Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.
В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так
Компоненты кватерниона тока являются плотностями заряда и тока :
где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:
4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты .
Так как с любым 4-вектором мы связываем кватернион , а пространственные компоненты 4 -вектора содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:
Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:
Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:
Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.
Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.
Вы пишите
"из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"
Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.
А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.
У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.
Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.
Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.
Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.
Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.
В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.
Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.
Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.
В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).
Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.
Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора
Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.
Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).
Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.
Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.
Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).
Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .
Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).
В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.
Бивектор - это упорядоченная пара векторов, а не число. В геометрической алгебре скаляры складываются с векторами и упорядоченными множествами векторов.
Здесь же начало статьи как раз и вводит все базовые операции с нуля. Там все правила, по которым действуют в геометрической алгебре, как раз написаны, как и то, что бивектор не является ни числом, ни вектором, а ориентированной площадкой.
Иттрий является очень хорошим материалом для создания, изучения и модификации других магнитных систем. Это как раз связано с тем, что у него нет собственной магнитной упорядоченности заметной, он является идеальным немагнитным каркасом.
Иттрий входит в состав как минимум двух известных материалов, свойства которых были хорошо изучены в XX веке:
ИЖГ (Иттрий-железный гранат, YIG): обладает уникальным сочетанием свойств: он ферримагнетик (как феррит), но при этом прозрачен для радио- и микроволн. Это позволяет управлять волнами с помощью магнитного поля практически без потерь. Всевозможные фильтры, циркуляторы, изоляторы в радарах и системах связи работают на этом принципе.
ИБКО (Иттрий-бариевый купрат, YBCO): первый в мире высокотемпературный сверхпроводник (работающий при температуре выше кипения жидкого азота).
Давайте конкретизирую вклад российского телескопа.
Там использовались данные с разных частот, а также архивные. Если брать радиодиапазон, то ключевым источником текущих данных (не архивных) был РАТАН-600.
Проще говоря
1. Есть событие регистрации нейтрино сверхвысокой энергии
2. Благодаря этому событию заинтересовались, откуда он пришел
3. Для анализа этого использовали как архивные данные, так и новые наблюдения
4. Новые наблюдения проходили в нескольких разных диапазонах и все важны
5. Ключевую роль для новых наблюдений в радиодиапазоне играл РАТАН-600.
6. Подобные исследования невозможно проводить без коллаборации разных научных коллективов из разных стран и использования десятков телескопов и их данных. Российский радиотелескоп был одним из важнейших источников данных.
В 1952-м году проходило закрытое заседание Президиума Академии Наук СССР по указанию т. Сталина И.В., которое Сталин велел провести, прочитав письмо Румера, который и придумал эту теорию, которую развивают авторы статьи (и не только они, кстати, есть научная группа физиков-теоретиков человек на 20 в Канаде, отдельные ученые в США, суммарно на планете сейчас этим занимаются человек 30 - статьи при этом публикуются в серьезных научных журналах, но, правда, основному научному сообществу представляются как что-то не заслуживающее их интереса).
Сталин поставил вопрос о том, что надо развивать материалистическую квантовую теорию гравитации, и, по его мнению, теория Румера, в отличие от теории Калуцы-Клейна (от которой собственно и произошла теория струн, ныне популярная), является куда более перспективным подходом. На том заседании присутствовали ведущие советские физики: Гинзбург Виталий Лазаревич, Румер Юрий Борисович, Померанчук Исаак (Юзик) Яковлевич, Фейнберг Евгений Львович , Ландау Лев Давидович, Смородинский Яков Абрамович, Лифшиц Евгений Михайлович, Терлецкий Яков Петрович , Марков Моисей Александрович, Широков Михаил Федорович , Фок Владимир Александрович, Соколов Арсений Александрович, Скобельцын Дмитрий Владимирович , Иваненко Дмитрий Дмитриевич , Родичев Владимир Иванович.
Материалы этого заседания были засекречены, но сейчас они раскрыты, можно ознакомиться в архивах. Открытый архив СО РАН
Я так понимаю, на увлечения авторов статьи сильно повлияло то, что теория понравилась лично Сталину. Потому что они мне писали на почту с адреса dimat777@list.ru, а также присылали ссылки на эти материалы дискуссии по 5-мерной оптике в СССР, отдельно пересылали письмо Румера Сталину, какие-то письма Сталина, и тому подобные вещи.
" Далее вводится "псевдоскаляр"
. Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? "
Скаляр - потому что он не связан ни с какими направлениями в пространстве. А псевдо - потому что его квадрат равен минус единице.
Но вообще это несущественный вопрос, в данном случае псевдоскаляр - это просто общепринятое название мультивектора максимального ранга.
Это просто вопрос о названии, а не об определении.
Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
В мою форму записи не встроено отсутствие монополей.
В правой части уравнения есть скаляр заряда и вектор тока.
Монополи сюда можно ввести как тривектор в правой части.
Кроме того, там еще может быть бивектор - видимо, это монопольный ток (аналогичный току движения зарядов).
Так что никакого запрета на монополи самого по себе тут нет.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.
Напишу развернутый ответ на основе relworld_08.pdf .
В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так
Компоненты кватерниона тока
являются плотностями заряда 
и тока 
:
где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:
4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты
.
