Автор статьи: Канунников Андрей, к. ф.-м. н., преподаватель ШАДХелпер.

Условие: Может ли сумма НЕ ВСЕХ векторов, выходящих из центра правильного p -угольника, в его вершины, быть равна нулю? p - простое.

Решение:

Пусть — правильный -угольник с центром . Легко доказать, что

В самом деле, повернём все векторы на угол вокруг точки . Их сумма, с одной стороны, повернётся на тот же угол, а с другой, не изменится, так как векторы перейдут друг в друга. Значит, эта сумма равна , так как любой ненулевой вектор меняется при повороте на угол .

Зададимся теперь таким вопросом: при каких из левой части равенства (1) можно вычеркнуть какие-то векторы (но не все), чтобы сумма оставшихся по-прежнему равнялась 0. При составном это сделать можно: если , то достаточно оставить каждый -й вектор.

Пусть теперь — простое число. Оказывается тогда нельзя вычеркнуть векторы так, чтобы сумма оставшихся оставалась нулевой. Как это доказать?

Будем интерпретировать векторы как комплексные корни -й степени из единицы:

Предположим, что сумма некоторых из них, но не всех, равна :

Это значит, что — корень многочлена

Но — также корень кругового многочлена

Дальше можно рассуждать по-разному.

I способ. Многочлены и имеют некоторый нетривиальный наибольший общий делитель (вслед за и их НОД имеет корень и рациональные коэффициенты, так как может быть вычислен алгоритмом Евклида, не выводящим за рамки основного поля — в данном случае ). Это, однако, противоречит известному факту: многочлен неприводим над .

Доказательство последнего факта опирается на некоторую теорию: самое простое — использовать признак Эйзенштейна и лемму Гаусса о примитивных многочленах (из которой следует, что неприводимость над многочлена влечёт его неприводимость над ; признак Эйзнештейна устанавливает неприводимость над , используя редукцию по модулю ).

Оказывается, есть более простое рассуждение. Я узнал его от 9-классника Александра Бельских. Приведу его с незначительными изменениями.

II способ. Рассмотрим многочлены

Мы знаем, что имеет корень . Так как , то — корень многочлена . Вообще, для любого существует единственное , для которого ( — поле). Поэтому — корень многочлена : . Итак, все корни многочлена — числа (кратности 1) — являются корнями многочлена , отсюда

Почему именно в , а не просто в ? Потому что многочлен имеет старший коэффициент , а потому при делении на него уголком не возникнет дробных коэффициентов. Отсюда, подставляя , получим

Это, однако, невозможно, так как — простое и