На самом деле моим подходом можно всю стандартную модель физики элементарных частиц получить очень коротким путем. Есть изоспиновое пространство и цветовое. Если я просто тем же самым способом напишу такое же простейшее уравнение поля в них, записав изоспиновый мультивектор и цветной, то получу формулы для слабого взаимодействия и сильного. Но пока туда не суюсь, эти вещи знаю очень поверхностно.
На вариационный принцип можно смотреть как на эквивалентность дифференциальных уравнений и задач минимизации специально подобранных функционалов. Если я сразу получаю верные диффуры, зачем мне функционалы?
Тем более что все эти функционалы Ландау подбирает путем угадывания по принципу - давайте угадаем такой функционал, чтобы вывести из него известное.
Смотреть на вариационный принцип как на следствие, а не на изначальный постулат - ну ничего революционного тут нет. Это скорее Ландау и Фейнман (со свои интегралом по путям) сделали революцию, когда стали всё сводить к принципу наименьшего действия. Я же тут просто вернулся к более простому классическому подходу.
С теоремой Нетер тут пока никак не соотносится, чтобы ее применять - нужно переписать мои уравнения через лагранжианы, что сделать можно. Только тогда будут лагранжианы с мультивекторами - не пробовал писать, но в принципе это получится всё совершенно аналогично тому, как используется в теореме Нетер у Ландау.
Вообще претензию автора вопроса можно к самому Ландау адресовать. Ведь он делает ровно то же самое - переписывает уже известные уравнения в других обозначениях.
До Ландау (и во многих западных курсах того времени) физику преподавали как набор разрозненных дисциплин: механика со своими законами Ньютона, электродинамика с уравнениями Максвелла, термодинамика со своими началами. Каждый раздел начинался как бы "с нуля", со своих собственных постулатов.
А у меня другая концепция - хочу всё переписать геометрической алгеброй.
Разница пока что в том, что мой способ проще и гораздо короче. Кроме того, у Ландау не получилось сделать так, чтобы его принцип объединял физику. Потому что физика определяется не принципом, а самой формой действия. Подставляешь туда разные действия - получаешь совершенно разные разделы физики, мало общего.
В моем случае единства больше, любой раздел физики - это динамика мультивекторов.
У Ландау получалось, что там в разных разделах разная математика нужна. А я опираюсь на Хестенеса, который объединил все эти разделы математики в один единственный.
Ну это не новая математика - четверть века назад Хестенес всё доработал до полноценного матаппарата всей матфизики (на рисунке общая схема всей математики, которую он описал через геометрическую алгебру и соединил в один единственный математический аппарат), а то, что я тут использую, было сделано еще Клиффордом в 19-м веке (только уравнения теории поля он не получал). Но я тут занимаюсь переписыванием известных вещей.
А Хестенес сам занимался много попытками получать что-то новое. Например, он построил собственную интерпретацию квантовой механики, которая сейчас набирает популярность. На русском материалов практически нет, гуглить zbw interpretation.
То есть я построил просто простейшую бивекторную теорию поля из всех возможных в пространстве Минковского и она совпала с электромагнетизмом.
Отдельный вопрос - почему бивекторную.
Если написать скалярный аналог, то будет ньютоновская гравитация просто. А если написать векторную, то будет та же самая электродинамика 4-векторного потенциала, из которой Ландау выводит электромагнетизм. И проблема с этой динамикой в том, что 4-векторный потенциал является ненаблюдаемой величиной. Зачем писать уравнения на то. что наблюдать невозможно?
Кстати говоря, можно сделать элементарный вывод моей бивекторной теории из векторной. Если скалярно умножить вектор поля на набла, то получатся калибровочные уравнения. Если векторное - то получится та бивекторная теория, что я тут изложил.
