Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.
Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Легко убедиться, что изоморфности кватернионам нет. e1^2 = 1, а мнимая единица в квадрате дает -1. Зачем вообще вы вспоминаете кватернионы тут в этом контексте?
Из базовых правил видно, что оно линейное. Более того, все геометрические преобразования, которые описывают все мультивекторы в 3D - это линейные преобразования пространства.
Да, не оценивает и не гарантирует.
Кстати по ссылке на публикацию там разместили неверный DOI для ссылки на англоязычную версию статью. Вот правильная ссылка на англоязычную версию Sample Size Determination: Likelihood Bootstrapping | Computational Mathematics and Mathematical Physics
Я сейчас также прикрепил ее ссылкой к слову "журнал" в первом абзаце.
Они всё выложили на гитхабе в открытом доступе https://github.com/kisnikser/Likelihood-Bootstrapping?tab=readme-ov-file
Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.
Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Да, статья требует подробной расшифровки. А у Хестенеса очень длинно, но все равно не очень ясно.
Видимо, нужно цикл статей писать.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Потому что это разные корни из минус единицы. В другой статье написано про e12 в Cl(3,0), а тут e1234 в Cl(3,1).
Я придумал излагать через идею "а давайте попробуем ввести обратимое умножение, квадрат которого дает длину вектора". Вторая идея - это зеркала.
Обычно везде, где видел, излагают куда абстрактнее, и сходу непонятно. что это.
Если перпендикулярный, то получатся отражения Хаусхолдера известные. Они потом вводятся все же, через минус (а на практике используют мнимую единицу).
Суть то в том. что зеркало к вектору и под углом можно поставить.
"Было бы интересно увидеть, как перемножаются в общем случае эти 8-компонентные векторы. Есть ли какая-то красивая формула "
На это есть ответ. Никакой красивой формулы нет.
"8-мерное множество (не факт, что линейное пространство, но если так, то будет вообще замечательно). "
Оно не просто линейное пространство, я в статье доказал, что там все базисные элементы обратимые и причем это обращение элементарно устроено.
Но если брать не базисные элементы, а смешанные, то там есть делители нуля и тому подобные вещи.
Легко убедиться, что изоморфности кватернионам нет. e1^2 = 1, а мнимая единица в квадрате дает -1. Зачем вообще вы вспоминаете кватернионы тут в этом контексте?
Из базовых правил видно, что оно линейное. Более того, все геометрические преобразования, которые описывают все мультивекторы в 3D - это линейные преобразования пространства.
Нет тут никакого e0.
"Чему же они равны (покомпонентно) ?"
Это очень простой вопрос. Вот ответ:
e1 = e1
e2 = e2
e1*e2 = e12