Леонид Маркович Скворцов. Широко известный в узких кругах математик, профессионально занимающийся математическими проблемами автоматического управления. Например, его авторские методы использованы в SimInTech. Данный текст, еще готовится к публикации. Но с разрешения автора, читатели Хабр будут первыми кто сможет оценить. Первая часть здесь... Вторая часть здесь...

Две предыдущие части были заполнены многоэтажными формулами в третей части разберем на примерах применение этих формул. Математику в жизнь!

8. Примеры синтеза одномерных систем

Рассмотрим процедуры синтеза на конкретных примерах. Для несложного объекта получим значения параметров регулятора в аналитическом виде и исследуем зависимость результатов синтеза от параметров стандартного полинома и от схемы реализации регулятора. Приведем также фрагменты программ, реализующих решение рассмотренных примеров в ПО SimInTech. Для использования этих программ достаточно задать параметры стандартного полинома и коэффициенты  ПФ объекта (неизменяемой части).

Во всех примерах принимаем ПФ объекта в виде:

Рассмотрим следующие способы формирования управляющего сигнала: 1) статический регулятор с использованием сигнала ошибки и дополнительного выходного сигнала; 2) динамический регулятор с использованием сигнала ошибки; 3) динамический регулятор с использованием сигнала ошибки и дополнительного выходного сигнала. В качестве дополнительного сигнала используем производную выходной переменной.

Пример 1. Сформируем управление, используя сигнал ошибки и производную выходной переменной. Структурная схема такой системы приведена на рис. 6, где

 Характеристический полином замкнутой системы получим в виде

Зададим два из трех полюсов замкнутой системы в виде корней стандартного полинома . Далее воспользуемся процедурой синтеза, изложенной в разделе 4. Остаток от деления полинома (8.2) на C(s) равен

Приравняв этот остаток нулю, получим уравнение синтеза, решив которое найдем параметры регулятора:

При решении этого примера можно воспользоваться и алгоритмом 5 из раздела 5 (обратная связь по выходу), приняв . Тогда получим уравнение синтеза (5.5) в виде . Это же замечание справедливо и для рассмотренного ниже примера 3.

Полученное решение зависит от параметров стандартного полинома t и a. При фиксированном a исследуем свойства синтезированной САУ в зависимости от показателя t стандартного полинома. Полюсы синтезированной системы:

где  –  заданные полюсы (корни стандартного полинома), а  – оставшийся не заданным полюс, который назовем свободным. Стремление повысить быстродействие путем уменьшения  приводит к перемещению  вправо, а при достижении некоторого значения, т.е. при , синтезированная система становится неустойчивой. Граничное значение  найдем из условия , откуда .

Найдем оптимальное значение . В качестве критерия оптимальности примем показатель быстродействия синтезированного полинома (8.2), который обозначим через . Зависимость  от  имеет вид:

Оптимальное значение  , при котором  принимает минимальное значение, получим в виде

при этом значение  равно

В результате синтеза при оптимальном значении  (8.4) стандартного полинома получим характеристический полином замкнутой системы в виде

Таким образом, получен стандартный полином, который является нормальным и геометрическим и имеет указанные в (8.5), (8.6) значения показателей быстродействия и качества. Этот факт подтверждает преимущество использования оптимального значения  при задании стандартного полинома.

Таблица 6. Результаты синтеза для примера 2 при a = 1/2

При  в примере 1 и при  в примере 2 получаем «оптимальные» системы, имеющие одинаковое расположение полюсов. Поскольку характеристические полиномы в этом случае одинаковы, то эти системы имеют также одинаковые значения показателя быстродействия . Однако другие характеристики различаются вследствие различия числителей ПФ. В частности, добротность по скорости в примере 1 равна , а в примере 2 – . Таким образом, регулятор из примера 2 может обеспечить более точное управление, но характеристики устойчивости и качества переходного процесса лучше у регулятора из примера 1.

Решение примера 2 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=0.6, alfa=0.5,        //Параметры стандартного полинома
A=[0,1,1,0.1], B=[1,0],   //Знаменатель и числитель ПФ объекта
nx=1, ny=nx, nc=nx+ny+1,  //Степени полиномов ПФ регулятора                        
X[nx+1],Y[ny+1],C[nc+1];  //Y(s)/X(s) - ПФ регулятора
C=norpol(tau,alfa,nc);    //Стандартный полином степени nc
polysyn(A,B,C,nx,ny,X,Y); //Решение уравнения синтеза

Пример 3. Чтобы обеспечить 2-й порядок астатизма, добавим в структуру регулятора интегратор. Используя для формирования управляющего сигнала ошибку слежения и производную выходного сигнала, получим структурную схему, изображенную на рис. 7. Характеристический полином замкнутой системы получаем в виде:

Как и в предыдущем примере, задаем стандартный полином в виде (8.9). Приравняв остаток от деления полинома (8.11) на (8.9) нулю и решив полученные в результате алгебраические уравнения, получим параметры регулятора: 

При таких параметрах полюсы замкнутой системы:

где первые 3 полюса являются корнями стандартного полинома (8.9), а  – свободный полюс. Значение показателя быстродействия и добротности по ускорению синтезированной системы получаем в виде

Из условия устойчивости  получаем:

Минимальное значение показателя  обеспечивается при , тогда

Максимальное значение добротности по ускорению  получаем при

Значения  и  совпадают при  и незначительно отличаются при .

