О спинорах человеческим языком
Одной из самых больших сложностей в осознании квантовой механики для меня стали спиноры. Действительно, откройте любое популярное изложение, и вам навешают лапшу на уши о то что "спинор - это такой объект, который при повороте на 360 градусов превращается в свою противоположность". Полезное определение? Кажется не очень.
Ну хорошо, черт с ними с популярными изложениями. Откроем учебник физики. Представление векторов как матриц (почему, откуда?), их разложения по столбцам и строкам, какие-то стрелочки
Дело в том, что матрицы очень хорошо выполняют одну роль - роль представления разнообразных геометрических структур. Линейные операторы? Пожалуйста. Элементы алгебры Ли? Вот вам матрицы! Графы - матрицы смежности! Веса соединений нейросетей, и так далее, тысячи применений им! Однако же, глядя на матрицу вы ровным счетом ничего не можете сказать о той структуре, которую она представляет. И именно поэтому изложение спиноров в подавляющем большинстве литературы для меня выглядело какой-то взятой с потолка чепухой.
В этой статье я решительно отказываюсь использовать матрицы - язык машин, и вместо этого предлагаю вашему внимание описание спиноров на языке людей - языке геометрической алгебры.
Введение в геометрическую алгебру
Если вы встретили название "геометрическая алгебра" впервые, я рекомендую начать знакомство с ней с этого видео. Для остальных, напомню основные положения.
Начнем с рассмотрения линейного векторного пространства
Дополнительно введем операцию внешнего произведения векторов
Для бивектора неважна форма, только направление и площадь. Этот же бивектор можно изобразить, к примеру, так:
При перемножении в обратном порядке
Из антикоммутативности также следует что
Это приводит к тому, что в n-мерном пространстве не может существовать k-вектора у которого
Геометрическое произведение двух векторов определено следующим образом:
В случае если векторы параллельны друг другу,
Векторное пространство, снабженное операцией геометрического произведения образует алгебру Клиффорда, или, как ее называл сам Клиффорд, геометрическую алгебру.
Элементы алгебры Клиффорда называются мультивекторами. Любой мультивектор можно представить как формальную сумму k-векторов для
В этой статье я буду рассматривать только положительно определенные алгебры Клиффорда, то есть такие, в которых скалярное произведение любых векторов неотрицательное, и
Роторы
Рассмотрим такое выражение, где
Часть вектора
Два отражения можно скомбинировать. Выражение
сначала отражает вектор
(Для двух измерений эквивалентность двух отражений повороту на удвоенный угол между
Поэтому, геометрическое произведение двух единичных векторов также называется ротором. Напомню, что геометрическое произведение это
При этом, скалярное произведение двух единичных векторов равняется косинусу угла
где
Напомню, что такой ротор поворачивает вектор на удвоенный угол. То есть, для поворота на угол
Стоит отметить, что при сопряжении порядок векторов слева и справа противоположный. Можно переписать наше исходное выражения с использованием операции обращения порядка:
Как следует из названия, операция обращения порядка действует на k-векторы следующим образом:
Как нетрудно видеть, обращение не меняет скаляры и векторы, но изменяет знак бивекторов и тривекторов на противоположный. Обращение является антиавтоморфизмом, то есть оно сохраняет операцию произведения, изменяя порядок операндов.
Отсюда,
Итого, поворот вектора
Это можно записать и через экспоненты:
но на вопрос почему так, я предлагаю читателю ответить самостоятельно.
Spin(n)
Вращения можно комбинировать. Так, на вектор
Альтернативно, можно считать это действием ротора
Иными словами, роторы образуют группу. На первый взгляд могло бы показаться, что эта группа - группа вращений в n-мерном пространстве, также известная как
То есть
В связи с этим возникает вопрос: а нельзя ли из вектора извлечь что-то типа квадратного корня, так чтобы роторы действовали на этот корень умножением вместо сопряжения? Как-то так:
Или, если не получится извлечь такой корень, то хотя бы представить вектор в виде суммы из нескольких "квадратов":
Тогда и действие ротора на него будет выглядеть так:
С одной стороны, мы точно знаем, что такие составляющие разложения вектора не лежат в
С другой стороны, сделав предположение что такое разложение существует в нашей алгебре, придумаем для мультивекторов
Осталось только найти мультивекторы, подходящие под это название.
Проекторы и идеалы
Проекторы
Рассмотрим мультивектор
Квадрат объекта равняется ему самому. Необычно. Назовем такой объект для которого
Это название происходит от того факта, что действие проектора
"Проекции" обладают крайне интересным с точки зрения алгебры свойством: если проектор при умножении стоит справа (или слева), его нельзя оттуда просто убрать. Поясню эту мысль: произвольные мультивекторы A и B можно переставлять местами с использованием их коммутатора
Однако, в силу того что любая степень проектора равняется ему самому, такая перестановка просто дублилует
(и даже если на выписать эту копию явно, как я сделал выше, призрачная копия
Благодаря этому свойству, произведение любого элемента алгебры на проекцию также является проекцией. Подалгебра, обладающая таким свойством, называется идеалом. Мы будем говорить, что проектор
Ортогональные пары
Если
Более того,
Такие ортогональные пары проекторов часто обозначают как
Используя ортогональные пары проекторов, любой мультивектор
В частности, для проектора, образованного из единичного вектора
Заметили?
Это же именно такое разложение, какое мы искали! Почти. Перед вторым слагаемым вылез минус, но мы пока этот факт проигнорируем.
Тогда, при повороте вектора
Компоненты разложения (то есть - спиноры)
Таким образом, с точки зрения геометрической алгебры, спинор - это элемент идеала, образованного некоторым проектором.
Я отмечу и еще одно интересное свойство проекторов:
Проектор, полученный из единичного вектора, умеет поглощать в себя этот вектор. Или наоборот, - производить в любых нужных количествах.
А что там у физиков?
А у физиков своя атмосфера. Они любят странные значки. Проектор
Подействуем на него ротором
Логично, стрелочка перевернулась на 180 градусов.
Повторное действие ожидаемо дает
Умножение стрелочек на псевдоскаляр
Аналогично:
Выпишем еще раз, просто чтобы иметь все в одном месте:
Как нетрудно видеть, эти 4 элемента образуют базис в правом идеале, порожденном
Нормированные элементы (т.е. такие что
Здесь самое время вспомнить о самой первой картинке в этой статье.
Именно правая часть
Ну а в общем случае
Или, в другом представлении
Можно, кстати, провернуть еще один финт ушами, и посмотреть что будет если скоммутировать проектор с ротором:
Оказывается, что в
Дальше физики говорят, что есть дуальные спиноры, типа
Кроме того, у них есть 2-спиноры. Помните разложение
Его можно записать и с помощью (вот черт, не получилось совсем без них!) матриц:
Левый множитель здесь - дуальный 2-спинор, правая - обычный. Подумать о том как действуют роторы (а также перестановка множителей, умножение на константы и т.д.) на такую штуку я оставляю читателю.
И даже 4-спиноры. Но сюда я уже влезать не буду, поскольку рассмотрение алгебр, в которых квадрат вектора может быть отрицательным (привет метрике Минковского), выходит за рамки этой статьи. Может быть, в следующий раз.