Ну в смысле, почти в любом современном. Весь 7 класс и кусок 8-го разбирают неметрические теоремы, а потом начинается теорема Фалеса, подобие, теорема Пифагора, площади.
То есть для неметрических теорем достаточно движений обычных (для чего используют признаки равенства треугольников), а для метрических нужны растяжение-сжатие.
При этом, насколько я помню (могу ошибаться, давно не смотрел, что там со школьной программой) доказательство теоремы Пифагора через подобие вводится именно для того, чтобы показать возможности подобия.
Там переход к метрическим теоремам происходит через подобие.
Общий случай теоремы Фалеса - это про произвольные углы и прямые. А тут только координатная сетка.
Разница есть, на координатной сетке координаты любого числа - это десятичная дробь. Там общей теории вещественных длин не требуется.
Проблема, о которой вы говорите, касается случая, в котором этот наклон является иррациональным числом.
И тут да, можно его отдельно разобрать и упомянуть.
Вопрос заключается в том, как это всё ввести проще и нагляднее. Люди, которые пишут длинное доказательство через подобие и кучу обозначений (а еще школьникам бывает трудно сообразить, где что чему подобно) - явно не стараются это сделать.
В целом, если с детьми работать, они достаточно долго учатся искать равные треугольники, сразу у них это не получается. Но в конце концов получается обычно даже у весьма слабых школьников. А вот с подобными треугольниками некоторый водораздел есть, часть детей так и не осваивает умение искать пары подобных треугольников, расписывать подобие и применять его.
Тут не причём совершенно то, что я физик. В первую очередь дело в том, что я преподаватель, причём такой, доход которого существенно зависит от способности объяснить тему понятно.
Кванторное определение - это уровень сложности задачи ЕГЭ с параметром из письменной части, с ним смогут работать 1 % выпускников школы, а поймут вообще намного меньше.
Наглядное объяснение - это уровень сложности тестовой части ЕГЭ, причём первых задач оттуда, его можно почти всем объяснить.
Там 2 анимации. Первая физическая, потому что так это будет выглядеть, если бумажку перекладывать руками. Но в комментариях писали, что им непонятно, потому что там во время спуска площадь уменьшается. Ну конечно уменьшается, я же бумажку переворачиваю. А площадь бумаги не меняется.
Тогда я выложил вторую анимацию, которая куда менее физична, но зато там на каждом этапе на плоскости площадь сохраняется.
Верхняя картинка сама по себе очень наглядна и понятна, но попросили детально всё показать, поэтому позже вставил туда нижнюю, на которой можно сразу применить признаки равенства треугольников. Но нижняя в принципе не особо нужна, достаточно верхней, ведь на ней видны равные площади.
Я преподавал слабым школьникам теорему Пифагора. Третье доказательство они не понимают и воспроизвести не могут, второе для них сложное и плохо запоминается, а вот первое понимают вообще все.
выглядит так, будто утверждение об угловых коэффициентах равносильно утверждению о подобии треугольников, и тут мы аналогично пользуемся теоремой Фалеса, и в чём профит — непонятно
Вообще нет, это утверждение используется в школьной программе в задачах на клетчатой доске, еще до изучения геометрии вообще, в 6-м классе. И потом в ОГЭ такая задача есть.
Огромная куча таких задач, использующих наклон параллельных и перпендикулярных отрезков есть в пособиях ФГОС для подготовки к ОГЭ.
Чтобы доказать его, достаточно использовать свойства симметрии квадратной решетки.
Дело не в этом. Они считают, в основном, что геометрия Евклида в школе вообще не нужна, нужно сразу аналитическую давать и линейную алгебру, и в таком духе.
А еще писали мне, что доказательство через подобие лучше, так как оно не опирается на какие-либо графические построения.
Не очень понятно тогда, про какую картинку пишите.
Где неравные площади?
Я каждый день обучаю реальных школьников как репетитор.
Обычно чем нагляднее и примеров больше, тем понятнее.
Изложение как в учебниках (от общего к частному) многие не понимают.
Дело в том, что Атанасян изначально из СССР родом учебник. В новых изданиях он мало изменился. А сейчас его вытеснили другими учебниками. Кстати тут на Хабре написана история его создания Левон Сергеевич Атанасян — автор главного учебника по геометрии для школьников / Хабр .
Как раз этот учебник продвигался как очень наглядный.
Да, в Атанасяне нет. Там подобие идет позже площадей.
Давайте примеры приведу другие.
Шарыгин Геометрия 7 – 9 — Шарыгин И.Ф. - там только через подобие доказательство дано.