То есть рассмотрение векторной теории отдельно сразу даст за 3 строчки содержимое еще нескольких параграфов из Ландау-Лифшица. Но она не нужна, так как векторный потенциал при моем подходе вообще нигде не нужен для описания наблюдаемых величин.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
2) я не использую никаких калибровочных полей, мне не нужен векторный потенциал (да и скалярный тоже), все используемые в уравнениях величины физически наблюдаемые
3) у меня нет привязки к конкретной системе координат, это упрощает
За вопрос в общем спасибо, он позволяет обратить внимание на важные вещи.
Традиционный подход основан на использовании множества частных законов, установленных экспериментально. Эти законы просто постулируются, а потом обобщаются до общей формулировки, из которой следуют они все.
В Ландау-Лифшице сделано немного иначе - аксиоматически. Сразу постулируется действие в нужной форме, непонятно почему так написанное, дальше используется принцип наименьшего действия и из него получаются уже известные законы. Сложность его подхода в том, что он слишком абстрактный. Сразу же пишется векторный потенциал в действии:
При этом, вообще-то, векторный потенциал - штука физически не измеримая, в отличие от электрического и магнитного полей, которые измерить можно. Просто Ландау постулирует, что есть такое некое векторное принципиально физически неизмеримое поле, на него пишем действие вот в такой простейшей форме, дальше минимизируем, долго анализируем, смотрим что получилось и начинаем отождествлять с уже известной физикой.
Мой же тут подход геометрический. Пишу простейший бивекторный объект в пространстве-времени Минковского, беру от него градиент и приравниваю к источникам поля. Таким образом, основания вывода тут такие: электромагнетизм рассматривается как простейшая теория поля с бивекторами, которую можно в этом пространстве написать. Эти бивекторные объекты являются напрямую измеримыми величиными, неизмеримых они не содержат и в них не нуждаются (а у Ландау без физически неизмеримого 4-векторного потенциала совсем никуда, и очень многие технические сложности в его томе связаны именно с тем, чтобы потом отделять эти неизмеримые величины от измеримых, отсюда всякие калибровочные преобразования и тому подобное - мне же из этого вообще ничего не нужно для получения физических уравнений). Проще говоря, в моем подходе проблема калибровки, связанная с тем, что сначала ввели величины, которые физически не являются измеримыми, на них построили всю физику, а потом пытаются сложным образом из полученного вывести только то, что измерить можно, полностью отсутствует, так как никаких неизмеримых величин у меня тут нет.
В предыдущей статье я опирался на евклидовое пространство, там я брал просто мультивектор поля в самом общем виде и брал от него градиент.
В обоих случаях цель - написать простейшее из возможных геометрическое уравнение поля.
Если сравнивать с подходом у Ландау, то у него там сначала рассматривается действие от некоторой абстрактной функции, оно расписывается, минимизируется, затем полученные результаты отождествляются с 4-векторами. В моем случае вывод более естественный. Кроме того, вывод Ландау слишком сложный и привязан к конкретным координатам. У меня же вывод очень короткий, от размерности пространства и от выбора системы координат уравнения не зависят. Вот что там было в Ландау
И получает тензор
При этом от ввода действия до вывода этого тензора там тоже очень много непростых соображений и выкладок, тоже тесно привязанных к конкретным координатам.
Можно сказать, что мой вывод примерно в 100 раз короче, чем это сделано у Ландау.
Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
Единый закон движения твердого тела, объединяющий и , выглядит так:
Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
А, точно! Спасибо за это уточнение, это правда так. Я тогда подчищу сейчас в статье.
На самом деле моим подходом можно всю стандартную модель физики элементарных частиц получить очень коротким путем. Есть изоспиновое пространство и цветовое. Если я просто тем же самым способом напишу такое же простейшее уравнение поля в них, записав изоспиновый мультивектор и цветной, то получу формулы для слабого взаимодействия и сильного. Но пока туда не суюсь, эти вещи знаю очень поверхностно.
На вариационный принцип можно смотреть как на эквивалентность дифференциальных уравнений и задач минимизации специально подобранных функционалов. Если я сразу получаю верные диффуры, зачем мне функционалы?