Так как с любым 4-вектором
мы связываем кватернион 
, а пространственные компоненты 4 -вектора 
содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:
Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:
Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:
Вот это и есть волновое уравнение
Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.
Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.
Вы пишите
"из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"
Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.
А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.
У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.
Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.
Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.
Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.
Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.
В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.
Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.
Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.
В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).
Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.
Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора
Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.
У него же там
(оператор-вектор)(поле-бивектор) = (источник-вектор)
У бивектора квадрат, собственно, такой же как в пространстве Минковского.
Надо написать отдельную статью про это.
Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).
Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.
Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.
Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).
Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .
Во-вторых, можно применять в численных методах. Очень популярным является алгоритм FDTD Метод конечных разностей во временной области — Википедия .
Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).
В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.
Я дал к тому же матричную расшифровку через матрицы Паули в этой статье.
Если чистая алгебра из начала статьи кажется непонятной (хотя тех определений достаточно), можно просто попробовать на матрицах это увидеть всё.
Бивектор - это упорядоченная пара векторов, а не число. В геометрической алгебре скаляры складываются с векторами и упорядоченными множествами векторов.
Здесь же начало статьи как раз и вводит все базовые операции с нуля. Там все правила, по которым действуют в геометрической алгебре, как раз написаны, как и то, что бивектор не является ни числом, ни вектором, а ориентированной площадкой.
Иттрий является очень хорошим материалом для создания, изучения и модификации других магнитных систем. Это как раз связано с тем, что у него нет собственной магнитной упорядоченности заметной, он является идеальным немагнитным каркасом.
Иттрий входит в состав как минимум двух известных материалов, свойства которых были хорошо изучены в XX веке:
ИЖГ (Иттрий-железный гранат, YIG): обладает уникальным сочетанием свойств: он ферримагнетик (как феррит), но при этом прозрачен для радио- и микроволн. Это позволяет управлять волнами с помощью магнитного поля практически без потерь. Всевозможные фильтры, циркуляторы, изоляторы в радарах и системах связи работают на этом принципе.
ИБКО (Иттрий-бариевый купрат, YBCO): первый в мире высокотемпературный сверхпроводник (работающий при температуре выше кипения жидкого азота).
Давайте конкретизирую вклад российского телескопа.
Там использовались данные с разных частот, а также архивные. Если брать радиодиапазон, то ключевым источником текущих данных (не архивных) был РАТАН-600.
Проще говоря
1. Есть событие регистрации нейтрино сверхвысокой энергии
2. Благодаря этому событию заинтересовались, откуда он пришел
3. Для анализа этого использовали как архивные данные, так и новые наблюдения
4. Новые наблюдения проходили в нескольких разных диапазонах и все важны
5. Ключевую роль для новых наблюдений в радиодиапазоне играл РАТАН-600.
6. Подобные исследования невозможно проводить без коллаборации разных научных коллективов из разных стран и использования десятков телескопов и их данных. Российский радиотелескоп был одним из важнейших источников данных.
Ну тут прежде всего вопрос, что значит измерить массу. Вот за тонкостями такого рода лучше к авторам этих теорий обращаться.
Да, именно так.
Тут нет принципиальной проблемы, константу подобрать. В фундаментальной физике нередко, например, берут c = 1 (скорость света).
Это всё происходит от пятимерной оптики Румера. Вот тут можно почитать Rumer1956ru.pdf
Действие делится на массу и скорость света. Ваша проблема решена с самого начала.
В 1952-м году проходило закрытое заседание Президиума Академии Наук СССР по указанию т. Сталина И.В., которое Сталин велел провести, прочитав письмо Румера, который и придумал эту теорию, которую развивают авторы статьи (и не только они, кстати, есть научная группа физиков-теоретиков человек на 20 в Канаде, отдельные ученые в США, суммарно на планете сейчас этим занимаются человек 30 - статьи при этом публикуются в серьезных научных журналах, но, правда, основному научному сообществу представляются как что-то не заслуживающее их интереса).
Сталин поставил вопрос о том, что надо развивать материалистическую квантовую теорию гравитации, и, по его мнению, теория Румера, в отличие от теории Калуцы-Клейна (от которой собственно и произошла теория струн, ныне популярная), является куда более перспективным подходом. На том заседании присутствовали ведущие советские физики: Гинзбург Виталий Лазаревич, Румер Юрий Борисович, Померанчук Исаак (Юзик) Яковлевич, Фейнберг Евгений Львович , Ландау Лев Давидович, Смородинский Яков Абрамович, Лифшиц Евгений Михайлович, Терлецкий Яков Петрович , Марков Моисей Александрович, Широков Михаил Федорович , Фок Владимир Александрович, Соколов Арсений Александрович, Скобельцын Дмитрий Владимирович , Иваненко Дмитрий Дмитриевич , Родичев Владимир Иванович.
Материалы этого заседания были засекречены, но сейчас они раскрыты, можно ознакомиться в архивах. Открытый архив СО РАН
Я так понимаю, на увлечения авторов статьи сильно повлияло то, что теория понравилась лично Сталину. Потому что они мне писали на почту с адреса dimat777@list.ru, а также присылали ссылки на эти материалы дискуссии по 5-мерной оптике в СССР, отдельно пересылали письмо Румера Сталину, какие-то письма Сталина, и тому подобные вещи.