"С моей точки зрения это можно даказать, лишь приведя конструктивный алгоритм, который из двух массивов, состоящих из 4 вещественных чисел, делает один, такой же длины. "
А какое отношение этот алгоритм имеет к геометрической алгебре?
Если вы имеете в виду умножение спиноров в 3D (вектор + скаляр), то вообще-то произведение двух спиноров в общем случае дает сумму спинора с ротором. То есть два массива из 4 чисел дают массив из 7 чисел.
Или вы про 2D. Тогда всё просто - таким алгоритмом является алгоритм умножения матриц. Геометрическая алгебра в 2D в качестве матричного представления имеет все возможные матрицы размера 2 на 2, состоящие из вещественных чисел. Устроено это очень просто, вот так:
Ассоциативность следует из того, что смысл умножения тут - это композиция операторов преобразования пространства.
Впрочем, она же следует из базовых правил. Ассоциативность есть в правилах на уровне умножения отдельных векторов, следовательно с любыми комбинациями тоже работает - так как все эти комбинации есть просто формальные многочлены от этих векторов..
Использовать матричные представления, для 3D как раз матрицы Паули отлично подойдут
Использовать символьные вычисления (правила преобразования символов здесь в статье уже заданы все, их достаточно).
Задать базис в пространстве мультивекторов и на нем определить все операции
Последний третий способ самый сложный, но если фиксировать размерность пространства, то почему бы и нет
При этом, видимо, проще всего написать программу, которая эти операции автоматически определяет сама (например, через матричное представление), хранит в виде таблицы и потом использует. Проще говоря, такая программа должна будет:
Сгенерировать весь базис в лексикографическом порядке и пронумеровать
Для каждого базисного мультивектора написать матричное представление
Впрочем, возможно, проще сделать иначе. Например, строить эту таблицу с постепенным повышением размерности. Думаю, там можно просто рекуррентную формулу вывести и всё. Могу написать об этом статью.
С кватернионами проблема в том, что непонятно, почему они такие, откуда все эти правила. А здесь всё понятно - вот есть отражения, их композиция поворот и т.п.
Все формулы из понятных базовых правил расписываются.
У кватернионов же сразу не очень понятные формулы.
Ну и да, круто то, что нет никакой привязки к размерности пространства.
Так все правила же описал в статье: обычные правила для сложения и умножения, только нет коммутативности. Зато ei*ei = 1, ei*ej = - ej*ei если i не равно j. Больше никаких правил не нужно.
В геометрической алгебре есть способ вычисления кватерниона дуги через координаты ее концов. Просто каждому концу сопоставляется кватернион без скалярной части. и нужно один поделить на другой.
С эллипсоидом не будет проблемы, можно сменить метрику в пространстве и рассматривать как шар в новых координатах.
Проблемы могут быть с заданием движения по поверхности произвольной формы. Но эти проблемы не больше аналогичных проблем с декартовыми координатами в той же самой задаче.
У геометрической алгебры очень много практических применений именно в плане сокращения вычислительных операций. В последнее время еще стали ее в машинном обучении использовать, а также для поиска более эффективных алгоритмов в моделировании математической физики (кое-где находят новые хорошие).
В настоящее время геометрическая алгебра активно используется при программировании графики в компьютерных играх, моделировании движения дронов, в медицинской визуализации, в криптографии, в робототехнике, навигации.
Например, вам нужно сложить две дуги на сфере, для этого достаточно два ротора умножить и всё. А с помощью сферической геометрии это сделать куда сложнее.
В некоторых разделах физики ей даже нет альтернативы, потому что спин - это объект из геометрической алгебры.
Переводов на русский язык пока что нет. Переписанная на язык геометрической алгебры физика есть еще в научных статьях, прежде всего самого Давида Хестенеса.
"В обычной алгебре, для решения уравнения с неизвестными, выполняется преобразование, при котором неизвестное переносится в одну часть уравнения а известное в другую. То что потом надо выполнить деление это уже вторично. "
В школе могут так объяснять, прежде всего в российской (в западных странах в школах обычно объясняют через одновременные преобразования обеих частей).
А если это строго описывать через аксиомы, то нет такого определения "перенести из одной части в другую". Есть последовательность одинаковых преобразований обеих частей уравнения.
"С моей точки зрения это можно даказать, лишь приведя конструктивный алгоритм, который из двух массивов, состоящих из 4 вещественных чисел, делает один, такой же длины. "
А какое отношение этот алгоритм имеет к геометрической алгебре?
Если вы имеете в виду умножение спиноров в 3D (вектор + скаляр), то вообще-то произведение двух спиноров в общем случае дает сумму спинора с ротором. То есть два массива из 4 чисел дают массив из 7 чисел.
Или вы про 2D. Тогда всё просто - таким алгоритмом является алгоритм умножения матриц. Геометрическая алгебра в 2D в качестве матричного представления имеет все возможные матрицы размера 2 на 2, состоящие из вещественных чисел. Устроено это очень просто, вот так:
Ассоциативность следует из того, что смысл умножения тут - это композиция операторов преобразования пространства.
