Эрмитова матрица частный случай нормальной матрицы (там важно то как раз, что при разложении Шура получается диагональная, а класс нормальных матриц в точности совпадает с классом матриц, для которых форма Шура диагональная), так что для нее псевдоспектр - это маленькие круги возле собственных значений. А в случае ненормальной матрицы да, может быть всё гораздо хуже, разумеется.
Статья написана по типичному плану лекции по теме "уравнение Ляпунова". Зачем нужно, откуда взялось, 2 случая (дискретный и непрерывный) и как его решать.
В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно
Материал английской страницы написан так, что его очень сложно понять, если уже не знаешь, что это такое, так как слишком кратко. Я же здесь сделал подробно, также добавил примеров и много иллюстраций с кодом.
Я сейчас учусь в Aimasters, у нас было 3-часовое занятие на тему уравнения Ляпунова, например, на курсе робототехники, там в точности такой же план изложения.
Нужно спроектировать управление, оценить область притяжения (устойчивости) для нелинейной системы, оценить робастность - как минимум.
Кроме того. если матрица A зависит от времени, то метод собственных чисел вообще не является критерием. Например, Re(k) могут быть < 0 в любой момент времени, но при этом система может быть неустойчивой. А уравнение Ляпунова в этом случае работает.
Устойчивость означает, что при малом возмущении начальных условий траектория меняется слабо.
Здесь в статье проделан вывод уравнения Ляпунова, соответственно дан ответ на вопрос, откуда оно взялось
Потому что это система линейных диффуров, в окрестности равновесия любая механическая система так описывается приближенно (вдали от окрестности уже нелинейная становится). Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму
Энергия в кавычках, потому что можно брать не только кинетическую энергию, а в принципе любую подходящую квадратичную функцию. Обычно берут кинетическую энергию, но в некоторых случаях удобнее что-то еще.
Материал про линеаризацию тогда чуть позже ночью добавлю и вставлю в статью.
Это не так. Вам нужно какой-то интеграл продифференцировать по параметру, например. И придется для этого уметь доказывать, что подынтегральная функция равномерно непрерывна.
Для применения многих методов, например, нужно уметь доказывать равномерную сходимость или равномерную непрерывность. А чтобы это сделать - нужно знать и понимать теоремы.
У исчисления Хевисайда тоже есть границы применимости.
Тут непонятно, чем это лучше просто условия. Ведь если брать 2 модуля и сравнивать if .. else..., то получается гораздо проще. По вашей формуле тоже придется условную конструкцию писать, но она гораздо сложнее. Если же этого не делать, то "меньшим" тогда считается то число, которое находится "слева" от другого относительно линии разреза функции корня на комплексной плоскости, что вообще-то совсем другое, чем выбор минимального по модулю.
То есть фактически вы делаете ровно то же самое сравнение модулей, чтобы выбрать, какой из листов функции корня использовать. Вы предлагаете:
Да я тут посмотрел, у Кудрявцева много доказательств по Гейне. А в книге Куранта по анализу используется тот же подход точек сгущения, и определение предела как единственной точки сгущения последовательности (за которое меня тут и в других местах некоторые комментаторы сильно обругали) для доказательства теорем про последовательности, а для теорем про непрерывные функции - совмещение этого подхода с пределом по Гейне.
Так что какие-то элементы того, что предлагаю, отыскать можно в разных местах. У Куранта, к сожалению, так доказаны только некоторые теоремы.
Пеано хорош тем, что он очень простой, Лагранжа хорош тем, что повсеместно используется в вычислительной математике.
Да, нужно мотивацию определений давать. Но когда мы говорим про вводные темы, аксиомы, основания, там мотивация в том, чтобы строго рассуждать и не ошибаться.
Я там дал ссылку на сайт своего курса https://toomanydigits.online/Block3/Sem2/1.html#id10 .
У меня там это описано
Эрмитова матрица частный случай нормальной матрицы (там важно то как раз, что при разложении Шура получается диагональная, а класс нормальных матриц в точности совпадает с классом матриц, для которых форма Шура диагональная), так что для нее псевдоспектр - это маленькие круги возле собственных значений. А в случае ненормальной матрицы да, может быть всё гораздо хуже, разумеется.
Статья написана по типичному плану лекции по теме "уравнение Ляпунова". Зачем нужно, откуда взялось, 2 случая (дискретный и непрерывный) и как его решать.
