Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.
Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае "если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Примечание: это определение следует также расширить случаем стремления к бесконечности. Для этого числовую прямую дополняют абстрактной бесконечной точкой, окрестности которой - это неограниченные множества числовой прямой.
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения. Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет. Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2). Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2). Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются. Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения. Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.
За это большое спасибо
Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В изначально рассматриваемом пределе шла речь о пределе функции.
Обычно предел функции определяют с оговоркой про значение в самой точке. Я дал более простое определение в этой статье, без выкалывания.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.
Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Я ее не применял даже неявно. Я неявно применил, что 2*(3-3) = 0.
И это еще один пример преимущества определения по Гейне.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае
"если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Только там написано
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Попробуем сделать введение. Я на этой неделе где-то к субботе или вечер пятницы размещу продолжение. "Вводная глава" для нового учебника будет.
Да, верно. А еще кватернионы поворачивают векторные кватернионы, а не векторы. Это работает за счет дуализма векторов и бивекторов в 3D.
А зачем делить на приращение в определении? Я просто говорю, что А - это производная.
Выводить формулы по-разному можно, для некоторых не нужно делить, так работает даже лучше (например, через бином Ньютона).
Ну через о-малое - это и есть порядки близости. Просто можно сделать такой подход сразу же, и без потери строгости.
Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Пункт 1 более слабое утверждение. Ведь надо еще доказать, что других точек сгущения нет. Но да, в данном случае это короче будет, чем пункт 2.
Дифференциал обычно определяют как линейную часть приращения.
Равенство с "о-малым" не приближенное, а асимптотическое.
Так смысл этих определений из анализа как раз и заключается в асимптотических приближениях в окрестности.
f(x) = A*x + o(x)
Тогда A - это производная в точке х = 0. Тут весь предельный переход в свойствах символа о-малое, ведь о-малое определяется через предел же.
Преимущество в том, что обоснования предельного перехода можно заменить во многих случаях на алгебраические манипуляции и оценку асимптот.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения.
Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет.
Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2).
Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2).
Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются.
Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения.
Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.