Баллистическая кривая — это траектория материальной точки, движущейся в сопротивляющейся среде под действием силы тяжести.

Основной пример баллистической кривой — это траектория дробины в атмосфере.

Сила сопротивления воздуха считается направленной против скорости материальной точки:

Чаще всего рассматриваются гипотезы квадратичного и линейного сопротивления. В этих случаях и соответственно. Здесь — положительные постоянные. В обоих случаях система интегрируется в квадратурах. Существуют и другие случаи интегрируемости (см. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М.: Физматлит, 1960).

Характерной чертой данной задачи является наличие у траектории частицы вертикальной асимптоты и существование предельной скорости, к которой стремится скорость частицы.

Оба этих свойства выводятся в учебниках путём явного интегрирования уравнений движения.

Мы опишем довольно широкий класс сил сопротивления, для которых траектория обладает указанными свойствами. В этом классе уравнения движения уже не обязаны интегрироваться в квадратурах, и динамика исследуется методами качественного анализа.

Итак, второй закон Ньютона для частицы массы имеет вид:

Введём декартову систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх. Тогда второй закон Ньютона принимает вид:

Будем считать, что выполнены следующие условия:

1. ;

2. равенство влечет ;

3. в ;

4. найдутся такие положительные числа и , что если , то ;

5. уравнение имеет единственное решение , причем

Из данных условий вытекают неравенства

и .

Теорема. Все решения системы (1), (2) определены при . Каждая траектория имеет вертикальную асимптоту:

Более того,

Доказательство.

Дальнейшее изложение требует от читателя владения аппаратом дифференциальных уравнений в объеме курса: Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2012.

В силу условия 4 и энергетического неравенства

все решения системы (1), (2) ограничены и, соответственно, бесконечно продолжаемы вправо.

Покажем, что .

Действительно, перепишем уравнение (1) в интегральной форме:

В силу условия 3 экспонента является невозрастающей функцией времени , поэтому существует предел . Таким образом, -предельное множество данного решения лежит на прямой .

Всякое решение системы (1), (2), лежащее в -предельном множестве, имеет вид

Подставим это решение в уравнение (1):

Предположим, что . Тогда . В силу условия 2 должно быть . Полученное противоречие доказывает, что .

На прямой уравнение (1) удовлетворяется тождественно, а динамика описывается уравнением (2), которое принимает вид:

Легко показать, что все решения этого уравнения асимптотически стремятся к единственному положению равновесия . Из этого наблюдения следует, что всякое замкнутое инвариантное множество уравнения (4) содержит точку , а значит, -предельное множество любого решения системы (1), (2) содержит точку .

Следовательно, для любого решения системы (1), (2) найдётся последовательность такая, что

Линеаризуем систему (1), (2) в окрестности положения равновесия . Система линейного приближения имеет вид:

где , , .

Собственные числа этой системы отрицательны:

Первое неравенство вытекает из условий 3,5; второе — из формулы (3).

Таким образом, положение равновесия экспоненциально устойчиво. Поскольку для каждого решения верно (5), т.е. каждое решение посещает сколь угодно малую окрестность положения равновесия, имеем

Более того,

где положительная константа связана с собственными числами.

Асимптотики и следуют непосредственно из формул (6) и равенств

Теорема доказана.