Автор: Лыков А., к.ф.-м.н., академический руководитель Школы Высшей Математики и ШАДХелпера.

Гробом принято называть задачу на экзамене или олимпиаде, которую почти невозможно решить. В статье мы приведём несколько примеров из вступительных экзаменов в ШАД и классифицируем гробы на три типа.

В контексте экзаменов в ШАД, гробы появляются на экзаменах не каждый год и, как правило, находятся среди последних задач письменного экзамена. Выделим следующие типы гробов.

I) ''Классический'' — решение у задачи существует, полностью опирается на программу, использует необычные приёмы в решении, сложная даже для специалистов. Рассмотрим примеры.

  1. При каких натуральных существует квадратная матрица порядка с элементами такая, что ее квадрат — это матрица из одних единиц?

    Решение

    Значение , очевидно, подходит. Далее . Пусть — матрица размера из 0 и 1, для которой — матрица из одних единиц. Известно, что и что если — собственное значение матрицы геометрической кратности , то — собственное значение матрицы геометрической кратности . Так как — матрица ранга 1, то — её собственное значение геометрической и алгебраической кратности и — собственное значение кратности 1. Значит, с учётом также того, что , получаем, что . В частности, - полный квадрат.

    Пусть . Для перестановки обозначим через матрицу, в которой , а остальные элементы равны 0.
    Ясно, что . Пусть. Рассмотрим блочную матрицу , состоящую из блоков размера , в которой каждая блочная строка есть -матрица

    Например, при это

    Тогда -блок матрицы есть

    Ссылка на задачу

  2. Верно ли, что почти все (все, кроме конечного числа) натуральные числа представимы в виде , где — количество делителей числа ?

    Решение

    Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера. Здесь мы не приводим решение, так как оно достаточно громоздкое. Видео-разбор занимает более 30 минут.

II) "Технарь" — решение опирается на программу, но использует технику и идеи из других математических теорий (например, из теории марковских цепей), о которых не было заявлено в программе. Для решения таких задач полезно знать много "разной математики" вне программы.

  1. За столом сидят старателей, перед каждым из которых находится кучка золотого песка. Каждую минуту происходит следующее: по общей команде каждый из них перекладывает в свою кучку половину песка из кучки левого соседа и половину — из кучки правого соседа. Опишите асимптотическое поведение кучек (а) при ; (б) при произвольном .

    Решение

    Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера. Здесь мы не приводим решение, так как оно достаточно громоздкое.

    Решение этой задачи (и не только её) опирается на приёмы, часто применяемые в теории марковских цепей.

  2. Какой минимальной длины существует цепочка из цифр, такая, что в ней в качестве фрагментов четырёх из подряд идущих цифр присутствует все не начинающиеся с нуля цепочки из цифр?

    Решение

    Рассмотрим ориентированный граф с вершинами — трёхзначными числами (которые могут начинаться с нуля) и рёбрами вида (= четырёхзначное число ).
    Из каждой вершины выходит 10 рёбер и в каждую входит 10 рёбер, поэтому в графе есть эйлеров цикл. Запишем по кругу число из цифр, соответствующее этому циклу. Разрежем его и выпишем в строку так, чтобы фрагмент стоял в конце. Сотрём последний нуль и получим -значное число, в котором встречаются по разу все 4-значные числа (которые могут начинаться с нуля), кроме .

    Рёбра графа, отвечающие числам, не начинающимся с нуля, назовём синими, остальные — красными. Рёбра графа, отвечающие числам, не начинающимся с нуля, назовём синими, остальные — красными.
    Пусть теперь дано кратчайшее -значное число , в котором встречаются все 9000 4-значных чисел, не начинающихся с нуля (хотя бы раз). Тогда число нулей в A: при сдвиге на одну цифру вправо в мы получим, возможно, новое число, если только эта цифра не нуль. Рассмотрим множества чисел

    Оценим снизу число нулей в .
    Все тройные нули из чисел в не пересекаются и содержатся в — уже нулей.
    Пары нулей из не пересекаются и максимум 9 из этих 90 пар могли ,,утонуть`` в тройках нулей из . Итого, новых нулей. Наконец максимум из одинарных нулей из уже могли быть учтены в и , итого новых нулей. Итого, число содержит как минимум

    Ссылка на задачу

Знание теории последовательностей де Брейна сильно поможет при решении этой задачи.

III) "Умник" — решение опирается на факты и объекты не из официальной программы.

  1. Пусть — ограниченная гладкая функция, причём её среднее значение на любой окружности радиуса равно значению в центре этой окружности. Докажите, что постоянна.

    Решение

    Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера. Здесь мы не приводим решение, так как оно достаточно громоздкое и весьма техническое.

    Известные нам решения этой задачи опираются либо на теорию обобщенных функций, либо на теорию мартингалов. Пишите свои решения в комментариях. Ни того, ни другого в официальной программе нет.

    Формулировка сразу наталкивает на мысль о гармонических функциях (в смысле теории марковских процессов).

  2. Условие. Известно, что случайный вектор распределён нормально:

    Найдите измеримую функцию минимизирующую математическое ожидание

    Решение

    Преобразуем выражение:

    По свойству условного математического ожидания минимум последнего выражения достигается при
    Последнее равенство не совсем корректно. Более формально нужно написать


    при

    Далее вычислим . Представим случайную величину в следующем виде:

    где гауссовская случайная величина независимая от , некоторая константа, которую мы сейчас найдем. Имеем равенство

    Откуда находим

    Найдём параметры :


    Далее, . Поэтому получаем

    Следовательно,

    Ссылка на задачу

    Условного математического ожидания в программе нет. Решения не опирающегося на УМО мы, к сожалению, не знаем. Пишите в комментариях свои решения.

Наличие сложных задач поднимает интерес к испытаниям у сильных студентов, создаёт дополнительных дух соперничества. Это однозначно хорошо. Однако мы считаем, что наличие гробов типа "Умник" и "Технарь" не совсем честно и справедливо. Возможно стоит снабжать официальную программу фразой "Дополнительным преимуществом для поступающих может быть знание марковских цепей, теории графов, комплексного анализа и т.д..".

Всем успехов в изучении математики и желаем удачи на экзаменах!

*Условия задач и решений взяты с сайта школы ШАДХелпер. Если у кого-то будет желание прочитать решения задач из статьи, пишите на сайт школы и Вам откроют доступ к соответствующим задачам.