентна, например, транзитивность параллельности.
Такой подход появился в 19м веке, а потом о нем забыли.
Тут на самом деле целых 2 разрыва в школьном курсе планиметрии
Переход к метрическим теоремам. Сейчас делают через Фалеса и подобные, доказывают только для рациональных, а потом пользуются для любых.
Признаки равенства треугольников доказывают движениями, но свойства движений больше не используют долго и потом доказывают через признаки равенства треугольников, что неверно
Самым понятным и педагогически правильным считается учебник Киселева, который был в 19м веке, возрождали при Сталине, а потом заменили его менее удачными. И этот учебник хорош в том числе тем, что там нет таких разрывов.
В школьном курсе ортонормированная система координат на плоскости подробно проходится на год раньше теоремы Пифагора (в курсе алгебры). До этого в 6м классе по математике изучают задачи на координатной плоскости.
А ещё задачи на клетчатой бумаге дают в 6 и 7м классах (а теорема Пифагора только в 8м классе), достаточно только этой темы даже.
"доказывать равенство площади параллелограмма при сдвиге надо тоже геометрическим способом "
Ну кстати им обычно и доказывается до сих пор в учебниках.
Но тут важно было указать на существование инварианта.
Вот вставил в статью в это место.
А давайте сейчас для большей ясности эту тоже в статью добавлю.
Не совсем так. В курсе планиметрии эта формула (площади параллелограмма) доказывается через теорему о перекашивании и формулу площади прямоугольника.
А это и есть "покосившийся забор".
Здесь не используются все эти свойства. Используются только те, которые к 8-му классу уже доказаны в курсе планиметрии.
Насчет сложения векторов - они опираются на свойства параллелограммов.
Вот собственно в конце статьи и получилось.
Доказательство с векторами можно без векторов переделать, используя только обозначения на клетчатой бумаге (координатной сетке). Если школьникам давать, то так проще будет, видимо.
Этот способ постулирует теорему Пифагора как аксиому. Там же длина вектора определяется как корень из суммы квадратов координат.
Об этом последняя часть моей статьи.
Да, есть очень наглядные изложения ОТО, которые отсутствуют в википедии и современных учебниках. Причем многие современные специалисты, в том числе в области ОТО, этих изложений не понимают, сам проверял. "Срыв покровов" по этому поводу позже будет здесь выложен.
А еще переписывание через геом.алгебру, там еще сильнее всё упрощается в ОТО.
Этот стиль, как показывают мои эксперименты, увеличивает число просмотров и откликов.
По признаку равенства прямоугольных треугольников (по 2 катетам).
Это вы еще с современной абитурой не сталкивались. А познания в геометрии, к сожалению, в основной массе школьников сейчас совсем обнулились.
Да, и моя статья про матанализ о том же. Есть такой эффект, что формулируешь то же самое, но другим способом - люди уже не могут узнать сформулированное. Потому что они изучали формально и абстрактно, а не что это значит.
Это то, что называется "синтаксическая математика". https://dxdy.ru/post1123755.html
Абстрактное мышление может развиваться. Тут скорее дело в том, чтобы не создавать лишних барьеров в самом начале, из-за которых часть обучающихся быстро отваливается и затем они не могут освоить материал дальше.
Не только начинают, это 8 класс уже.
До теоремы Пифагора был весь 7 класс геометрии, а до него геометрические задачи в 5 и 6м классах (например, на координатной плоскости).
Через наложения признаки равенства доказывают.
Это вполне нормально, если доказать войства движений.
Причём постулировать для доказательства этих свойств достаточно лишь свойства осевой симметрии - на самом деле они эквивалентны пятому постулату Евклида. Это называется теорема Клеро.
Прочие движения (поворот и параллельный перенос) можно определить через композицию двух осевых симметрии относительно 2 разных осей.
Ему также эквивалентна, например, транзитивность параллельности.
Такой подход появился в 19м веке, а потом о нем забыли.
Вот так в 19м веке давали
Тут треугольник перемещают и деформируют.
Тут на самом деле целых 2 разрыва в школьном курсе планиметрии
Переход к метрическим теоремам. Сейчас делают через Фалеса и подобные, доказывают только для рациональных, а потом пользуются для любых.
Признаки равенства треугольников доказывают движениями, но свойства движений больше не используют долго и потом доказывают через признаки равенства треугольников, что неверно
Самым понятным и педагогически правильным считается учебник Киселева, который был в 19м веке, возрождали при Сталине, а потом заменили его менее удачными. И этот учебник хорош в том числе тем, что там нет таких разрывов.
В школьном курсе ортонормированная система координат на плоскости подробно проходится на год раньше теоремы Пифагора (в курсе алгебры). До этого в 6м классе по математике изучают задачи на координатной плоскости.
А ещё задачи на клетчатой бумаге дают в 6 и 7м классах (а теорема Пифагора только в 8м классе), достаточно только этой темы даже.
Там же на рисунке показано. В силу равенства сторон и углов.
В оригинальном доказательстве по Евклиду (которое и называется "Пифагоровы штаны") треугольник меняют при переносе, сохраняя площадь.
Я тут изложил другую его известную версию, в которой преобразования проще.