Устойчивости по Гейне гораздо проще формулируются и яснее.
Положение равновесия x_e = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий {x_n(0)}, сходящейся к нулю (lim (n→∞) x_n(0) = 0), соответствующая последовательность максимальных отклонений траекторий также сходится к нулю.
Положение равновесия x_e = 0 называется асимптотически устойчивым, если:
Оно устойчиво по Ляпунову (в смысле предыдущего определения).
Существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), соответствующая последовательность состояний системы сходится к нулю:
lim (n→∞) x(t_n) = 0
Наконец
Положение равновесия x_e = 0 называется экспоненциально устойчивым, если существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B (кроме самого x(0)=0) и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), выполняется следующее предельное соотношение:
Вот Gemini мне иллюстрацию построил (это python matplotlib, я все рисунки так сделал в статье, очень быстрый и удобный способ получается).
Там отдельные сложности с рассмотрением неограниченных последовательностей и бесконечности, примечания вставил уже в статью, но они сейчас не принципиальны.
Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Особенно анализируя конкретные множество, список, словарь (например, в питоне), и вообще, можно ли вывести "Идеальный всеохватывающий самодостаточный" набор структур данных для языка программирования?
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.
В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Но перед тем, как поставить в зачетной книжке студенту высшую отметку, профессор решил почему-то задать вопрос о самом понятии интеграла. К своему удивлению, профессор не получил правильного ответа. Еще более тяжелым оказался случай с определением дифференциала. Студент явно и безнадежно «плавал».
«Как же это можно? — недоумевал профессор. — Вы прекрасно интегрируете и дифференцируете, но не имеете понятия о том, что такое интеграл и дифференциал? Как это можно?»
«Профессор, — ответил расстроенный студент, — все дело в том, что мы вначале не понимаем, а потом привыкаем»/
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например, , на отрезке . Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
"Без языка "эпсилон-дельта" никак не обойтись. Он пронизывает всю математику. Не всегда в виде неравенств, но всегда есть какие-то кванторы (существования, всеобщности). "
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
Теорема Кантора.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. 0 , что для любого найдутся такие точки и , что , но . В частности, для найдутся такие точки, обозначим их и , что
но
Из последовательности точек в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим ее предел :
Поскольку , то . Функция непрерывна в точке , поэтому
Подпоследовательность последовательности также сходится в точке , ибо
при . Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.
Так через точки сгущения еще короче получается, а для функций по Гейне.
Устойчивости по Гейне гораздо проще формулируются и яснее.
Положение равновесия
x_e = 0называется асимптотически устойчивым, если:Наконец
Вот Gemini мне иллюстрацию построил (это python matplotlib, я все рисунки так сделал в статье, очень быстрый и удобный способ получается).
Нет, там появляется язык "о-малое", "О-большое", эквивалентных функций и тому подобного. Во-первых, эпсилоны-дельты там как раз не нужны.
Во-вторых, предложенный в статье подход делает как раз больше упора на темы, связанные со скоростью сходимости и аппроксимацией.
Не всех, но, к сожалению, многих.
А с матанализом в вузах действительно беда, даже в хороших вузах.
В МФТИ стараются смысл объяснять, но из-за упора в эпсилон-дельта формализм и там многим студентам довольно сложно это дается.
Конечное число точек последовательности. Для
В окрестности любой точки, кроме нуля, конечное число этих точек.
Так я сходимость определил через точки сгущения.
Там отдельные сложности с рассмотрением неограниченных последовательностей и бесконечности, примечания вставил уже в статью, но они сейчас не принципиальны.
Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Допишу тогда "сходящаяся к конечному пределу ..."
Я в паре мест дописал про точку бесконечность отдельно.
Короче говоря, надо дописать в статью, что числовую прямую дополняем точкой бесконечность. Тогда всё будет нормально.
Так геометрия тоже должна быть строгой.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.
В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
У него на сайте про это много Mathematical education тут.
Размер пустого множества равен нулю.
А этот вопрос я предвидел и в тексте ответ на него сразу написал. Вот тут
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например,
, на отрезке ![[-1,2]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/430/763/069/4307630693a66817e49ea8ca5f4ee72c.svg)
. Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
но
Из последовательности точек
в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
. Обозначим ее предел 
:
Поскольку
, то 
. Функция 
непрерывна в точке 
, поэтому
Подпоследовательность
последовательности 
также сходится в точке 
, ибо
при
. Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех
выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.