Таблица 7. Результаты синтеза для примера 3 при 

Результата синтеза для объекта (8.1) при  приведены в табл. 7, где знаком n # отмечены полюсы кратности n. Минимальное значение и максимальное значение  получаем при оптимальном значении  При  получаем , тогда интеграл ошибки не используется в сигнале управления. В этом случае порядок системы уменьшается на 1 и фактически получаем схему управления из примера 1, изображенную на рис. 1.

Решение примера 3 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=1.5, alfa=1/3,              //Параметры стандартного полинома
A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]), //Знаменатель ПФ объекта
B=[1,0],                        //Числитель ПФ объекта
A1=conv(A,[0,1]),               //Знаменатель неизменяемой части
nx=0, ny=2, nc=nx+ny+1,         //Степени полиномов ПФ регулятора
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1];
C=norpol(tau,alfa,nc);          //Стандартный полином степени nc  
polysyn(A1,B,C,nx,ny,X,Y);      //Решение уравнения синтеза
k0=Y[1]; k1=Y[2]; k2=Y[3];      //Параметры регулятора

Пример 4. В этом примере используем последовательную коррекцию (рис. 1) с ПИД-регулятором, имеющим ПФ:

В отличие от примера 2, задаем знаменатель, приняв . Характеристический полином получаем в виде

Для задания полюсов используем стандартный полином 3-го порядка (8.9) при . Расчет коэффициентов регулятора выполняем аналогично предыдущим примерам (используем алгоритм 5). В результате при заданных в (8.1) параметрах объекта и  получаем:

Показатель быстродействия и добротность по ускорению получаем в виде  Оптимальные значения этих показателей получены при . Результаты синтеза при трех значениях  приведены в табл. 8.

Таблица 8. Результаты синтеза для примера 4 при 

Решение примера 4 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=1.8, alfa=1/3,         //Параметры стандартного полинома
A=[0,1,1,0.1], B=[1,0],    //Знаменатель и числитель ПФ объекта
D=[0,1,1/15],              //Знаменатель ПФ регулятора
AD=conv(A,D),              //Знаменатель неизмеяемой части
nx=0, ny=2, nc=nx+ny+1,    //Степени полиномов
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1]; 
C=norpol(tau,alfa,nc);     //Стандартный полином степени nc  
polysyn(AD,B,C,nx,ny,X,Y); //Y=[k0,k1,k2]

В рассмотренных примерах добротность системы однозначно определяется расположением полюсов. В следующих двух примерах используются процедуры синтеза, позволяющие варьировать добротность при заданном расположении полюсов.

Пример 5. Построим регулятор согласно схеме S2 (рис. 4), приняв при этом

Структурная схема САУ приведена на рис. 8. Потребуем, чтобы три из четырех полюсов замкнутой системы были корнями стандартного полинома (8.9) при . Примем

откуда

Характеристический полином замкнутой системы получаем в виде

Приравнивая остаток от деления этого полинома  на стандартный полином (8.9) нулю, получаем систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с неизвестными  Неизвестную  примем в качестве свободного параметра, варьируя который, можно изменять добротность системы при заданном расположении доминирующих полюсов. 

При заданных нами параметрах объекта и полюсах получаем

Определим добротность системы по скорости. Если бы использовалась последовательная коррекция по схеме S0 (тогда  и ), то добротность была бы равна . Но при наличии дополнительной обратной связи по скорости () следует  разделить это значение на , откуда получаем добротность по скорости в виде

Отметим, что при  зависимость  от  почти линейная.

Рассмотрим два частных случая. При имеем  , тогда  и мы получаем схему из примера 1 (рис. 6), при этом 4-й полюс равен –6.25. В пределе при  имеем  и мы получаем схему со 2-м порядком астатизма из примера 3 (рис. 7), в которой добротность по ускорению  и 4‑й полюс  = –3.75.

Таблица 9. Результаты синтеза для примера 5 при 

Параметры регулятора и показатели качества синтезированной системы в зависимости от  приведены в табл. 9. При значениях  низкочастотная часть асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы имеет участок с двойным наклоном, ограниченный сопрягающими частотами  и . Благодаря этому удается повысить добротность при тех же задаваемых полюсах. Кривые ЛАЧХ и ФЧХ при двух значениях  приведены на рис. 9.

В общем случае для построении регуляторов по схеме S2 c заданным значением добротности следует использовать алгоритм 6 из раздела 5, реализованный в процедуре polysyn2. При этом добротность задаем для схемы S0, а после расчета параметров  регулятора пересчитываем полученную добротность для схемы типа S2. Полученная зависимость добротности схемы S2 от добротности схемы S0 позволяет синтезировать регулятор с заданным расположением полюсов и заданной добротностью.