Тем более что все эти функционалы Ландау подбирает путем угадывания по принципу - давайте угадаем такой функционал, чтобы вывести из него известное.
Смотреть на вариационный принцип как на следствие, а не на изначальный постулат - ну ничего революционного тут нет. Это скорее Ландау и Фейнман (со свои интегралом по путям) сделали революцию, когда стали всё сводить к принципу наименьшего действия. Я же тут просто вернулся к более простому классическому подходу.
С теоремой Нетер тут пока никак не соотносится, чтобы ее применять - нужно переписать мои уравнения через лагранжианы, что сделать можно. Только тогда будут лагранжианы с мультивекторами - не пробовал писать, но в принципе это получится всё совершенно аналогично тому, как используется в теореме Нетер у Ландау.
Вообще претензию автора вопроса можно к самому Ландау адресовать. Ведь он делает ровно то же самое - переписывает уже известные уравнения в других обозначениях.
До Ландау (и во многих западных курсах того времени) физику преподавали как набор разрозненных дисциплин: механика со своими законами Ньютона, электродинамика с уравнениями Максвелла, термодинамика со своими началами. Каждый раздел начинался как бы "с нуля", со своих собственных постулатов.
А у меня другая концепция - хочу всё переписать геометрической алгеброй.
Разница пока что в том, что мой способ проще и гораздо короче. Кроме того, у Ландау не получилось сделать так, чтобы его принцип объединял физику. Потому что физика определяется не принципом, а самой формой действия. Подставляешь туда разные действия - получаешь совершенно разные разделы физики, мало общего.
В моем случае единства больше, любой раздел физики - это динамика мультивекторов.
У Ландау получалось, что там в разных разделах разная математика нужна. А я опираюсь на Хестенеса, который объединил все эти разделы математики в один единственный.
Ну это не новая математика - четверть века назад Хестенес всё доработал до полноценного матаппарата всей матфизики (на рисунке общая схема всей математики, которую он описал через геометрическую алгебру и соединил в один единственный математический аппарат), а то, что я тут использую, было сделано еще Клиффордом в 19-м веке (только уравнения теории поля он не получал). Но я тут занимаюсь переписыванием известных вещей.
А Хестенес сам занимался много попытками получать что-то новое. Например, он построил собственную интерпретацию квантовой механики, которая сейчас набирает популярность. На русском материалов практически нет, гуглить zbw interpretation.
То есть я построил просто простейшую бивекторную теорию поля из всех возможных в пространстве Минковского и она совпала с электромагнетизмом.
Отдельный вопрос - почему бивекторную.
Если написать скалярный аналог, то будет ньютоновская гравитация просто. А если написать векторную, то будет та же самая электродинамика 4-векторного потенциала, из которой Ландау выводит электромагнетизм. И проблема с этой динамикой в том, что 4-векторный потенциал является ненаблюдаемой величиной. Зачем писать уравнения на то. что наблюдать невозможно?
Кстати говоря, можно сделать элементарный вывод моей бивекторной теории из векторной. Если скалярно умножить вектор поля на набла, то получатся калибровочные уравнения. Если векторное - то получится та бивекторная теория, что я тут изложил.
То есть рассмотрение векторной теории отдельно сразу даст за 3 строчки содержимое еще нескольких параграфов из Ландау-Лифшица. Но она не нужна, так как векторный потенциал при моем подходе вообще нигде не нужен для описания наблюдаемых величин.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
2) я не использую никаких калибровочных полей, мне не нужен векторный потенциал (да и скалярный тоже), все используемые в уравнениях величины физически наблюдаемые
3) у меня нет привязки к конкретной системе координат, это упрощает
За вопрос в общем спасибо, он позволяет обратить внимание на важные вещи.
Традиционный подход основан на использовании множества частных законов, установленных экспериментально. Эти законы просто постулируются, а потом обобщаются до общей формулировки, из которой следуют они все.
