Число 5 с точки зрения умножения - это увеличить в 5 раз. С точки зрения сложения - это сдвинуться на 5 вдоль числовой оси. На числовой оси число 5 умножением растягивает в 5 раз ось.
Дело в том, что вращение, задаваемое этим псевдоскаляром, это одновременное вращение во всех трех пространственных плоскостях и буст во всех трех временеподобных плоскостях.
U(1)-фазе соответствует угол вращения в плоскости, представленной псевдоскаляром пространства-времени I. Этот угол является лоренц-инвариантным скаляром.
I₄ = γ₀γ₁γ₂γ₃
У Хестенеса это такая особая плоскость, одной осью которой является сам объект X, а другой - его ортогональное дополнение X*I. Например, в 4D вектору будет соответствовать тривектор. Эта штука их перемешивает.
Ротор R кодирует всю зависящую от наблюдателя (от системы отсчета) информацию о состоянии электрона. А эта штука - не зависящую.
Получается то же самое, что и в обычной КМ. У нас просто вместо одного трехмерного пространства для каждой частицы свое трехмерное пространство, а связаны они между собой за счет потенциалов. Ровно это описывает и обычная КМ.
Это другая часть загадочности квантовой механики. Она заключается в том, что если у нас описание больше чем одной частицы (любого числа частиц), то они описываются не разными волновыми функциями, а одной многочастичной. Отсюда запутанность и т.п.
Никакой проблемы описывать это геометрической алгеброй нет.
20 лет назад Хестенес переписывал всю физику через геометрическую алгебру. Конкретно эту вещь он тут разбирал The-zitterbewegung-interpretation-of-quantum-mechanics.pdf . Там у него похоже (волновую функцию он тоже рассматривает как произведение плотности вероятности на ротор), но у меня немного другие рассуждения получились.
"Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? "
Все параметры мультивектора реально измеряемые. Этой проблемы нет. А в обычной формулировке в теормехе она была, там потенциальная энергия неизмеряемая.
С флогистоном скорее имеет смысл сравнить потенциальную энергию. У меня же тут в геометрическом подходе нет подобных величин, которые я не могу непосредственно измерить.
Я второй закон Ньютона просто постулирую. А всё остальное - это геометрия абсолютно твердого тела, которая описывает мультивектором (или материальной точки, там чуть проще).
В развитии же классической механики было не так, сначала экспериментально находили кучу законов, а потом уже выводили их из второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона вообще явился таким вот обобщением, из которого выводится все..
Отдельная история была с работой силы, это понятие появилось сильно позже законов Ньютона.
Параметры из геометрии появляются. Есть ориентированное твердое тело, оно описывается мультивектором обобщенного импульса. Его производная равна динаме - динама есть сила + момент силы.
Если же нужно проинтегрировать, можно интегрировать с винтом - это тоже мультивектор, сумма поступательного и вращательного перемещения.
В классической механике куча теорем и законов выводятся нетривиальным образом из законов Ньютона, нужно очень много чего придумать, чтобы их вывести. А тут можно записать одно уравнение и сразу получить 8 разных теорем из механики. Потому что все эти теоремы имеют чисто геометрическое происхождение, что не видно в классическом курсе.
Абсолютно твердое тело - это как раз и есть объект, естественно описываемый мультивектором. А идеальная жидкость, например - естественно описывается потоком мультивектора.
На входе у нас - законы Ньютона, + геометрическая модель объекта (абсолютно твердое тело. материальная точка или непрерывная жидкость).
Например, один и тот же мультивектор описывает энергию, импульс и момент импульса одновременно. Потому что энергия скаляр, импульс вектор, а момент импульса является бивектором. Это наблюдаемые величины.
Как раз физически наблюдаемыми являются все компоненты мультивекторов. Ну тут наоборот, традиционный принятый подход вводит кучу ненаблюдаемых величин, а у меня их тут нет.
Это происходит потому, что традиционный подход исходит из энергии, а как только мы рассуждаем про потенциальную энергию - возникает неопределенность, связанная с тем, что физический смысл имеет только разность энергий. С электродинамикой еще хуже - там целый векторный 4-потенциал, который никто никогда не может наблюдать, а дальше там - теория калибровочных полей, которых никто никогда не видел.
Здесь же подход противоположный - силовой. Поэтому в геометрической алгебре для физики используются только наблюдаемые величины.
В общем случае не выполняется. В наших примерах работает. Потому что, например, перемножаем вектор на бивектор, он равен вектору + тривектору, а бивекторной части нет, поэтому геометрическое равно сумме внутреннего и внешнего.
Суть идеи в том, что мы одновременно один и тот же объект считаем и зеркалом, и отражаемым объектом. В этом вся красота геометрической алгебры.
Никаких скоростей пока что тут нет, есть только геометрические векторы.
Число 5 с точки зрения умножения - это увеличить в 5 раз. С точки зрения сложения - это сдвинуться на 5 вдоль числовой оси. На числовой оси число 5 умножением растягивает в 5 раз ось.
Но вообще хороший вопрос, реально. Стоит поразмыслить над смыслом такого псевдоскалярного вращения.
