Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математикиАлександрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.
Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.
Пусть и при . Рассмотрим функцию . Докажем, что при .
Доказательство.
Докажем, что для функции выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям и для всех . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям и :
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если и для всех , то . Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность , которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции: .
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математики Александрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
А там на самом деле в теореме косинусов
Но написанная формула с плюсом из нее следует.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.
В Стюарте почти нет строгих доказательств и практического использования этого определения для доказательств.
То, что там написано, никак не помогает анализировать такие определения и делать рассуждения с кванторами.
Я в соседнем посте написал пример задачи
Курс Стюарта не поможет это решить.
Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
"Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "
Означает. Это определение предела функции по Гейне.
Непрерывность функции в точке - это равенство функции в точке ее пределу. Для простоты я пока не углублялся в этот нюанс. Здесь же речь не об этом.
У Гейне куда шире область применения. Например, переносить свойства с последовательностей на функции, как в этом примере.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.
У последовательности sin(n*x) при иррациональном х точками сгущения являются все точки отрезка [-1,1].
Ну вот кстати пример.
Утверждение 1.
Пусть
и 
при 
. Рассмотрим функцию 
. Докажем, что 
при 
.
Доказательство.
Докажем, что для функции
выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть 
произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 
и 
для всех 
. Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям 
и 
:
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если
и 
для всех 
, то 
. Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность
, которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что
сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции:
.
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Уже переписал в комментариях.
Определение равномерной непрерывности по Гейне:
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.