В Ландау-Лифшице сделано немного иначе - аксиоматически. Сразу постулируется действие в нужной форме, непонятно почему так написанное, дальше используется принцип наименьшего действия и из него получаются уже известные законы. Сложность его подхода в том, что он слишком абстрактный. Сразу же пишется векторный потенциал в действии:
При этом, вообще-то, векторный потенциал - штука физически не измеримая, в отличие от электрического и магнитного полей, которые измерить можно. Просто Ландау постулирует, что есть такое некое векторное принципиально физически неизмеримое поле, на него пишем действие вот в такой простейшей форме, дальше минимизируем, долго анализируем, смотрим что получилось и начинаем отождествлять с уже известной физикой.
Мой же тут подход геометрический. Пишу простейший бивекторный объект в пространстве-времени Минковского, беру от него градиент и приравниваю к источникам поля. Таким образом, основания вывода тут такие: электромагнетизм рассматривается как простейшая теория поля с бивекторами, которую можно в этом пространстве написать. Эти бивекторные объекты являются напрямую измеримыми величиными, неизмеримых они не содержат и в них не нуждаются (а у Ландау без физически неизмеримого 4-векторного потенциала совсем никуда, и очень многие технические сложности в его томе связаны именно с тем, чтобы потом отделять эти неизмеримые величины от измеримых, отсюда всякие калибровочные преобразования и тому подобное - мне же из этого вообще ничего не нужно для получения физических уравнений). Проще говоря, в моем подходе проблема калибровки, связанная с тем, что сначала ввели величины, которые физически не являются измеримыми, на них построили всю физику, а потом пытаются сложным образом из полученного вывести только то, что измерить можно, полностью отсутствует, так как никаких неизмеримых величин у меня тут нет.
В предыдущей статье я опирался на евклидовое пространство, там я брал просто мультивектор поля в самом общем виде и брал от него градиент.
В обоих случаях цель - написать простейшее из возможных геометрическое уравнение поля.
Если сравнивать с подходом у Ландау, то у него там сначала рассматривается действие от некоторой абстрактной функции, оно расписывается, минимизируется, затем полученные результаты отождествляются с 4-векторами. В моем случае вывод более естественный. Кроме того, вывод Ландау слишком сложный и привязан к конкретным координатам. У меня же вывод очень короткий, от размерности пространства и от выбора системы координат уравнения не зависят. Вот что там было в Ландау
И получает тензор
При этом от ввода действия до вывода этого тензора там тоже очень много непростых соображений и выкладок, тоже тесно привязанных к конкретным координатам.
Можно сказать, что мой вывод примерно в 100 раз короче, чем это сделано у Ландау.
Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
В первую очередь есть основополагающий труд Хестенеса https://www.academia.edu/26337319/New_Foundations_for_Classical_Mechanics_livro - тут можно скачать.
Еще можно у LLM спрашивать, но с ними надо осторожно, все выкладки вручную перепроверять - они иногда глючат.
Ну почему за уши? Это очень интересный подход, в контексте разбора смысла математических операций - интересный исторический пример.
Единый закон движения твердого тела, объединяющий
и 
, выглядит так:
Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
Рассмотрение этого требует отдельной статьи.
Но похоже да, с размерностями там всё прекрасно.
Да, это хороший тезис, под полной формализацией теорией размерностей неплохо было бы иметь в виду именно это. Но как этого достичь?
Если вы определяете момент силы через работы, то так хорошо, радианы есть.
А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product? Тогда это число, а не вектор, выходит. И с работой всё равно нельзя складывать
Впрочем, тут, возможно. и может помочь геометрическая алгебра, потому что момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
Так что догадались вы правильно.
Емкость конденсатора. В СГС его размерность - сантиметр. А в СИ будет
Хорошо, попробую. Спасибо за статью!
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
Ну то же самое может быть, однако формализм другой. Он прислал https://gemini.google.com/share/943fc676cffd
Написал он мне.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
https://ia601409.us.archive.org/11/items/in.ernet.dli.2015.134154/2015.134154.Applied-Differential-Geometry.pdf
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.