Погорелов - тут вообще через косинус и подобие Geometrija._7-11_klass__Pogorelov_AV.pdf
Мерзляк Геометрия. 8 класс_Мерзляк А.Г. и др_2013 -208с.pdf - Google Диск
Ну в смысле, почти в любом современном. Весь 7 класс и кусок 8-го разбирают неметрические теоремы, а потом начинается теорема Фалеса, подобие, теорема Пифагора, площади.
То есть для неметрических теорем достаточно движений обычных (для чего используют признаки равенства треугольников), а для метрических нужны растяжение-сжатие.
Тут смысл не в том, чтобы "любой ценой", а в том, что теорема Пифагора следствие симметрий пространства.
Там переход к метрическим теоремам происходит через подобие.
Я предлагаю весь курс планиметрии переделать под доказательства на основе свойств симметрии и движений.
Преимущества
Доказательства станут короче и нагляднее
От этого потом легче перейти к линейной алгебре
Дает больше понимания свойств чисел и такой подход в духе современного понимания, что такое геометрия.
Есть факт про наклон, он проще чем подобие. Обоснование про наклон, соответственно, введено должно быть раньше.
Это уже другой вопрос. Речь о том, чтобы сначала с наклоном разобраться.
Общий случай теоремы Фалеса - это про произвольные углы и прямые. А тут только координатная сетка.
Разница есть, на координатной сетке координаты любого числа - это десятичная дробь. Там общей теории вещественных длин не требуется.
Проблема, о которой вы говорите, касается случая, в котором этот наклон является иррациональным числом.
И тут да, можно его отдельно разобрать и упомянуть.
Вопрос заключается в том, как это всё ввести проще и нагляднее. Люди, которые пишут длинное доказательство через подобие и кучу обозначений (а еще школьникам бывает трудно сообразить, где что чему подобно) - явно не стараются это сделать.
В целом, если с детьми работать, они достаточно долго учатся искать равные треугольники, сразу у них это не получается. Но в конце концов получается обычно даже у весьма слабых школьников. А вот с подобными треугольниками некоторый водораздел есть, часть детей так и не осваивает умение искать пары подобных треугольников, расписывать подобие и применять его.
Тут не причём совершенно то, что я физик. В первую очередь дело в том, что я преподаватель, причём такой, доход которого существенно зависит от способности объяснить тему понятно.
Кванторное определение - это уровень сложности задачи ЕГЭ с параметром из письменной части, с ним смогут работать 1 % выпускников школы, а поймут вообще намного меньше.
Наглядное объяснение - это уровень сложности тестовой части ЕГЭ, причём первых задач оттуда, его можно почти всем объяснить.
Это частный случай теоремы Фалеса.
Для этого подобие не нужно. Наоборот, подобие через это доказывают.
Пусть треугольник ABC прямоугольный и расположен вдоль линий решётки. Наклон равен CB/AB.
Повернем против часовой стрелки на 90 градусов вокруг точки А.
Наклон стал равен (АВ/-СВ). В итоге все доказательство свелось к тому, чтобы эти дроби умножить и получить - 1.
Там 2 анимации. Первая физическая, потому что так это будет выглядеть, если бумажку перекладывать руками. Но в комментариях писали, что им непонятно, потому что там во время спуска площадь уменьшается. Ну конечно уменьшается, я же бумажку переворачиваю. А площадь бумаги не меняется.
Тогда я выложил вторую анимацию, которая куда менее физична, но зато там на каждом этапе на плоскости площадь сохраняется.
Верхняя картинка сама по себе очень наглядна и понятна, но попросили детально всё показать, поэтому позже вставил туда нижнюю, на которой можно сразу применить признаки равенства треугольников. Но нижняя в принципе не особо нужна, достаточно верхней, ведь на ней видны равные площади.
Я преподавал слабым школьникам теорему Пифагора. Третье доказательство они не понимают и воспроизвести не могут, второе для них сложное и плохо запоминается, а вот первое понимают вообще все.
Там еще другие эксперименты есть. Например, возникновение электростатических разрядов из-за трения пыли о корпус.
Вообще нет, это утверждение используется в школьной программе в задачах на клетчатой доске, еще до изучения геометрии вообще, в 6-м классе. И потом в ОГЭ такая задача есть.
Огромная куча таких задач, использующих наклон параллельных и перпендикулярных отрезков есть в пособиях ФГОС для подготовки к ОГЭ.
Чтобы доказать его, достаточно использовать свойства симметрии квадратной решетки.
Дело не в этом. Они считают, в основном, что геометрия Евклида в школе вообще не нужна, нужно сразу аналитическую давать и линейную алгебру, и в таком духе.
А еще писали мне, что доказательство через подобие лучше, так как оно не опирается на какие-либо графические построения.
Моя точка зрения полностью противоположная этому.
Нет тут проблемы, всё нужно постепенно. Если давать абстракции как сейчас, усвоят только единицы, которые и без этого бы освоили.