Впрочем, она же следует из базовых правил. Ассоциативность есть в правилах на уровне умножения отдельных векторов, следовательно с любыми комбинациями тоже работает - так как все эти комбинации есть просто формальные многочлены от этих векторов..
Ну тут есть 3 основных способа
Использовать матричные представления, для 3D как раз матрицы Паули отлично подойдут
Использовать символьные вычисления (правила преобразования символов здесь в статье уже заданы все, их достаточно).
Задать базис в пространстве мультивекторов и на нем определить все операции
Последний третий способ самый сложный, но если фиксировать размерность пространства, то почему бы и нет
При этом, видимо, проще всего написать программу, которая эти операции автоматически определяет сама (например, через матричное представление), хранит в виде таблицы и потом использует. Проще говоря, такая программа должна будет:
Сгенерировать весь базис в лексикографическом порядке и пронумеровать
Для каждого базисного мультивектора написать матричное представление
Сгенерировать таблицу умножения базисных мультивекторов
Впрочем, возможно, проще сделать иначе. Например, строить эту таблицу с постепенным повышением размерности. Думаю, там можно просто рекуррентную формулу вывести и всё. Могу написать об этом статью.
Ассоциативность есть с самого начала, она никуда не девалась.
С кватернионами проблема в том, что непонятно, почему они такие, откуда все эти правила. А здесь всё понятно - вот есть отражения, их композиция поворот и т.п.
Все формулы из понятных базовых правил расписываются.
У кватернионов же сразу не очень понятные формулы.
Ну и да, круто то, что нет никакой привязки к размерности пространства.
Судя по комментариям, этот базовый еще недостаточно расписан.
Например, не расписал про дистрибутивность, а также как упрощать мультивекторные выражения, используя эти правила.
Чтобы описывать любые геометрические преобразования и физические процессы.
Так все правила же описал в статье: обычные правила для сложения и умножения, только нет коммутативности. Зато ei*ei = 1, ei*ej = - ej*ei если i не равно j. Больше никаких правил не нужно.
Описанных правил достаточно. Произведение 4-х компонентных объектов следует напрямую из них. Например, e123 e23 = - e123 * e32 = e122 = e1.
Можно складывать, вычитать, умножать, делить, аналитические функции вычислять.
Так суть этого умножения в том, что оно замкнуто.
В геометрической алгебре есть способ вычисления кватерниона дуги через координаты ее концов. Просто каждому концу сопоставляется кватернион без скалярной части. и нужно один поделить на другой.
С эллипсоидом не будет проблемы, можно сменить метрику в пространстве и рассматривать как шар в новых координатах.
Проблемы могут быть с заданием движения по поверхности произвольной формы. Но эти проблемы не больше аналогичных проблем с декартовыми координатами в той же самой задаче.
Ну вообще-то геометрическая алгебра сильно упрощает расчеты в искривленных пространствах, особенно если речь про ОТО.
Ну так ровно это и будет, что написано: скаляр + бивектор. В координатах
Умножение означает применение оператора к оператору. Сложение означает, что мы складываем полученные объекты после того, как применили операторы.
Это значит, что мне надо сначала по направлению одной дуги пройти нужное расстояние, потом по направлению другой и понять, где я оказался.
У геометрической алгебры очень много практических применений именно в плане сокращения вычислительных операций. В последнее время еще стали ее в машинном обучении использовать, а также для поиска более эффективных алгоритмов в моделировании математической физики (кое-где находят новые хорошие).
В настоящее время геометрическая алгебра активно используется при программировании графики в компьютерных играх, моделировании движения дронов, в медицинской визуализации, в криптографии, в робототехнике, навигации.
Например, вам нужно сложить две дуги на сфере, для этого достаточно два ротора умножить и всё. А с помощью сферической геометрии это сделать куда сложнее.
В некоторых разделах физики ей даже нет альтернативы, потому что спин - это объект из геометрической алгебры.
Переводов на русский язык пока что нет. Переписанная на язык геометрической алгебры физика есть еще в научных статьях, прежде всего самого Давида Хестенеса.
"В обычной алгебре, для решения уравнения с неизвестными, выполняется преобразование, при котором неизвестное переносится в одну часть уравнения а известное в другую. То что потом надо выполнить деление это уже вторично. "
В школе могут так объяснять, прежде всего в российской (в западных странах в школах обычно объясняют через одновременные преобразования обеих частей).
А если это строго описывать через аксиомы, то нет такого определения "перенести из одной части в другую". Есть последовательность одинаковых преобразований обеих частей уравнения.
Суть идеи в том, что мы одновременно один и тот же объект считаем и зеркалом, и отражаемым объектом. В этом вся красота геометрической алгебры.
Никаких скоростей пока что тут нет, есть только геометрические векторы.