При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы. Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.
Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).
Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.
Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.
Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.
Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.
"Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. "
То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.
"Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.
Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.
". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. "
"Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. "
Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).
" Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Осталось только определить правильно операции над этой структурой.
Казалось бы да, можно просто как формальные многочлены определить эти размерности. Но тут есть одна проблема.
Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
Эта единица при таком подходе математические совпадает с 1, которая просто число. Но по смыслу это разные единицы.
Одна единица - это просто такая нулевая размерность, другая - числовая единица.
А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
Так дело в том, что размерность - это не константа. И число на размерность не умножается.
Мы говорим 5 метров, а не число 5 умножить на метр.
Но как-то так, как вы пишите, можно формально ввести теорию размерностей аксиомами.
Проблема в том, что часто встречается объяснение умножения как площади. И это объяснение игнорирует замкнутость операции умножения.
Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы.
Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.
Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).
Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.
Написал еще отдельную статью https://habr.com/ru/articles/958666/ , чтобы ответить на вопросы в комментариях здесь.
На основе Ваших комментариев вписал в статью вот это введение, которое должно покрыть все вопросы, которые Вы задали.
Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.
Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.
Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.
"Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. "
То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.
" Дальше этот псевдоскаляр
, кем бы он ни был, то ли умножается на 
, то ли работает как функция с аргументом. "
Он просто умножается. Не надо ничего лишнего додумывать.
"Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.
Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.
". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. "
Эта картинка абсолютно неверна.
"Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. "
Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).
" Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Предусмотрено. Там даже всё написано
e1*e2 = e12 - это бивектор
e1*e2*e3 = e123 - это псевдоскаляр (тривектор).
Никаких других определений вообще-то и нет.
" Далее вводится "псевдоскаляр"
. Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? "
Скаляр - потому что он не связан ни с какими направлениями в пространстве. А псевдо - потому что его квадрат равен минус единице.
Но вообще это несущественный вопрос, в данном случае псевдоскаляр - это просто общепринятое название мультивектора максимального ранга.
Это просто вопрос о названии, а не об определении.
Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
В мою форму записи не встроено отсутствие монополей.
В правой части уравнения есть скаляр заряда и вектор тока.
Монополи сюда можно ввести как тривектор в правой части.
Кроме того, там еще может быть бивектор - видимо, это монопольный ток (аналогичный току движения зарядов).
Так что никакого запрета на монополи самого по себе тут нет.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.