Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность , которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции: .
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
энергия не сохраняется глобально в привычном смысле из-за гравитации, а сохраняется локально в каждом «маленьком» участке пространства-времени
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
Попробуйте дать студентам доказать ту же Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции, но для интервала. Угадайте сколько они будут искать ошибку без страхующих формализмов.
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.
Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
В символической записи определение предела выглядит следующим образом:
В этом определении есть три места, на которых располагаются (определенным образом) «квантор всеобщности» и «квантор существования» . Таким образом, всего имеется 8 способов расположить эти кванторы. Рассмотрите семь оставшихся способов и в каждом из них дайте описание последовательностей и числа , удовлетворяющих соответствующему определению.
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность
, которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что
сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции:
.
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Уже переписал в комментариях.
Определение равномерной непрерывности по Гейне:
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
"В этом смысле закон сохранения и является некоторой выбранной аксиомой, которую удобнее всего взять за истину, "
Неудобно, так как такой величины как глобальной просто нет.
Еще дают его проще, как произведение g(x) на бесконечно малую функцию.
Ну тут общий обзор, я продолжу писать статьи такие же, одна статья = одна глава новой книги, и проработаю этот вопрос в соответствующей главе.
Бесконечность, наверное, всё же лучше отдельно рассматривать, так яснее.
Да, это чуть проще определение, чем кванторное.
Почему не дает? Берем f(x)/g(x) и доказываем ограниченность.
Этот же способ дает определение, что я дал.
Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Все рисунки взяты из статьи.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Метод прямого подсчета дефектов не применялся.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
У меня был текст статьи. Вот он https://disk.yandex.ru/i/jQMTCxhIv2fwKw .
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.
Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Определение из лекций по алгоритмам такое
И отдельно для последовательностей, там существует С такое, что существует номер N ....