Дело в том, что вращение, задаваемое этим псевдоскаляром, это одновременное вращение во всех трех пространственных плоскостях и буст во всех трех временеподобных плоскостях.
В той работе используется только электромагнетизм (уравнения Максвелла). Например
В общем да, это надо всё вписать в статью, иначе слишком сокращенно.
U(1)-фазе соответствует угол вращения в плоскости, представленной псевдоскаляром пространства-времени I. Этот угол является лоренц-инвариантным скаляром.
I₄ = γ₀γ₁γ₂γ₃
У Хестенеса это такая особая плоскость, одной осью которой является сам объект X, а другой - его ортогональное дополнение X*I. Например, в 4D вектору будет соответствовать тривектор. Эта штука их перемешивает.
Ротор R кодирует всю зависящую от наблюдателя (от системы отсчета) информацию о состоянии электрона. А эта штука - не зависящую.
Получается то же самое, что и в обычной КМ. У нас просто вместо одного трехмерного пространства для каждой частицы свое трехмерное пространство, а связаны они между собой за счет потенциалов. Ровно это описывает и обычная КМ.
Одна степень свободы - угол.
"Загадочность квантовой механики вовсе не в комплексных числах не в спине и не в уравнении Дирака. "
Да вообще в основном в этом. Нелокальность представить себе можно. А откуда берется спин и что такое вообще комплексная ВФ - куда загадочнее.
Это другая часть загадочности квантовой механики. Она заключается в том, что если у нас описание больше чем одной частицы (любого числа частиц), то они описываются не разными волновыми функциями, а одной многочастичной. Отсюда запутанность и т.п.
Никакой проблемы описывать это геометрической алгеброй нет.
А вот тут, например, 2002.11463 , пытаются темную энергию извлечь из ГА.
20 лет назад Хестенес переписывал всю физику через геометрическую алгебру. Конкретно эту вещь он тут разбирал The-zitterbewegung-interpretation-of-quantum-mechanics.pdf . Там у него похоже (волновую функцию он тоже рассматривает как произведение плотности вероятности на ротор), но у меня немного другие рассуждения получились.
Тут нет никакого убийства ОТО и КМ. Я просто заменяю тензорный матаппарат на мультивекторный. Впрочем, даже не я, первым это начал делать Хестенес.
Одно из преимуществ - для вывода уравнений не нужен принцип наименьшего действия, без него всё получается.
"Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? "
Все параметры мультивектора реально измеряемые. Этой проблемы нет. А в обычной формулировке в теормехе она была, там потенциальная энергия неизмеряемая.
С флогистоном скорее имеет смысл сравнить потенциальную энергию. У меня же тут в геометрическом подходе нет подобных величин, которые я не могу непосредственно измерить.
Я второй закон Ньютона просто постулирую. А всё остальное - это геометрия абсолютно твердого тела, которая описывает мультивектором (или материальной точки, там чуть проще).
В развитии же классической механики было не так, сначала экспериментально находили кучу законов, а потом уже выводили их из второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона вообще явился таким вот обобщением, из которого выводится все..
Отдельная история была с работой силы, это понятие появилось сильно позже законов Ньютона.
Параметры из геометрии появляются. Есть ориентированное твердое тело, оно описывается мультивектором обобщенного импульса. Его производная равна динаме - динама есть сила + момент силы.
Если же нужно проинтегрировать, можно интегрировать с винтом - это тоже мультивектор, сумма поступательного и вращательного перемещения.
В классической механике куча теорем и законов выводятся нетривиальным образом из законов Ньютона, нужно очень много чего придумать, чтобы их вывести. А тут можно записать одно уравнение и сразу получить 8 разных теорем из механики. Потому что все эти теоремы имеют чисто геометрическое происхождение, что не видно в классическом курсе.
Абсолютно твердое тело - это как раз и есть объект, естественно описываемый мультивектором. А идеальная жидкость, например - естественно описывается потоком мультивектора.
На входе у нас - законы Ньютона, + геометрическая модель объекта (абсолютно твердое тело. материальная точка или непрерывная жидкость).
Например, один и тот же мультивектор описывает энергию, импульс и момент импульса одновременно. Потому что энергия скаляр, импульс вектор, а момент импульса является бивектором. Это наблюдаемые величины.
Как раз физически наблюдаемыми являются все компоненты мультивекторов. Ну тут наоборот, традиционный принятый подход вводит кучу ненаблюдаемых величин, а у меня их тут нет.
Это происходит потому, что традиционный подход исходит из энергии, а как только мы рассуждаем про потенциальную энергию - возникает неопределенность, связанная с тем, что физический смысл имеет только разность энергий. С электродинамикой еще хуже - там целый векторный 4-потенциал, который никто никогда не может наблюдать, а дальше там - теория калибровочных полей, которых никто никогда не видел.
Здесь же подход противоположный - силовой. Поэтому в геометрической алгебре для физики используются только наблюдаемые величины.
В общем случае не выполняется. В наших примерах работает. Потому что, например, перемножаем вектор на бивектор, он равен вектору + тривектору, а бивекторной части нет, поэтому геометрическое равно сумме внутреннего и внешнего.