А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
Ну кстати хорошие книги надо еще найти, курс анализа Куранта раньше не видел. Сейчас посмотрел - конечно хороший, но для МФТИ слишком примитивный и вряд ли поможет чем-то для сдачи коллоквиума, например.
Откуда у студентов МФТИ на младших курсах есть свободное время, чтобы еще какие-то книжки читать? Тем более что перечисленное мало связано непосредственно с программой первого курса.
Там собственно правильно пишет Рауф
"студенту начинает сносить крышу — с одной стороны его мозг дико перегружен, ведь он реально много «ботал», а с другой стороны мозг остался голодным (!), потому что глубоких знаний не прибавилось (а ведь именно этого и нужно было мозгу). "
А потом, получается, что эти студенты в школе были лучшими из лучших, отличниками, победителями олимпиад, а к третьему курсу стали отстающими, не освоили материал и от науки их уже тошнит, потому что ничего непонятно и потому что есть эмоциональное выгорание, перегрузки и необходимость сдавать много предметов и заданий без понимания происходящего на них в авральном режиме.
Всё это указывает на очень низкую эффективность системы, но на попытки предложить заимствовать успешный западный опыт (например, MIT), все тут же начинают обижаться, говорить что МФТИ гораздо лучше MIT, а того, кто посмел эти вопросы вообще публично поднять (т.е. Рауфа), увольнять и никогда больше на работу не принимать.
Обращу внимание, что Рауф предложил и свое решение проблемы - скопировать успешный опыт из MIT, американском аналоге МФТИ во многих отношениях, в котором она давно была решена.
Но кафедры отрицательно к этому относятся. Принято многими из них считать, что МФТИ гораздо лучше, чем MIT, поэтому использовать опыт MIT значит заниматься разрушением образования.
Абсолютно на всех других кафедрах, кроме кафедры вышмата, прилагается огромное количество усилий для того, чтобы изложение материала сделать понятным большинству студентов и наглядным.
Даже на кафедре теормеха, курсы от которой тоже очень формальные и содержат много доказательств, используют разные демонстрации. Например, на всю жизнь ярко запомнилось, как лектор объяснял уравнения Аппеля через движение коньков на льду, а для объяснения кватернионов он даже притащил веревки и стулья. И только на кафедре высшей математики считают, что это нормально, когда студенты записывают лекции, не понимая, что они пишут
Аксиоматический метод начал Фалес использовать, а не Евклид. А строгие абстрактные доказательства - из школы Пифагора ещё, там как раз рассматривали фигуры и числа как нечто идеальное
Главное новшество Евклида - найти минимальный набор аксиом, исходя из которых можно доказать любое верное математическое утверждение. При этом помимо геометрии, он так и арифметику построил. "без разницы где именно существуют эти абстракции" - такого у Евклида не видно. Он точку определяет как то, у чего нет частей, например, прямую как линию без ширины и так далее. Строгая аксиоматизация геометрии - это самый конец 19го века.
Противопоставление идеальных фигур и реального мира в такой форме - это Аристотель. До него не было, тот же Платон считал, что наш материальный мир из маленьких многогранников состоит.
Заслугу преврашения геометрии из эмпирического знания в чисто логическое обычно приписывают Фалесу и Пифагору.
С Евклидом ещё очень важен контекст пятого постулата, во многом улучшение формализации рассуждений происходило, в том числе и у самого Евклида, за счёт попыток доказать или опровергнуть пятый постулат о параллельных прямых.
"они легко оперируют именно крайним формализмом - я уж хз как это получается у них... "
Ну просто получается, просто делаешь упражнения, доказательства, привыкаешь к формализму. Другое дело, что если привык также к образам, этого всегда будет казаться мало.
Я вот думаю вот в каком контексте упомянуть. Сила и особенность изложения по Евклиду в том, что там, с одной стороны, доказательства строгие, с другой - они формулируются не в значках и не в абстрактных соотношениях, а в понятиях.
Если я, допустим, определяю предел как единственную точку сгущения, или там как точку, за пределами любой окрестности которой конечное число точек последовательности, то тут всё определение состоит из понятий, а не переменных, кванторов и неравенств.
И такое определение воспринимается гораздо легче и яснее.
На Западе давно система устроена так, что до изучения анализа с доказательствами минимум пару лет будешь изучать калькулюс. И брошена куча усилий на то, чтобы калькулюс сделать понятным и популярным.
В России же в связи со спецификой актуально сделать сразу дебри анализа понятными и очень наглядными. Это пока введение, наверное самое сложное написать следующую статью с первой главой.
Просто есть два типа ошибок - смещение и сдвиг. Они по сути отличают аппроксимацию от кластеризации (классификации). А эти два способа машинного обучения и есть непрерывное и дискретное описание мира. Собственно я просто эту мысль хотел вставить и подробно развернуть.
Теоретические построения, что делаются в этой статье, потом будет снесены в следующей, т.к. описанный тут конструктивный подход для анализа потом не работает. Он работает для построения дискретной математики. Статья имеет смысл введения, чтобы показать все проблемы, которые предшествуют появлению вещественных чисел.
В подходе Пеано это определение, а не аксиома. Потому что достаточно этих 5
Дальше надо доказать, что определение корректно (непротиворечиво), а также обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
Я это доказательство уже вставил в статью, посмотрите, если не видели.
А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Преимущество аксиомы счетного выбора в том, что она очень наглядная. https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_счётного_выбора
За наводку на Куранта спасибо, вот то что нужно, я на это сошлюсь. Но я собираюсь через этот принцип доказать гораздо больше теорем, чем там доказано.
А еще есть ряд еще других упрощающих идей, которых у него в книге нет.