Решение примера 5 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
DS0=60,                          //Добротность схемы S0 (=k1)
tau=1, alfa=0.4,                 //Параметры стандартного полинома
A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]),  //Знаменатель ПФ объекта
B=[1,0],                         //Числитель ПФ объекта
nx=1, ny=2, nc=nx+ny,            //Степени полиномов ПФ регулятора
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1];
C=norpol(tau,alfa,nc);           //Стандартный полином
polysyn2(A,B,C,nx,ny,X,Y,DS0,1); //Решение уравнения синтеза
k1=Y[1]/X[1]; k2=Y[3]/X[2];      //Параметры регулятора
T1=(Y[2]/X[1]-k2)/k1; T2=X[2]/X[1];
D1=DS0/(1+k2*B[1]/A[2]);         //Добротность САУ по скорости

Пример 6. Управление формируем по сигналу ошибки и производной выходного сигнала, но в отличие от примера 1, используем динамический регулятор 1-го порядка. Структурная схема такой САУ показана на рис. 10. Эта схема соответствует схеме S3 на рис. 5, где 

при этом векторную ПФ регулятора реализуем согласно уравнениям (6.7):

ПФ разомкнутой системы имеет вид

Добротность по скорости такой системы получаем в виде

Характеристический полином зависит от четырех параметров регулятора, выбирая которые, можно обеспечить заданное расположение всех четырех полюсов замкнутой системы. У нас есть еще один параметр – , от которого характеристический полином не зависит, но зависит добротность. Варьируя этот параметр, можно обеспечить требуемую добротность системы.

Сформируем стандартный полином, имеющий заданное расположение корней, в виде

Примем показатели стандартного полинома:  В этом случае все корни геометрического полинома равны –8, а его коэффициенты: c₂ = 3/8. Коэффициенты нормального полинома:  (отличие от геометрического полинома только в коэффициенте , который у нормального полинома немного больше). Несмотря на незначительное отличие коэффициентов, корни нормального полинома, равные –3.96 ± 2.32j, –12.04 ± 7.05j, заметно отличаются от корней геометрического полинома.

Приравнивая остаток от деления P(s) на C(s) нулю, получаем коэффициенты регулятора:

Таблица 10. Результаты синтеза для примера 6 при 

При заданных полюсах исследуем влияние параметра g на характеристики САУ. Результаты расчета основных показателей приведены в табл. 10. Увеличение g приводит к повышению добротности, но при этом ухудшаются другие показатели. Как и в предыдущем примере, повышение добротности объясняется участком с двойным наклоном в низкочастотной части ЛАЧХ. Отметим, что несмотря на значительную разницу в расположении полюсов, показатели систем с нормальным и с геометрическим полиномом отличаются очень мало.

Решение примера 6 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
gama=0.8,
tau=0.5, alfa=1/16^(1/3),        //Параметры стандартного полинома
A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]),  //Знаменатель ПФ объекта
B=[1,0],                         //Числитель ПФ объекта
nx=1, ny=nx+1, nc=nx+ny+1,       //Степени полиномов ПФ регулятора
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1];  
C=norpol(tau,alfa,nc);           //Стандартный полином
//C=geopol(tau,alfa,nc);
polysyn(A,B,C,nx,ny,X,Y);        //Решение уравнения синтеза
T=X[2]/X[1]; k0=Y[1]/X[1];       //Параметры регулятора
k1=Y[2]/X[1]; k2=Y[3]/X[1];
D1=k0/(A[2]+(1-gama)*k1);        //Добротность по скорости

Архив с примерами можно взять здесь...

Небольшое видео с пояснениями, а так же живой пример синтеза САУ для модели двухроторного ГТД, работающего на базовом режиме малого газа, вместе с исполнительным механизмом. Из этой статьи про нечеткий регулятор.

Литература

1. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) //  Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5–50.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

5. Воронов В. С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49–54.

6. Икрамов Х. Д. О размещении полюсов линейных стационарных систем // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1993. Вып. 9. C. 237–291.

7. Карташов Б. А., Шабаев Е. А., Козлов О. С., Щекатуров А. М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М.: ДМК Пресс, 2017. 424 с.

8. Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

9. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса "МВТУ" // Информационные технологии. 2006. № 8. C. 9–15.

10. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез робастных регуляторов минимального порядка // Наука и образование (электронный научно-технический журнал). 2013. № 2. URL: http://engineering-science.ru/doc/533324.html.

11. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез простых робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2015. № 9. С. 102–114.

12. Крутько П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. !986. № 1. С. 125–133.

13. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.

14. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

15. Литвинов Н. Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 53–61.

16. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 287 с.

17. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

18. Скворцов Л. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 6. С. 149–153.

19. Скворцов Л. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 6. С. 54–59. 

20. Скворцов Л. М. Расположение полюсов при синтезе модального регулятора // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 226–229.

21. Скворцов Л. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 10–13.

22. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

23. Chen C. T. Linear system theory and design. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.

24. Kailath T. Linear Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1980. 682 p.<o:p></o:p>

25. Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d'amortissement // Automatisme. 1963. V. 8. № 6. P. 215–233.

26. Saad Y. Projection and Deflation Methods for Partial Pole Assignment in Linear State Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. 33. № 3. P. 290–297.