В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation
Материал английской страницы написан так, что его очень сложно понять, если уже не знаешь, что это такое, так как слишком кратко. Я же здесь сделал подробно, также добавил примеров и много иллюстраций с кодом.
Я сейчас учусь в Aimasters, у нас было 3-часовое занятие на тему уравнения Ляпунова, например, на курсе робототехники, там в точности такой же план изложения.
"Не сказано о проблеме численного нахождения собственных значений для неэрмитовых матриц. "
Для алгоритма Шура разницы тут нет, эрмитовая она или нет.
Тут и написан общий случай, фактически (для эрмитовой разложение Шура дает диагональную матрицу, а не верхне-треугольную).
А можете дать ссылку на алгоритм Булгакова и Годунова? Загуглить такое не получается. В учебниках это тоже отсутствует.
Спасибо! Видимо, так и сделаю.
Так это в статье уже было. Функция V через матрицу P выбиралась.
Гиперссылки внутри Википедии то набросаю. Пока нужно с контентом разобраться.
Для этого нужно функцию V считать по полной системе, беря ее на основе квадратичной формы, построенной на основе линеаризованной.
Я сейчас составляю вводный кусок с физикой, там покажу тогда этот пример сразу.
Допишу это в статью тоже ночью сегодня.
Или, например, допустим собственные числа чисто мнимые, тогда метод собственных чисел для исходной нелинейной системы вообще ничего не гарантирует.
Нужно спроектировать управление, оценить область притяжения (устойчивости) для нелинейной системы, оценить робастность - как минимум.
Кроме того. если матрица A зависит от времени, то метод собственных чисел вообще не является критерием. Например, Re(k) могут быть < 0 в любой момент времени, но при этом система может быть неустойчивой. А уравнение Ляпунова в этом случае работает.
В начале тогда допишу, как получается система
. из линеаризации конкретной физической системы.
Ну я думаю это излишне, а для понимания статьи устойчивость достаточно понимать приблизительно. Это скорее просто в тему систем линейных диффуров.
Устойчивость означает, что при малом возмущении начальных условий траектория меняется слабо.
Здесь в статье проделан вывод уравнения Ляпунова, соответственно дан ответ на вопрос, откуда оно взялось
Потому что это система линейных диффуров, в окрестности равновесия любая механическая система так описывается приближенно (вдали от окрестности уже нелинейная становится). Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму
Энергия в кавычках, потому что можно брать не только кинетическую энергию, а в принципе любую подходящую квадратичную функцию. Обычно берут кинетическую энергию, но в некоторых случаях удобнее что-то еще.
Материал про линеаризацию тогда чуть позже ночью добавлю и вставлю в статью.
Это не так. Вам нужно какой-то интеграл продифференцировать по параметру, например. И придется для этого уметь доказывать, что подынтегральная функция равномерно непрерывна.
Для каждого интеграла нужно отдельно доказывать.
Для применения многих методов, например, нужно уметь доказывать равномерную сходимость или равномерную непрерывность. А чтобы это сделать - нужно знать и понимать теоремы.
У исчисления Хевисайда тоже есть границы применимости.
Интересен вопрос, где такое может пригодиться.
Тут непонятно, чем это лучше просто условия. Ведь если брать 2 модуля и сравнивать if .. else..., то получается гораздо проще. По вашей формуле тоже придется условную конструкцию писать, но она гораздо сложнее. Если же этого не делать, то "меньшим" тогда считается то число, которое находится "слева" от другого относительно линии разреза функции корня на комплексной плоскости, что вообще-то совсем другое, чем выбор минимального по модулю.
То есть фактически вы делаете ровно то же самое сравнение модулей, чтобы выбрать, какой из листов функции корня использовать. Вы предлагаете:
А не будет ли проще сделать так:
Да я тут посмотрел, у Кудрявцева много доказательств по Гейне. А в книге Куранта по анализу используется тот же подход точек сгущения, и определение предела как единственной точки сгущения последовательности (за которое меня тут и в других местах некоторые комментаторы сильно обругали) для доказательства теорем про последовательности, а для теорем про непрерывные функции - совмещение этого подхода с пределом по Гейне.
Так что какие-то элементы того, что предлагаю, отыскать можно в разных местах. У Куранта, к сожалению, так доказаны только некоторые теоремы.
Пеано хорош тем, что он очень простой, Лагранжа хорош тем, что повсеместно используется в вычислительной математике.
Да, нужно мотивацию определений давать. Но когда мы говорим про вводные темы, аксиомы, основания, там мотивация в том, чтобы строго рассуждать и не ошибаться.