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
Ну кстати хорошие книги надо еще найти, курс анализа Куранта раньше не видел. Сейчас посмотрел - конечно хороший, но для МФТИ слишком примитивный и вряд ли поможет чем-то для сдачи коллоквиума, например.
Откуда у студентов МФТИ на младших курсах есть свободное время, чтобы еще какие-то книжки читать? Тем более что перечисленное мало связано непосредственно с программой первого курса.
Там собственно правильно пишет Рауф
А потом, получается, что эти студенты в школе были лучшими из лучших, отличниками, победителями олимпиад, а к третьему курсу стали отстающими, не освоили материал и от науки их уже тошнит, потому что ничего непонятно и потому что есть эмоциональное выгорание, перегрузки и необходимость сдавать много предметов и заданий без понимания происходящего на них в авральном режиме.
Всё это указывает на очень низкую эффективность системы, но на попытки предложить заимствовать успешный западный опыт (например, MIT), все тут же начинают обижаться, говорить что МФТИ гораздо лучше MIT, а того, кто посмел эти вопросы вообще публично поднять (т.е. Рауфа), увольнять и никогда больше на работу не принимать.
В интернете легко находится много современных материалов с МКН СПбГУ, там очень сложные курсы, сложнее НМУ.
А вот чистому матмеху нагуглить такое смог http://www.add3d.ru/?page_id=18766 .
Да, это теоретическая работа.
А вот кстати его пост с более подробным описанием проблемы
Когда начинает тошнить от учебы? Типичный пример.. | Рауф Мухарамов
Обращу внимание, что Рауф предложил и свое решение проблемы - скопировать успешный опыт из MIT, американском аналоге МФТИ во многих отношениях, в котором она давно была решена.
Но кафедры отрицательно к этому относятся. Принято многими из них считать, что МФТИ гораздо лучше, чем MIT, поэтому использовать опыт MIT значит заниматься разрушением образования.
Абсолютно на всех других кафедрах, кроме кафедры вышмата, прилагается огромное количество усилий для того, чтобы изложение материала сделать понятным большинству студентов и наглядным.
Даже на кафедре теормеха, курсы от которой тоже очень формальные и содержат много доказательств, используют разные демонстрации. Например, на всю жизнь ярко запомнилось, как лектор объяснял уравнения Аппеля через движение коньков на льду, а для объяснения кватернионов он даже притащил веревки и стулья. И только на кафедре высшей математики считают, что это нормально, когда студенты записывают лекции, не понимая, что они пишут
Есть проблема в том, что это не совсем так.
Аксиоматический метод начал Фалес использовать, а не Евклид. А строгие абстрактные доказательства - из школы Пифагора ещё, там как раз рассматривали фигуры и числа как нечто идеальное
Главное новшество Евклида - найти минимальный набор аксиом, исходя из которых можно доказать любое верное математическое утверждение. При этом помимо геометрии, он так и арифметику построил. "без разницы где именно существуют эти абстракции" - такого у Евклида не видно. Он точку определяет как то, у чего нет частей, например, прямую как линию без ширины и так далее. Строгая аксиоматизация геометрии - это самый конец 19го века.
Противопоставление идеальных фигур и реального мира в такой форме - это Аристотель. До него не было, тот же Платон считал, что наш материальный мир из маленьких многогранников состоит.
Заслугу преврашения геометрии из эмпирического знания в чисто логическое обычно приписывают Фалесу и Пифагору.
С Евклидом ещё очень важен контекст пятого постулата, во многом улучшение формализации рассуждений происходило, в том числе и у самого Евклида, за счёт попыток доказать или опровергнуть пятый постулат о параллельных прямых.
"они легко оперируют именно крайним формализмом - я уж хз как это получается у них... "
Ну просто получается, просто делаешь упражнения, доказательства, привыкаешь к формализму. Другое дело, что если привык также к образам, этого всегда будет казаться мало.
Я вот думаю вот в каком контексте упомянуть. Сила и особенность изложения по Евклиду в том, что там, с одной стороны, доказательства строгие, с другой - они формулируются не в значках и не в абстрактных соотношениях, а в понятиях.
Если я, допустим, определяю предел как единственную точку сгущения, или там как точку, за пределами любой окрестности которой конечное число точек последовательности, то тут всё определение состоит из понятий, а не переменных, кванторов и неравенств.
И такое определение воспринимается гораздо легче и яснее.
На Западе давно система устроена так, что до изучения анализа с доказательствами минимум пару лет будешь изучать калькулюс. И брошена куча усилий на то, чтобы калькулюс сделать понятным и популярным.
В России же в связи со спецификой актуально сделать сразу дебри анализа понятными и очень наглядными. Это пока введение, наверное самое сложное написать следующую статью с первой главой.
Видимо переборщил, просто самому понравилось, как получается.
В следующей статье стиль будет подкорректирован.
Просто есть два типа ошибок - смещение и сдвиг. Они по сути отличают аппроксимацию от кластеризации (классификации). А эти два способа машинного обучения и есть непрерывное и дискретное описание мира. Собственно я просто эту мысль хотел вставить и подробно развернуть.
Теоретические построения, что делаются в этой статье, потом будет снесены в следующей, т.к. описанный тут конструктивный подход для анализа потом не работает. Он работает для построения дискретной математики. Статья имеет смысл введения, чтобы показать все проблемы, которые предшествуют появлению вещественных чисел.
Да, со следующей статьи как раз будет. Тут пока только скорее общие вещи.
Ну можете пропустить параграф 0.2. Или не читать доказательства, а посмотреть просто, в чем суть задачи с поражением мишени.